1、长丰县实验高中 20162017 学年第一学期高二年级数学（文科）集 体 备 课 教 案项目 内容课题4.1.1 圆的标准方程（1 课时）修改与创新教学目标1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已
2、知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.教学重、难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.教学准备多媒体课件教学过程导入新课同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题已知两点 A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知 C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?具有什么性质的点的
3、轨迹称为圆？图 1 中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图 1我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?如果已知圆心坐标为 C(a,b),圆的半径为 r,我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：根据两点之间的距离公式 ,得2121)()(yx|AB|= ,2)59()62(|CD|= .83yx平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长|
4、MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为r(其中 a、b、r 都是常数,r0).设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件 =r.22)()(byax将上式两边平方得(x-a) 2+(y-b)2=r2.化简可得(x-a) 2+(y-b)2=r2.若点 M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点 M 的坐标满足方程,反之若点 M的坐标满足方程,这就说
5、明点 M 与圆心 C 的距离为 r,即点 M 在圆心为 C的圆上.方程就是圆心为 C(a,b),半径长为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2.提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?确定圆的方程的方法和步骤是什么?坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：圆的标准方程(xa) 2(yb) 2=r2中,有三个参数 a、b、r,只要求出 a、b、r 且 r0,这时圆的方程就被确定,因此确
6、定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直接求出圆心(a,b)和半径 r,一般步骤为：1根据题意,设所求的圆的标准方程(xa) 2(yb) 2=r2；2根据已知条件,建立关于 a、b、r 的方程组；3解方程组,求出 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.点 M(x0,y0)与圆(x-a) 2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：当点 M(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b)2=r2上时,点 M 的坐标满足方程(x-a) 2+(y-b)2=r
7、2.当点 M(x0,y0)不在圆(x-a) 2+(y-b)2=r2上时,点 M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1点到圆心的距离大于半径,点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2r 2,点在圆外;2点到圆心的距离等于半径,点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;3点到圆心的距离小于半径,点在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2r 2,点在圆内.应用示例例 1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是 3；圆心在点 C(3,4),半径是 ;5(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3)；(4)圆心在点 C
8、(1,3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0) 2+(y-0)2=32,即 x2+y2=9.(2)由于圆心在点 C(3,4),半径是 5,所以圆的标准方程是(x-3) 2+(y-4)2=(5)2,即(x-3) 2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径 r=|CP|= =5,因此所求圆5)31()85(22的标准方程为(x-8) 2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8) 2+(y+3)2=r2,因为圆经过点 P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)
9、2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1) 2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以 r= .因此所求圆的标准方程为(x-1) 2+(y-3)2=5|16|73|.256点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例 2 写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(- ,-1)是否在这个圆上.5解:圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点 M1
10、(5,-7),M2(- ,-1)分别代入方程(x-2) 2+(y+3)2=25,则 M1的坐标满足方程,M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上从代数到几何.例 3 ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a) 2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数.另外可利用直
11、线 AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2,因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a) 2+(y-b)2=r2,于是)3(.)8()2(371,15222rba解此方程组得 所以ABC 的外接圆的方程为(x-2) 2+(y+3)2=25.5,r解法二:线段 AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+1= (x-6). 21同理线段 AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为 3,所以线段 AC
12、 的垂直平分线的方程为 y+3.5=3(x-3.5). 解由组成的方程组得 x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径 r=5,所以ABC 的外接圆的方程为(x-2) 2+(y+3)2=25.22)31()5(点评:ABC 外接圆的圆心是ABC 的外心,它是ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.变式训练一圆过原点 O 和点 P(1,3),圆心在直线 y=x+2 上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线 y=x+2 上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a) 2+(y-a-2)2=r2.因为点 O(0,0)和
13、 P(1,3)在圆上,所以 解得,)23()1(022ra.825,41a所以所求的圆的方程为(x+ )2+(y- )2= .417解法二：由题意：圆的弦 OP 的斜率为 3,中点坐标为( , ),213所以弦 OP 的垂直平分线方程为 y- =- (x- ),即 x+3y-5=0.23因为圆心在直线 y=x+2 上,且圆心在弦 OP 的垂直平分线上,所以由 解得 ,即圆心坐标为 C(- , ).,0532yx471yx417又因为圆的半径 r=|OC|= ,825)(12所以所求的圆的方程为(x+ )2+(y- )2= .47点评:(1)圆的标准方程中有 a、b、r 三个量,要求圆的标准方程
14、即要求a、b、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例 3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线 y=-2x 上且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线 y=x-1 所得弦长为 22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线 y=1-x 相切于点(2,-1),所以 ,解得 a=1.所以所求圆心坐标222 )1()(1| aa为(1,-2),半径 r= = .所以所求圆的标准方程为22(x-1)2+(y+2) 2=2.(2)设圆的方程为(x-2) 2+(y+1)2=r2(r0),由题意知圆心到直线 y=x
15、-1 的距离为 d= = .又直线 y=x-1 被圆截得弦长为 2 ,所以由21|弦长公式得 r2-d2=2,即 r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2) 2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.知能训练课本本节练习 1、2.拓展提升1.求圆心在直线 y=2x 上且与两直线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共
16、同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离 d= =2,所以半径为 r= =1.21BAC2d方法一：设与两直线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式 d= ,得21|,即 k=-2,所以直线方程为 3x+4y-2=0.解 3x+4y-2234|3|7|kk2=0 与 y=2x 组成的方程组 得 ,因此圆心坐标,2,04xy142yx为( , ).又半径为 r=1,所以所求圆的方程为(x- )2+(y- )2=1.124 14方法二：解方程组因此圆心 .13,67,4,2,034,2,0743 xyxyxy 和得与坐标为( ,
17、).又半径 r=1,所以所求圆的方程为(x- )2+(y- )2=1.1 4点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.课堂小结圆的标准方程.点与圆的位置关系的判断方法.根据已知条件求圆的标准方程的方法.利用圆的平面几何的知识构建方程.直径端点是 A(x1,y1)、B(x 2,y2)的圆的方程是(x-x 1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题 4.1 A 组第 2、3 题.板书设计4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程的推导 例 12
18、、圆的标准方程 例 23、点与圆的位置关系 变式教学反思圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.
