1、1等差数列知识点总结一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示2等差数列的通项公式若等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an a1( n1) d( n m)d p.3等差中项如果三个数 x， A， y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，如果 A 是 x 和 y 的等差中项，则 A .x y24等差数列的常用性质(1)通项公式的推广： an am( n m)d(n， mN *)(2)若 an为等差
2、数列，且 m n p q，则 am an ap aq(m， n， p， qN *)(3)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak2 m，( k， mN *)是公差为 md 的等差数列(4)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m，也是等差数列(5)S2n1 (2 n1) an.(6)若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 ；nd2若 n 为奇数，则 S 奇 S 偶 a 中 (中间项)5等差数列的前 n 项和公式若已知首项 a1和末项 an，则 Sn ，或等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，则其前 n 项和公式为n a1 an2Sn na1 d.n n 126等差数列的
3、前 n 项和公式与函数的关系Sn n2 n，数列 an是等差数列的充要条件是 Sn An2 Bn(A， B 为常数)d2 (a1 d2)7最值问题在等差数列 an中， a10， d0，则 Sn存在最大值，若 a10， d0，则 Sn存在最小值一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式：Sn a1 a2 a3 an，Sn an an1 a1，得： Sn .n a1 an2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为， a2 d， a d， a， a d， a2 d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为， a3 d，
4、 a d， a d， a3 d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 an an1 为同一常数；(2)等差中项法：验证 2an1 an an2 (n3， nN *)都成立；(3)通项公式法：验证 an pn q；(4)前 n 项和公式法：验证 Sn An2 Bn.注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列2回顾：1已知等差数列a n中，a 3=9，a 9=3，则公差 d 的值为（ ）A B 1 C D 12已知数列a n的通项公式是 an=2n+5，则此数列是（ ）A 以 7 为首项，公差为 2
5、的等差数列 B 以 7 为首项，公差为 5 的等差数列C 以 5 为首项，公差为 2 的等差数列 D 不是等差数列3在等差数列a n中，a 1=13，a 3=12，若 an=2，则 n 等于（ ）A 23 B 24 C 25 D 264两个数 1 与 5 的等差中项是（ ）A 1 B 3 C 2 D5 （2005黑龙江）如果数列a n是等差数列，则（ ）A a1+a8a 4+a5 B a1+a8=a4+a5 C a1+a8a 4+a5 D a1a8=a4a5考点 1:等差数列的通项与前 n 项和题型 1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本
6、量法【例 1】已知 为等差数列， 20,8615a，则 75 na对应练习：1、已知 为等差数列， qpnm,（ k,互不相等） ，求 ka.n2、已知 5个数成等差数列，它们的和为 5，平方和为 165，求这 个数.题型 2：已知前 n项和 nS及其某项，求项数.【解题思路】利用等差数列的通项公式 dnan)1(求出 1a及 ，代入 nS可求项数 ； 利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出 ，代入 n可求项数 .【例 2】已知 nS为等差数列 的前 项和， 63,9S，求na763)1(231821n对应练习：3、若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的
7、和为 780，求这个数列的项数 n.34.已知 nS为等差数列 的前 n项和， 10,7,14nSa，则 .a题型 3：求等差数列的前 n 项和【解题思路】 （1）利用 求出 n，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例 3】已知 nS为等差数列 的前 项和， 21nSn.na（1） 321； 求 10 ；求 naa321.对应练习：5、已知 nS为等差数列 的前 n项和， 10,10S，求 10S.a考点 2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法： dan1（ N， d是常数） 是等差数列；na2
8、、中项法： 2( ) 是等差数列；3、通项公式法： bkn（ ,是常数） 是等差数列；n4、项和公式法： BAS2（ 是常数， 0A） 是等差数列.na【例 4】已知 n为等差数列 的前 项和， )(NnS.na4求证：数列 nb是等差数列.解：对应练习：6、设 nS为数列 的前 n项和， )(NnpaSn， .21aa（1） 常数 p的值；（2） 证：数列 n是等差数列.考点 3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例 5】1、已知 nS为等差数列 的前 n项和， 106a，则 1S ；a2、知 为等差数列 的前 项和， )(,mnS，则 n .n对应练习：7、含 12
9、n个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）.A.Bn1 .Cn1 .Dn28.设 nS、 T分别是等差数列 、 的前 项和， 37TSn，则 5ba .a考点 4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用 na与 S的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出 T后，判断 n的单调性.【例 6】已知 n为数列 的前 项和， nSn21；数列 nb满足： 13，nbb12，其前 9项和为 .5351 数列 、 nb的通项公式；a设 nT为数列 nc的前 项和， )12(6nnbac，求使不等式 57kTn对 N都成立的最大正整数 k的值.对应练习：9.已知 nS为数列 的前 n项和
10、， 31a， )2(1naSn.a1 数列 的通项公式；数列 中是否存在正整数 k，使得不等式 1k对任意不小于 k的正整数都成立？若存在，求最小的正整n数 k，若不存在，说明理由.课后练习：1.(2010 广雅中学)设数列 na是等差数列，且 28a， 15， nS是数列 na的前 项和，则A 10S B 10S C 90S D 9102.在等差数列 中， 5，则 8642 .n3.数列 中， 492a，当数列 的前 n项和 取得最小值时， n . a4.已知等差数列 共有 10项，其奇数项之和为 10，偶数项之和为 30，则其公差是 . n5.设数列 中， ,n，则通项 n . 6.从正整数数列 5432,中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第 1964项是 .
