1、 数学（理）试卷一、选择题1.设集合 21|,|12AxBx，则 AB（ ） A | B | C 1|2x D |1x2.若函数 21,lnxf则 fe（ 为自然对数的底数） （ ） A0 B1 C2 D 2ln13.已知 为第二象限角，且 3si5，则 ta的值是（ ） A 43 B 34 C 4 D 34 4.设 0a且 1，则“函数 xf”在 R上是增函数是“函数 agx”“在 0,上是增函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件5.定积分 42016xd等于（ ） A 283 B 5 C. 643 D 836.若函数 sincoyx的图像向右
2、平移 0m个单位长度后，所得到的图像关于 y轴对称，则m的最小值是（ ） A 6 B 4 C. 23 D 37.设数列 na是由正数组成的等比数列， nS为其前 项和，已知 2431,7aSA，则 5（ ） A 152 B 31 C. 4 D 178.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图，左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ） A 213 B 4136 C. 216 D 2139.若 C外接圆的半径为 1，圆心为 O，且 0ABC，且 OAB，则 CA等于（ ） A 32 B 3 C. 23 D310.已知
3、 12F、 是椭圆和双曲线的公共焦点， P是它们的一个公共点，且 123FP，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A 43 B 3 C. 3 D2二、填空题11.已知向量 1,2a，向量 ,bx，且 ab，则实数 x等于 12. *3fnnN ，计算 3572,42,8,163,2fffff，推测当 时，有 13.设实数 ,xy满足约束条件2084,xy，若目标函数 0,zabxy的最大值为 8，则ab的最小值为 14.若二次函数 20fxabc的图像和直线 yx无交点，现有下列结论：（1）方程 一定没有实数根；（2）若 0a，则不等式 fx对一切实数 x都成立；（3）若 ，则必
4、存在实数 0，使 0f；（4）函数 20gxabc的图像与直线 yx一定没有交点，其中正确的结论是 （写出所有正确结论的编号） 15已知椭圆 2:1yCab的左，右焦点分别为 12,F，点 P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若 M是线段 1PF上一点，且满足 12,0MFPOA，则椭圆离心率的取值范围为 三、解答题 16.在 ABC中，角 、 、 的对边分别为 abc、 、 ，且角 BC、 、 成等差数列.（1）若 3,ba，求边 c的值；（2）设 sint，求 t的最大值.17.已知以点 ,0CtR为圆心的圆过原点 O.（1）设直线 34xy与圆 C交于点 MN、 ，若 ，求圆 C的方程；（
5、2）在（1）的条件下，设 0,2B，且 PQ、 分别是直线 :20lxy和圆 上的动点，求PQB的最大值及此时点 的坐标.18. 在四棱锥 ACD中，侧面 底面 ,ABCD，底面 ABCD是直角梯形，0/,9,1,2ABP.（1）求证： BC平面 PD；（2）设 E为侧棱 上异于端点的一点， PEC，试确定 的值，使得二面角 EBDP的大小为45.19.已知等差数列 na满足： *11,naN，该数列的前三项分别加上 1,1,3 后顺次成为等比数列 nb的前三项.（1）求数列 n， b的通项公式；（2）设 *12nnaaTN ，若 231nTcZ恒成立，求 c的最小值.20.已知函数 lrx，
6、函数 10,hxafxrhx.（1）试求 f的单调区间.（2）若 x在区间 1， 上是单调递增函数，试求实数 a的取值范围：（3）设数列 na是公差为 1，首项为 1 的等差数列，数列 1n的前 项和为 nS，求证：当 1a时，*12,2nnSfSNn.21.已知椭圆2:0xyCab的一个焦点与抛物线 24yx的焦点相同， 12,F为椭圆的左、右焦点. M为椭圆上任意一点， 12MF面积的最大值为 1.（1）求椭圆 的方程；（2）直线 :0lykxm交椭圆 C于 ,AB两点.若 x轴上任意一点到直线 2F与 距离相等，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标；若直线 l的斜率是直线 ,OAB斜
7、率的等比中项，求 O面积的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BCDAA 6-10: DBCDA 二、填空题11. 9 12. 2nf 13. 4 14. 15. 12，三、解答题16.试题解析：（1）因为角 ABC、 、 成等差数列，所以 BAC，因为 ABC，所以 3，因为 3b， 22,cosaba，因为 203A，所以 7266A，所以当 ，即 3时， t有最大值 3412 分17.试题解析：（1） OMN，所以则原点 O在 MN的中垂线上，设 N的中点为 H，则 C， H、 、 三点共线.直线 的方程是 340xy，直线 C的斜率 231tk，解得 3t或 ，圆心为3,1C或 ,，
8、圆 的方程为 221xy或 22310xy.由于当圆方程为 30时，圆心到直线 4x的距离 dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去，圆 C的方程为 221y.（2）在三角形 PBQ中，两边之差小于第三边，故 PQB，又 ,C三点共线时 最大，所以 的最大值为 C102， 0,23,1B，直线 B的方程为 3yx，直线 C与直线 2xy的交点 P的坐标为 64， .18.试题解析：（1）证明：因为侧面 PCD底面 ,ABPCD，所以 P底面 ABCD，所以 A，又因为 09，即 ，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1,0,2,1B，所以 0DC，所以 0A，所以 BD，由 P底面 ，可得
9、P，又因为 ，所以 C平面 .（2）由（1）知平面 B的一个法向量为 1,0B，且 ,10,2PC，所以0,PC，又 PE，所以 ,2EDE.设平面 D的法向理为 ,nabc，因为 ,，由 nBA， DE，得 210abc，令 1，则可得平面 的一个法向量为 21,，所以 cos4nBCA，解得 2或 21，又由题意知 0,1，故 1.19.试题解析：（1）设 dq、 分别为数列 na的公差、数列 nb的公比.由题意知， 123,2ad，分别加上 1，1，3 得 2， d， 42，24d，所以 ，又 1n，所以 0，所以 ，所以 *naN，由此可得 2,bq，所以 *2nb.（2） 12231
10、512nn naaTbb ， 2351n n ，由-得 23112n nT ，1232nnnnn， 33nT，使 21ncZ恒成立的 c的最小值为 3.20.试题解析：（1） 1lnfxax，所以 21axf，因为 0,ax，所以 20，令 10,，所以 f的单调递增区间是 1,a； fx的单调递减区间是 10,a；（2）若 fx在 ,是单调递增函数，则 f恒成立，即 x恒成立，即 max1，因为 1,，所以 1x，故 1a.（3）设数列 n是公差为 1 首项为 1 的等差数列，所以 1,2nSn ，当 1时，由（2）知： lnfxx在 1,上为增函数，lfn，当 时， ff，所以 l0x，即
11、 l1x，所以 1xx；令 lng，则有 gx，当 1， ，有 0gx，则 10x，即 1x，所以 0,时， 1lnx，所以不等式 l成立.令 *,2,2xnNn 且 时，将所得各不等式相加，得1231lnln2312n ，即 .*1nnSfSN且.考点：应用导数研究函数的单调性，等差数列的通项公式， “累加法”.21.（1）由抛物线的方程 24yx得其焦点为 10， ，所以椭圆中 1c，当点 M为椭圆的短轴端点时， 12MF面积最大，此时 2Sb，所以 1，12,F为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上任意一点， 1F面积的最大值为 1，所以椭圆的方程为21xy.（2）联立2ykxm，得 2240k
12、xm，2222164181，得 2km（*）设 12,AxyB，则212124,kxx， 1122,kmymk，由 120k，得 120xk，所以12120xx，即 224mkkA，得 2k，所以直线 l的方程为 yk，因此直线 l恒过定点，该定点坐标为 0， .因为直线 l的斜率是直线 ,OB斜率的等比中项，所以 2OABk，即 21ykx，得122kxmk，得 210mx，所以2240k，又 ，所以 2k，代入（*） ，得 20m.2213ABx.设点 O到直线 AB的距离为 d，则 231mk，所以222 21323AB mS ，当且仅当 2m，即 210,时， AOB面积取最大值 .故 AOB面积的取值范围为 ,.
