1、2017 高考一轮复习 统计概率专题一解答题（共 16 小题）1 （2016山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队” 得 1分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响假设“星队” 参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成语的概率；（II） “星队” 两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX2 （2016天津）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次
2、数为1，2，3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（1）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；（2）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望3 （2016河北区三模）集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为 ， ， ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需费用为 100 元（）求集成电路 E 需要维修的
3、概率；（）若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求 X 的分布列和期望4 （2016唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满 200 元减 50 元：方案二：每满 200 元可抽奖一次具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的甲箱，装有 2 个红球、2 个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数 3 2 1 0实际付款 半价 7 折 8 折 原价（）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个
4、人获得半价优惠的概率；（）若某顾客购物金额为 320 元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？5 （2016武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在 150 名和 9511000 名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，年级名次是否近视 150 9511000近视 41 32不
5、近视 9 18能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 150 的学生人数为X，求 X 的分布列和数学期望附：P（K 2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.8796 （2016海南校级模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为 k，当 k85 时，产品为一级品；当 75k85 时，产品为二级品；
6、当 70k75 时，产品为三级品现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做实验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）A 配方的频数分布表 B 配方的频数分布表指标值分组75，80）80，85）85，90）90，95）指标值分组75，80）80，85）85，90）90，95）75，80）频数 10 30 40 20频数 5 10 15 40 30（1）若从 B 配方产品中有放回地随机抽取 3 件，记“抽出的 B 配方产品中至少 1 件二级品”为事件 C，求事件 C 的概率 P（C） ；（2）若两种新产品的利润率与质量指标值
7、k 满足如下关系：y= （其中 t ） ，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？7 （2016兴庆区校级二模）袋中装有围棋黑色和白色棋子共 7 枚，从中任取 2 枚棋子都是白色的概率为 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子甲先摸，乙后取，然后甲再取，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的用 X 表示取棋子终止时所需的取棋子的次数（1）求随机变量 X 的概率分布列和数学期望 E（X ） ；（2）求甲取到白球的概率8 （2016海口模拟）汽车租赁公司为了调查 A，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车，分别统计了每辆车某个星
8、期内的出租天数，统计数据如下表：A 型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 5 10 30 35 15 3 2B 型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 14 20 20 16 15 10 5（ I）从出租天数为 3 天的汽车（仅限 A，B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率；（）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率；（）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从 A，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由9 （2016大连
9、二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，如果比赛采用“五局三胜制” （先胜三局者获胜，比赛结束） （1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望10 （2016泰安二模）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200 名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成0，10） ，10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50） ，50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图） 将日均课外体育锻炼时间不低于 40 分
10、钟的学生评价为“课外体育达标”（1）请根据直方图中的数据填写下面的 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标 课外体育达标 合计男 60 _ _女 _ _ 110合计 _ _ _（2）现按照“课外体育达标”与“ 课外体育不达标”进行分层抽样，抽取 12 人，再从这 12 名学生中随机抽取 3 人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标 ”的人数为 ，求 得分布列和数学期望附参考公式与数据：K 2=P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.8
11、79 10.82811 （2016辽宁校级模拟）语文成绩服从正态分布 N（100，17.5 2） ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于 135 的则认为特别优秀（1）这 500 名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有 6 人，从（1）中的这些同学中随机抽取 3 人，设三人中两科都特别优秀的有 x 人，求 x 的分布列和数学期望 （附公式及表）若 xN（， 2） ，则 P（x+ ）=0.68，P（ 2x+2）=0.9612 （2016潮南区模拟）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品，小于 82
12、 为次品现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测，检测结果统计如表：测试指标 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100芯片甲 8 12 40 32 8芯片乙 7 18 40 29 6（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元在（I）的前提下，（i）记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（ii）求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率13 （2016石嘴
13、山校级一模）在一次考试中，5 名同学数学、物理成绩如表所示：学生 A B C D E数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293（1）根据表中数据，求物理分 y 对数学分 x 的回归方程：（2）要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动，以 X 表示选中的同学中物理成绩高于 90 分的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 E（X ） （ 附：回归方程 中， ， ）14 （2016重庆模拟）某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店 1 月份中5 天的日营业额 y（单位：千元）与该地当日最低气温 x（单位：）的数据，如表：x2 5 891
14、1y12 10 887（）求 y 关于 x 的回归方程 = x+ ；（）判定 y 与 x 之间是正相关还是负相关；若该地 1 月份某天的最低气温为 6，用所求回归方程预测该店当日的营业额（）设该地 1 月份的日最低气温 XN （， 2） ，其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 s2，求 P（3.8X13.4）附：回归方程 = x+ 中， = ， = b 3.2， 1.8若 XN（ ， 2） ，则 P（X +）=0.6826，P（2X +2）=0.954415 （2016 春 抚州校级月考）西安世园会志愿者招骋正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为 ，甲
15、、乙两人都不能被录用的概率为 ，乙、丙两人都能被录用的概率为 （1）乙、丙两人各自能被录用的概率；（2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率16 （2016东城区模拟）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元， 表示经销一件该商品的利润（）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P（A） ；（）求 的分布列及期望
16、 E2017 高考一轮复习 统计概率专题参考答案与试题解析一解答题（共 16 小题）1 （2016山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队” 得 1分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响假设“星队” 参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成语的概率；（II） “星队” 两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX【分析】 （I） “星队” 至少猜对 3 个成语包含“甲猜
17、对 1 个，乙猜对 2 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 1 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 2 个” 三个基本事件，进而可得答案；（II）由已知可得：“ 星队”两轮得分之和为 X 可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到 X 的分布列和数学期望【解答】解：（I） “星队” 至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 1 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 2 个” 三个基本事件，故概率 P= + + = + + =，（II） “星队” 两轮得分之和为 X 可能为：0，1，2，3，4，6，则 P（X=0）= = ，P（X=1）=2 + = ，P（X=
18、2）= + + = ，P（X=3）=2 = ，P（X=4）=2 + =P（X=6）= =故 X 的分布列如下图所示：X 0 1 2 3 4 6P数学期望 EX=0 +1 +2 +3 +4 +6 = =【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题2 （2016天津）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（1）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；（2）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X
19、 的分布列和数学期望【分析】 （1）选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 为事件 A，求出选出的 2 人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率则 P（A） （2）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3 分别求出 P（X=0） ，P（X=1） ，P（X=2） ，P（X=3）的值，由此能求出 X 的分布列和 EX【解答】解：（1）从 10 人中选出 2 人的选法共有 =45 种，事件 A：参加次数的和为 4，情况有： 1 人参加 1 次，另 1 人参加 3 次， 2 人都参加2 次；共有 + =15 种，事件 A 发生概率：P= = （）X 的可能取值为 0，1 ，2P（X=0）=
20、=P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，X 的分布列为：X 0 1 2PEX=0 +1 +2 =1【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型解题时要认真审题，仔细解答，注意古典概型的灵活运用3 （2016河北区三模）集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为 ， ， ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需费用为 100 元（）求集成电路 E 需要维修的概率；（）若某电子设备共由 2 个集成电路
21、 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求 X 的分布列和期望【分析】 （）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得 3 个元件都不能正常工作的概率 P1 的值，3 个元件中的 2 个不能正常工作的概率 P2 的值，再把 P1 和 P2 相加，即得所求（）设 为维修集成电路的个数，则 服从 B（2， ） ，求得 P（X=100）=P（=k） 的值，可得 X 的分布列，从而求得 X 的期望【解答】解：（）三个电子元件能正常工作分别记为事件 A，B，C，则 P（A）= ，P（B）= ，P （C）= 依题意，集成电路 E 需要维修有两种情形：3 个元件都不能正常工作，概率为 P1
22、=P（ ）=P（ ）P（ ）P（ ）= =3 个元件中的 2 个不能正常工作，概率为 P2=P（A ）+P（ B ）+P （ C）= + + = 所以，集成电路 E 需要维修的概率为 P1+P2= + = （）设 为维修集成电路的个数，则 服从 B（2， ） ，而 X=100，P（X=100）=P（=k）= ，k=0 ，1，2X 的分布列为：X 0 100 200PEX=0 +100 +200 = 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题4 （2016唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案
23、一：每满 200 元减 50 元：方案二：每满 200 元可抽奖一次具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的甲箱，装有 2 个红球、2 个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数 3 2 1 0实际付款 半价 7折 8折 原价（）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（）若某顾客购物金额为 320 元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【分析】 （）先求出顾客获得半价优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率（）分别求出
24、方案一和方案二和付款金额，由此能比较哪一种方案更划算【解答】解：（）记顾客获得半价优惠为事件 A，则 P（A）= = ，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1P（ ）P（ ）=1 （1 ） 2= （5 分）（）若选择方案一，则付款金额为 32050=270 元若选择方案二，记付款金额为 X 元，则 X 可取 160，224 ，256，320P（X=160）= ，P（X=224）= = ，P（X=256）= = ，P（X=320）= = ，则 E（X）=160 +224 +256 +320 =240270240，第二种方案比较划算（12 分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的
25、数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用5 （2016武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在 150 名和 9511000 名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，年级名次是否近视 150 9511000近视 41 32不近视 9
26、18能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 150 的学生人数为X，求 X 的分布列和数学期望附：P（K 2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879【分析】 （1）设各组的频率为 fi（i=1，2，3，4，5，6） ，由已知得后四组频数依次为27，24，21，18，由此能求出估计全年级视力在 5.0 以下的人数（2）求出 K2，由
27、此能求出在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系（）依题意 9 人中年级名次在 150 名和 9511000 名分别有 3 人和 6 人，X 可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出 X 的分布列和 X 的数学期望【解答】解：（1）设各组的频率为 fi（i=1，2，3，4，5 ，6） ，由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人，（1 分）因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 27，24，21，18（2 分）所以视力在 5.0 以下的频率为： =0.82，故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 （3 分）（2）因此在犯错误的概率
28、不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系（6 分）（）依题意 9 人中年级名次在 150 名和 9511000 名分别有 3 人和 6 人，X 可取0、1、2、3，（7 分），X 的分布列为：X 0 1 2 3P（11 分）X 的数学期望 （12 分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型机随机变量概率分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用6 （2016海南校级模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为 k，当 k85 时，产品为一级品；当 75k85 时，产品为二级品；当 70k75 时，产品为三
29、级品现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做实验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）A 配方的频数分布表 B 配方的频数分布表指标值分组75，80）80，85）85，90）90，95）指标值分组75，80）80，85）85，90）90，95）75，80）频数 10 30 40 20 频数 5 10 15 40 30（1）若从 B 配方产品中有放回地随机抽取 3 件，记“抽出的 B 配方产品中至少 1 件二级品”为事件 C，求事件 C 的概率 P（C） ；（2）若两种新产品的利润率与质量指标值 k 满足如下关系：y= （
30、其中 t ） ，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【分析】 （1）先求出 P（抽中二级品）= ，由此能求出事件 C 的概率 P（C） （2）分别求出 A 的分布列， E（A ）和 B 的分布列 E（B） ，由此能求出从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大【解答】解：（1）P（抽中二级品）= ，P （没抽中二级品）= ，P（C） =1（ ） 3= （3）A 的分布列为：y t 5t2P 0.6 0.4E（A）=0.6t+2t 2B 的分布列为：y t 5t2 t2P 0.7 0.25 0.05E（B）=0.7t+1.3t 2 t ，E（A） E（B）= t（t ）0，E（A）较
31、大，投资 A【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一7 （2016兴庆区校级二模）袋中装有围棋黑色和白色棋子共 7 枚，从中任取 2 枚棋子都是白色的概率为 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子甲先摸，乙后取，然后甲再取，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的用 X 表示取棋子终止时所需的取棋子的次数（1）求随机变量 X 的概率分布列和数学期望 E（X ） ；（2）求甲取到白球的概率【分析】 （1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量 X 的概率分布列和数学期望 E（
32、X ） ；（2）记事件 A=“甲取到白球 ”，则事件 A 包括以下三个互斥事件：A 1=“甲第 1 次取球时取出白球”；A 2=“甲第 2 次取球时取出白球”；A 3=“甲第 3 次取球时取出白球”利用互斥事件概率加法公式，可得：甲取到白球的概率【解答】解：设袋中白球共有 x 个，则依题意知： = ，即 = ，即 x2x6=0，解之得 x=3， （x=2 舍去） （1 分）（1）袋中的 7 枚棋子 3 白 4 黑，随机变量 X 的所有可能取值是 1，2，3，4，5P（x=1）= = ，P（x=2）= = ，P（x=3）= = ，P（x=4）= = ，P（x=5）= = ，（5 分）（注：此段（
33、4 分）的分配是每错 1 个扣（1 分） ，错到 4 个即不得分 ）随机变量 X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 5P所以 E（X）=1 +2 +3 +4 +5 =2（6 分）（2）记事件 A=“甲取到白球 ”，则事件 A 包括以下三个互斥事件：A1=“甲第 1 次取球时取出白球”；A2=“甲第 2 次取球时取出白球”；A3=“甲第 3 次取球时取出白球”依题意知：P（A 1）= = ，P（A 2）= = ，P（A 3）= = ，（9 分）（注：此段（3 分）的分配是每错 1 个扣（1 分） ，错到 3 个即不得分 ）所以，甲取到白球的概率为 P（A）=P（A 1）+P（A 2）+P（A
34、3）= （10 分）【点评】本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，难度中档8 （2016海口模拟）汽车租赁公司为了调查 A，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A 型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 5 10 30 35 15 3 2B 型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 14 20 20 16 15 10 5（ I）从出租天数为 3 天的汽车（仅限 A，B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率；（）根据这个星
35、期的统计数据，估计该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率；（）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从 A，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由【分析】 （）利用古典概型的概率计算公式即可得出；（）该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天分为以下三种情况：A 型车 1 天 B 型车 3 天；A 型车 B 型车都 2 天；A 型车 3 天 B 型车 1 天，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；（）从数学期望和方差分析即可得出结论【解答】解：（ I）出租天数
36、为 3 天的汽车 A 型车有 30 辆，B 型车 20 辆从中随机抽取一辆，这辆汽车是 A 型车的概率约为 =0.6（ II）设“事件 Ai 表示一辆 A 型车在一周内出租天数恰好为 i 天”，“事件 Bj 表示一辆 B 型车在一周内出租天数恰好为 j 天” ，其中 i，j=1，2，7则该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为P（A 1B3+A2B2+A3B1）=P（A 1B3）+P（A 2B2）+P（A 3B1）=P（A 1）P （B 3）+P （A 2）P（B 2）+P（A 3）P（B 1）= 该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为
37、 4 天的概率为 （）设 X 为 A 型车出租的天数，则 X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 7P 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02设 Y 为 B 型车出租的天数，则 Y 的分布列为Y 1 2 3 4 5 6 7P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05E（X）=1 0.05+20.10+30.30+40.35+50.15+60.03+70.02=3.62E（Y）=1 0.14+20.20+30.20+40.16+50.15+60.10+70.05=3.48一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天，B
38、 类车型一个星期出租天数的平均值为 3.48 天从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差大于 B 型车出租天数的方差，综合分析，选择 A 类型的出租车更加合理【点评】上来掌握古典概型的概率计算公式、互斥事件和独立事件的概率计算公式、数学期望和方差的计算公式和意义是解题的关键9 （2016大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，如果比赛采用“五局三胜制” （先胜三局者获胜，比赛结束） （1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望【分析】 （1）甲获得比赛胜利包含三种情
39、况：甲连胜三局；前三局甲两胜一负，第四局甲胜；前四局甲两胜两负，第五局甲胜由此能求出甲获得比赛胜利的概率（2）由已知得 X 的可能取值为 3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X的分布列和数学期望【解答】解：（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：甲连胜三局；前三局甲两胜一负，第四局甲胜；前四局甲两胜两负，第五局甲胜甲获得比赛胜利的概率：p= + +C （ ） 2（ ） 2 = （2）由已知得 X 的可能取值为 3，4，5，P（X=3）= = ，P（X=4）= + = ，P（X=5）=C （ ） 2（ ） 2 +C （ ） 2（ ） 2 = ，随机变量 X 的分布列为：X 3 4 5P
40、数学期望 EX= = 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式的合理运用10 （2016泰安二模）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200 名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成0，10） ，10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50） ，50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图） 将日均课外体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生评价为“课外体育达标”（1）请根据直方图中的数据填写下面的
41、 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标 课外体育达标 合计男 60 30 90 女 90 20 110合计 150 50 200 （2）现按照“课外体育达标”与“ 课外体育不达标”进行分层抽样，抽取 12 人，再从这 12 名学生中随机抽取 3 人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标 ”的人数为 ，求 得分布列和数学期望附参考公式与数据：K 2=P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828【分析】 （1）由题意得“
42、课外体育达标”人数为 50，则不达标人数为 150，由此列联表，求出 K2= ，从而得到在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下没有理由认为“课外体育达标” 与性别有关（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为 9 人，在达标学生中抽取人数为 3 人，则 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E（） 【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数为：200（0.02+0.005）10=50，则不达标人数为 150，列联表如下：课外体育不达标 课外体育达标 合计男 60 30 90女 90 20 110合计 150 50 200K 2= = ，在犯错误的概率不超
43、过 0.01 的前提下没有理由认为“课外体育达标 ”与性别有关（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为：12 =9 人，在达标学生中抽取人数为：12 =3 人，则 的可能取值为 0，1，2，3，P（=0）= = ，P（=1）= = ，P（=2）= = ，P（=3）= = ， 的分布列为： 0 1 2 3PE（）= = 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求示，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用11 （2016辽宁校级模拟）语文成绩服从正态分布 N（100，17.5 2） ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于 135 的则认为特别优秀（1
44、）这 500 名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有 6 人，从（1）中的这些同学中随机抽取 3 人，设三人中两科都特别优秀的有 x 人，求 x 的分布列和数学期望 （附公式及表）若 xN（， 2） ，则 P（x+ ）=0.68，P（ 2x+2）=0.96【分析】 （1）先求出语文成绩特别优秀的概率和数学成绩特别优秀的概率，由此能求出语文和数学两科都特别优秀的人的个数（2）由题意 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X） 【解答】解：（1）语文成绩服从正态分布 N（100，17.5 2）
45、，语文成绩特别优秀的概率为 p1=P（X135）= （1 0.96） =0.02，数学成绩特别优秀的概率为 p2=0.0016 =0.024，语文特别优秀的同学有 5000.02=10 人，数学特别优秀的同学有 5000.024=12 人（2）语文数学两科都优秀的有 6 人，单科优秀的有 10 人，X 的所有可能取值为 0，1， 2，3，P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，X 的分布列为：x 0 1 2 3PE（X）= = 【点评】本题考查正态分布的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识
46、的合理运用12 （2016潮南区模拟）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品，小于 82 为次品现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测，检测结果统计如表：测试指标 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100芯片甲 8 12 40 32 8芯片乙 7 18 40 29 6（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元在（I）的前提下，（i）记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得
47、的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（ii）求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率【分析】 （）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解（） （）先判断随机变量 X 的所有取值情况有 90，45，30，15 ，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值（）设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件，则次品有 5n 件由题意，得 50n10（5n）140，解不等式可求 n，然后利用独立事件恰好发生 k 次的概率公式即可求解【解答】解：（）芯片甲为合格品的概率约为 ，芯片乙为合格品的概率约为 （3 分）（） （）随机变量 X 的所有取值为 90，45，30，15. ； ； 所以，随机变量 X 的分布列为：X 90 45 30 15P （8 分）（）设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件，则次品有 5n 件依题意，得 50n10（5 n） 140，解得 所以 n=4，或 n=5设“生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元”为事件 A，则 （12 分）【点评】本题主要考查了等可能事
