1、110.1 概 率考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.古典概型及事件概率理解古典概型及其概率计算公式;会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率2017山东,16;2017天津,3;2017课标全国,11;2016课标全国,18;2016课标全国,3;2016课标全国,52.几何概型及概率综合问题了解几何概型的意义,会解与几何概型相交会的线性规划、圆及其他图形的概率2017课标全国,4;2017江苏,7;2016课标全国,8选择题、填空题、解答题分析解读本节内容是高考的重点考查内容之一,最近几年的高考有以下特点:1.古典概型主要考查等可能性事件发生的概
2、率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题也有所体现,可能考查会有所增加,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值为5分左右,属容易题.五年高考考点一 古典概型及事件概率1.(2017课标全国,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.110 15 310 25答案 D 2.(2017天津,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(
3、 )2A. B. C. D.45 35 25 15答案 C 3.(2016课标全国,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A. B. C. D.815 18 115 130答案 C 4.(2016北京,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )A. B. C. D.15 25 825 925答案 B 5.(2016天津,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的概率为( )12 13A. B. C.
4、 D.56 25 16 13答案 A 6.(2015课标,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A. B. C. D.310 15 110 120答案 C 7.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log ab为整数的概率是 .答案 168.(2014课标,13,5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 .答案 239.(2014课标,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、
5、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为 .答案 1310.(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A2,A3和3个欧洲国家B 1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.解析 3(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A 1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,
6、B2,B1,B3,B2,B3,共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A 1,A2,A1,A3,A2,A3,共3个,则所求事件的概率为P= = .31515(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:A 1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9个.包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有:A 1,B2,A1,B3,共2个,则所求事件的概率为P= .2911.(2016课标全国,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年
7、度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数0 1 2 3 4 5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数 0 1 2 3 4 5频数 60 50 30 30 20 10(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,
8、60+50200故P(A)的估计值为0.55.(3分)(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,30+30200故P(B)的估计值为0.3.(6分)(3)由所给数据得保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05(10分)调查的200名续保人的平均保费为40.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a元.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元.(12分)1
9、2.(2015天津,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A 1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设A为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.解析 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A
10、1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共15种.(ii)编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A 1,A5,A1,A6,A2,A5,A2,A6,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共9种.因此,事件A发生的概率P(A)= = .91535教师用书专用(1332)13.(2015广东,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A.0.4 B.0.6
11、 C.0.8 D.1答案 B 14.(2014江西,3,5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( )A. B. C. D.118 19 16 112答案 B 15.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.15 25 35 45答案 B 16.(2014湖北,5,5分)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1,点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则( )A.p1 ,516 38 516所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.23
12、.(2015山东,16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A 1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B 1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A 1被选中且B 1未被选中的概率.解析 (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,所以从该班随机选1名同
13、学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P= = .154513(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A4,B1,A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3,共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个.7因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P= .21524.(2015北京,17,13分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买
14、甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.商品顾客人数 甲 乙 丙 丁100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解析 (1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 =0.2.2001 000(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客
15、最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 =0.3.100+2001 000(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 =0.2,2001 000顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 =0.6,100+200+3001 000顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 =0.1.1001 000所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.25.(2014陕西,19,12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额( 0 1 000 2 000 3 000 4 0008元)车辆数(辆
16、) 500 130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.解析 (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)= =0.15,P(B)= =0.12.1501 000 1201 000由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.
17、12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,知样本车辆中车主为新司机的有0.11 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.2410026.(2014四川,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,
18、b,c不完全相同”的概率.解析(1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,
19、2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)= = .32719因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为 .19(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3), 共3种.所以P(B)=1-P( )=1- = .32789因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为 .8927.(2014天津,15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:9一年级 二年级 三年级男同学 A B C女同学 X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相
20、同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解析(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A,B,A,C,A,X,A,Y,A,Z,B,C,B,X,B,Y,B,Z,C,X,C,Y,C,Z,X,Y,X,Z,Y,Z,共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A,Y,A,Z,B,X,B,Z,C,X,C,Y,共6种.因此,事件M发生的概率P(M)= = .6152528.(2013天津,15,13分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y
21、+z评价该产品的等级.若S4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号 A1 A2 A3 A4 A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号 A6 A7 A8 A9 A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,(i)用产品编号列出所有可能的结果;(ii)设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
22、解析 (1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5其中S4的有A 1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为 =0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.610(2)(i)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为A 1,A2,A1,A4,A1,A5,A1,A7,A1,A9,10A2,A4,A2,A5,A2,A7,A2,A9,A4,A5,A4,A7,A4,A9,A5,A7,A5,A9,A7,A9,共15种.(ii)在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产
23、品编号分别为A 1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为A 1,A2,A1,A5,A1,A7,A2,A5,A2,A7,A5,A7,共6种.所以P(B)= = .6152529.(2013江西,18,12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O为起点,再从A 1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X0就去打球,若X=0就去唱歌,若Xa的概率是( )A. B. C. D.45 35 25 15答案 D 4.(2017河南新乡调研,10)某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,
24、其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人,从该车间的6名工人中任取2名,则恰有1名优秀工人的概率为( )A. B. C. D.19 13 815 715答案 C 考点二 几何概型及概率综合问题5.(2018山东师大附中12月模拟,9)在区间 上随机取一个数x,则sin x+cos x1, 的概率是( )-6,2 2A. B. C. D.23 34 12 13答案 B 6.(2018广东惠州一调,8)三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一
25、个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2勾股+(股-勾) 2=4朱实+黄实=弦实,化简得勾 2+股 2=弦 2.设勾股形中勾股比为1 ,若向弦图内随机抛掷1 315000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉颗数大约为( 1.732)( )3A.866 B.500 C.300 D.134答案 D 7.(2017陕西榆林二模,4)已知函数f(x)= 在区间0,e上随机取一个实数x,则f(x)的值不小于,048.即y= 30,048,0.6-1.2,48.(2)设该月甲乙两人的电话资费均为a元,通话量均为b分钟.当0b48时,甲乙两人的电话资费分别为30元,98元
26、,不相等;当b170时,甲乙两人的电话资费分别为y 1=30+0.6(b-48)元,y 2=98+0.6(b-170)元,y 2-y1=-5.2D2.(3)设“连续三天每天平均最高温度值都在27,30之间”为事件A,则基本事件空间=(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(29,30,31),共29个基本事件,由题图可以看出,事件A中包含10个基本事件,P(A)= ,即所选3天每天平均最高温度值都在27,30之间的概率为 .1029 1029C组 20162018年模拟方法题组方法1 古典概型概率的求法1.(2018黑龙江哈三中12月模拟,6)一次数学考试中,4位同学各自在第22题和第
27、23题中任选一题作答,则第22题和第23题都有同学选答的概率为( )A. B. C. D.516 38 78 1516答案 C 2.(2017江西红色七校第一次联考,5)“序数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1258),在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是( )A. B. C. D.14 23 34 45答案 A 3.(2017安徽江南十校联考,14)某学校高三年级共有11个班,其中14班为文科班,511班为理科班,现从该校文科班和理科班中各选一个班去参加学校组织的一项公益活动,则所选的两个班的序号之积为3的倍数的概率为 .19答案 1328方法2 几何概型概率的求法4.(2017广东韶关六校联考,5)设函数f(x)=-x 2+4x-3,若从区间2,6上任取一个实数x 0,则所选取的实数x 0满足f(x 0)0的概率为( )A. B. C. D.13 14 34 12答案 B
