1、1等差数列知识点及类型题一、数列由 与 的关系求naSna由 求 时，要分 n=1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为 。1()2nnSa例 1 根据下列条件，确定数列 的通项公式。nnnSa2,0分析：将无理问题有理化，而后利用 与 的关系求解。na二、等差数列及其前 n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义， ，第二种是利用等差中项，即 。1()2nadn常 数 12(2)nna2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前 n 项和直接判断。（1）通项法：若数列 的通项公式为 n 的一次函数，即
2、=An+B,则 是等差数列；na（2）前 n 项和法：若数列 的前 n 项和 是 的形式（A，B 是常数），则 是等差S2na数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例 2已知数列 的前 n 项和为 ，且满足an1110(2),nnS（1）求证： 是等差数列；1nS（2）求 的表达式。2【变式】已知数列a n的各项均为正数， a11.其前 n 项和 Sn满足 2Sn2pa a np(pR)，2n则a n的通项公式为_ （二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式 = +（n-1）d 及前 n 项和公式 ，共涉及五个na1 11()()22nnSad量 ，
3、 ，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；annS2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 和 d 是等差数列的两个基本量，用1它们表示已知和未知是常用方法。注：因为 ，故数列 是等差数列。11()22nddanS例 3已知数列 的首项 =3，通项 ，且 ， ， 成等差数nx(,)nxpqNp为 常 数 1x45列。求：（1） 的值；,pq（2）数列 的前 n 项和 的公式。nS分析：（1）由 =3 与 ， ， 成等差数列列出方程组即可求出 ；（2）通过 利用条件分成两个1x4x5 ,qnx可求和的数列分别求和。（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：
4、等差数列公差为 d，若 d0,则数列递增；若 d0,d0，且满足 ，前 n 项和 最小；1nn（3）除上面方法外，还可将 的前 n 项和的最值问题看作 关于 n 的二次函数最值问题，利用二次函aS数的图象或配方法求解，注意 。N例 4在等差数列 中， ，其前 n 项和为 。n16718936n（1）求 的最小值，并求出 取最小值时 n 的值；nSnS（2）求 。12Ta分析：（1）可由已知条件，求出 a1,d,利用 求解，亦可用 利用二次函数求最值；10nnS（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。例 5已知数列 是等差数列。na（1）若 ,(),;mmna求（2）若 .nSS求4【变式】已
5、知数列a n的各项均为正数，S n为其前 n 项和，对于任意的 nN *，满足关系式 2Sn3a n3.(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列b n的通项公式是 bn ，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有1log3anlog3an 1Tn0，a na n1 ，于是 an是等差数列，故 an1 (n1) .12 12 n 12（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式 = +（n-1）d 及前 n 项和公式 ，共涉及五个n1 11()()2nnaSd量 ， ，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；nnS2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变
6、量代换作用，而 和 d 是等差数列的两个基本量，用1它们表示已知和未知是常用方法。注：因为 ，故数列 是等差数列。11()22nddanS例 3已知数列 的首项 =3，通项 ，且 ， ， 成等差数nx(,)nxpqNp为 常 数 1x45列。求：（1） 的值；,pq（2）数列 的前 n 项和 的公式。nS分析：（1）由 =3 与 ， ， 成等差数列列出方程组即可求出 ；（2）通过 利用条件分成两个1x4x5 ,qnx可求和的数列分别求和。解答：（1）由 =3 得 23pq又 ，得 451542,2xpx且 5538p由联立得 。1（2）由（1）得 ，nx（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性
7、：等差数列公差为 d，若 d0,则数列递增；若 d0,d0，且满足 ，前 n 项和 最小；1nn（3）除上面方法外，还可将 的前 n 项和的最值问题看作 关于 n 的二次函数最值问题，利用二次函aS数的图象或配方法求解，注意 。N例 4在等差数列 中， ，其前 n 项和为 。n16718936n（1）求 的最小值，并求出 取最小值时 n 的值；nSnS（2）求 。12Ta分析：（1）可由已知条件，求出 a1,d,利用 求解，亦可用 利用二次函数求最值；10nnS（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，n1d179671871736,2,3,aaa
8、9 1()36,360n nadaA，令 10,:2,n得，当 n=20 或 21 时， 最小且最小值为-630.20()630SnS（2）由（1）知前 20 项小于零，第 21 项等于 0，以后各项均为正数。 2()31.2nnS当 时 ， T21 212631260.3().60n SnnTn当 时 ，综 上 ，例 5已知数列 是等差数列。na（1）若 ,(),;mmna求（2）若 .nSS求解答：设首项为 ，公差为 ，1d（1）由 ，,mna1 ()()0.n （2）由已知可得 解得12,()admn21 .()nmna1()2mn nSadn【变式】已知数列a n的各项均为正数，S n
9、为其前 n 项和，对于任意的 nN *，满足关系式 2Sn3a n3.9(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列b n的通项公式是 bn ，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有1log3anlog3an 1Tn1.(1)解 当 n1 时，由 2Sn3a n3 得，2a 13a 13，a 13.当 n2 时，由 2Sn3a n3 得，2Sn1 3a n1 3.两式相减得：2(S nS n1 )3a n3a n1 ，即 2an3a n3a n 1，a n3a n1 ，又a 130，a n是等比数列，a n3 n.验证：当 n1 时，a 13 也适合 an3 n.a n的通项公式
10、为 an3 n.(2)证明 b n 1log3anlog3an 1 1log33nlog33n 1 ，1(n 1)n 1n 1n 1T nb 1b 2b n(1 )( )( )12 12 13 1n 1n 11 1.1n 1跟踪训练1. 已知等差数列首项为 2，末项为 62，公差为 4，则这个数列共有 （ ）A13 项 B14 项 C15 项 D16 项2. 已知等差数列的通项公式为 an=-3n+a，a 为常数，则公差 d= （ ）3. 在等差数列a n 中，若 a1+a2=-18，a 5+a6=-2，则 30 是这个数列的（ ）A第 22 项 B第 21 项 C第 20 项 D第 19 项
11、4. 已知数列 a，-15，b，c，45 是等差数列，则 a+b+c 的值是 （ ）A-5 B0 C5 D105. 已知等差数列a n 中，a 1+a2+a3=-15，a 3+a4=-16，则 a1= （ ）A-1 B-3 C-5 D-76. 已知等差数列a n 满足 a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是 （ ） 7. 已知数列a n 是等差数列，且 a3+a11=40，则 a6+a7+a8等于 （ ） A84 B 72 C60 D438. 已知等差数列a n 中，a 1+a3+a5=3，则 a2+a4= （ ）A3 B2 C1 D-19.已知数列 ： ， ， ， ， ，则 在此数列 中应是（ ）7191naA第 21 项 B第 41 项 C第 48 项 D第 49 项10. 已知数列 中， ，31a前 n和n ()2nSa（1）求证：数列 是等差数列 （2）求数列 的通项公式10（3）设数列 1na的前 项和为 nT，是否存在实数 M，使得 Tn对一切正整数 n都成立？若存在，求 M的最小值，若不存在，试说明理由。
