1、综合题（含特殊三角形）综合题（含特殊三角形）1.如图，对称轴为 的抛物线 与 轴相交于点 、 .3x2yaxBO(1）求抛物线的解析式，并求出顶点 的坐标；A(2)连结 AB，把 AB所在的直线平移，使它经过原点 O，得到直线 l.点 P是 l上一动点.设以点A、B、O、P 为顶点的四边形面积为 S，点 P的横坐标为 ，当 0S18 时，求 的取值范围；tt(3)在（2）的条件下，当 取最大值时，抛物线上是否存在点 ，使OP 为直角三角形且 OP为直角t Q边.若存在,直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由 .Q2.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+10 与 x轴，y 轴相交于 A，B
2、 两点，点 C的坐标是（8，4），连接 AC，BC（1）求过 O，A，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；（2）动点 P从点 O出发，沿 OB以每秒 2个单位长度的速度向点 B运动；同时，动点 Q从点 B出发，沿 BC以每秒 1个单位长度的速度向点 C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为 t秒，当 t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由综合题（含特殊三角形）3.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C（3，0
3、） ，D（3，4） ，E（0，4 ） 点 A在 DE 上，以 A 为顶点的抛物线过点 C，且对称轴 x=1 交 x 轴于点 B连接 EC，AC点 P，Q 为动点，设运动时间为 t 秒（1 ）填空：点 A 坐标为 ；抛物线的解析式为 （2 ）在图 1 中，若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位/秒的速度运动，同时，点 Q 在线段 CE上从点 C 向点 E 以 2 个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动当 t 为何值时，PCQ 为等腰三角形？（3 ）在图 2 中，若点 P 在对称轴上从点 A 开始向点 B 以 1 个单位/秒的速度运动，过点 P 做 P
4、FAB ，交 AC 于点 F，过点 F 作 FG AD 于点 G，交抛物线于点 Q，连接 AQ，CQ当 t 为何值时，ACQ 的面积最大？最大值是多少？4.如图（1），直线 交 轴于点 A，交 轴于点 C（0，4），抛物线 经nxy34y cbxy23过点 A，交 轴于点 B（0，-2）.点 P为抛物线上一个动点，过点 P作 轴的垂线 PD，过点 B作xBDPD 于点 D，连接 PB，设点 P的横坐标为 .m（1）求抛物线的解析式；（2）当BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD的长；（3）如图（2） ，将BDP 绕点 B 逆时针旋转，得到BDP，当旋转角PBP=OAC，且点 P的对应点 P落
5、在坐标轴上时，请直接写出点 P的坐标.综合题（含特殊三角形）1.解：(1)点 B 与 O(0,0)关于 x=3 对称，点 B 坐标为(6,0).将点 B 坐标代入 y=ax2+2x 得：36a+12=0 ；a=13.抛物线解析式为 y=13x2+2x.当 x=3 时,y=1332+23=3；顶点 A 坐标为(3,3).(2)设直线 AB 解析式为 y=kx+b.A(3,3), B(6,0)， 6k+b=0 解得 k=13k+b=3， b=6y=x+6.直线 lAB 且过点 O，直线 l 解析式为 y=x.点 P 是 l 上一动点且横坐标为 t，点 P 坐标为(t,t).当 P 在第四象限时(t
6、0)，S=SAOB+SOBP=1263+126|t|=9+3t.00，0t3.当 P 在第二象限时(t0)，作 PMx 轴于 M，设对称轴与 x 轴交点为 N，则 S=S 梯形 ANMP+SANBSPMO=123+(t)(3t)+123312(t)(t)=12(t3)2+9212t2=3t+9，0S18，03 t+918，3t 3；又t0，3t 0；t 的取值范围是3t0 或 0t3.(3)存在,点 Q 坐标为(3,3)或(6,0)或(3,9).由(2)知 t 的最大值为 3,则 P(3,3)；过 O、P 作直线 m、n 垂直于直线 l;直线 l 的解析式为 y=x，直线 m 的解析式为 y=
7、x；可设直线 n 的解析式为 y=x+h，则有：3+h=3，h=6；直线 n:y=x6；联立直线 m 与抛物线的解析式有：y=xy=13x2+2x，解得x=0y=0, x=3y=3；Q1(3,3)；同理可联立直线 n 与抛物线的解析式,求得 Q2(6,0),Q3(3,9).2.解：（1）直线 y=2x+10 与 x轴，y 轴相交于 A，B 两点，A（5，0），B（0，10） 1 分抛物线过原点，设抛物线解析式为 y=ax2+bx抛物线过点 A（5，0），C（8，4）， 抛物线解析式为 y= x2 x 3 分A（5，0），B（0，10），C（8，4），AB 2=52+102=125，BC 2=8
8、2+（104） 2=100，AC 2=42+（85） 2=25AC 2+BC2=AB2ABC 是直角三角形6 分（2）如图，当 P，Q 运动 t秒，即 OP=2t，CQ=10t 时，由（1）得 AC=OA，ACQ=AOP=90在 RtAOP 和 RtACQ 中， ，RtAOPRtACQ 7 分OP=CQ2t=10tt= 当运动时间为 时，PA=QA 8 分（3）存在由（1）知：AB=5 y= x2 x，抛物线的对称轴为 x= 9 分设点 M（ ，m），若 BM=BA时，则（ ） 2+（ m10） 2=125m 1= ，m 2= M 1（ ， ），M 2（ ， ）10 分若 AM=AB时，则（
9、） 2+m2=125m 3= ，m 4= M 3（ ， ），M 4（ ， ） 11 分若 MA=MB时，则（ 5） 2+m2=（ ） 2+（10m） 2m=5 M（ ，5），此时点 M恰好在线段 AB上，构不成三角形，舍去 12 分点 M的坐标为：M 1 ，M 2 ，M 3 ，M 4 13 分)950,2()1950,()2195,()2195,(综合题（含特殊三角形）3.解：（1 ）抛物线的对称轴为 x=1，矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C（3，0 ） ，D（3，4 ） ，E （0，4 ） ，点 A 在 DE 上，点 A 坐标为（1 ，4） ，设抛物线的解析式为 y=a（x1） 2+4，
10、把 C（3，0）代入抛物线的解析式，可得 a（31） 2+4=0，解得 a=1 故抛物线的解析式为 y=（x1） 2+4，即 y=x 2+2x+3；（2 ）当 CP=CQ 时，t=1；当 QC=QP 时， ；75t当 PC=PQ 时， 89（3 ） A（1 ，4） ，C（3，0） ，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，则，解得 故直线 AC 的解析式为 y=2x+6P（1， 4t） ，将 y=4t 代入 y=2x+6 中，得 x=1+ ，Q 点的横坐标为 1+ ，将 x=1+ 代入 y=（x1） 2+4 中，得 y=4 Q 点的纵坐标为 4 ，QF=（4 ）（4t ） =t ，S ACQ=
11、SAFQ +SCPQ= FQAG+ FQDG= FQ（AG+DG）= FQAD= 2（t ）= （t2 ） 2+1，当 t=2 时，ACQ 的面积最大，最大值是 14.解（1）由直线 过点 C（0，4），得 ，nxy344n .1分2xy当 时， ，解得 .A（3，0）. 0x抛物线 经过点 A（3，0），B（0，2），cbxy23 ,2,0c.,4c抛物线的解析式为 .4分232xy（2）点 P的横坐标为 ，P（ ， ），D（ ，-2）.5 分m234m若BDP 为等腰直角三角形，则 PD=BD.当点 P在直线 BD上方时， .PD2（）若点 P在 轴左侧，则 0，BD= .y ， （舍去）
12、， （舍去） .6分m342121m（）若点 P在 轴右侧，则 0，BD= . ， （舍去）， .7分2374当点 P在直线 BD下方时， 0， ， .BDmP342， （舍去）， .8分m342516m综上所述， 或 .721即当BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为 或 .9分27（3）满足条件的点 P的坐标为（ ， ）、（ ， ）或（ 、 ）.（1253453482531分）综合题（含特殊三角形）5如图，把 RtACO 以 O点为中心，逆时针旋转 90 ，得 RtBDO，点 B坐标为（0，-3），点 C坐标为（0， ），抛物线 y=- x2+bx+c经过点 A和点 C （1）求 b，
13、c的值； （2）在 x轴以上的抛物线对称轴上是否存在点 Q，使得ACQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由 （3）点 P从点 O出发沿轴向负半轴运动，每秒个单位，过点P作 y轴的平行线交抛物线于点 M，当为几秒时，以M、P、O、C 为顶点得四边形是平行四边形？6.如图，正方形 ABCO的边 OA、OC 在坐标轴上，点 B坐标为（3，3） 将正方形 ABCO绕点 A顺时针旋转角度 （0 90） ，得到正方形 ADEF，ED 交线段 OC于点 G，ED 的延长线交线段 BC于点 P，连 AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG 的度数；并判断线段 OG、PG
14、、BP 之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2 时，求直线 PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线 PE上是否存在点 M，使以 M、A、G 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出 M点坐标；若不存在，请说明理由5.解.(1) 由旋转知：OA=OB=3A（3，0） 1 分由 ， 302ccb32cb4分（2）存在，有 2个 Q点，坐标分别为：（1， ） ；（1， ）. 813分（3）OC= ，当 M、P、O、C 为顶点得四边形是平行四边形时，PM= 3M 点的纵坐标为 或 . 9分由 332x解之，x=2 或 0 10分由 解之，x=1+ 或1 11分7结合条件及图形分析得：OP=
15、2 或 +1 7当 t=2或 +1秒时，以 M、P、O、C 为顶点得四边形是平行四边形。 12 分6.解（1）证明：由题意得，AO=AD，AOG=ADG=90，在 RtAOG 和 RtADG 中，AO=AD，AG=AG，AOGADG（HL）. 2 分（2）PAG =45,PG=OG+BP.理由如下：由（1）同理可证ADPABP，则DAP=BAP，DP=BP，由（1）AOGADG，1=DAG，DG=OG，又1+DAG+DAP+BAP=90，2DAG+2DAP=90，即DAG+DAP=45，PAG=DAG+DAP=45.PG=DG+DP=OG+BP. 6 分（3）AOGADG，AGO=AGD，又1+AGO=90，2+PGC=90，1=2，AGO=AGD=PGC，又AGO+AGD+PGC=180，AGO=AGD=PGC=60，1=2=30，综合题（含特殊三角形）在 RtAOG 中，AO=3，OG=AOtan30G 点坐标为在 RtPCG 中，PC= -3， P 点坐标为：（3， -3）设直线 PE的解析式为 y=kx+b，则 解得直线 PE的解析式为 y=x3. 10 分（4） 12 分
