1、等差数列和等比数列知识点梳理第 1 节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记： （d为公差） （ ，an1 2n）*nN2、等差数列通项公式： ， 为首项， 为公差1()na1推导过程：叠加法推广公式： ()nmad变形推广： dn3、等差中项（1）如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项即：aAbAab或2baA（2）等差中项：数列 是等差数列na )2(21-nan 21nna4、等差数列的前 n 项和公式：1()2naS1()2ddAnB前 N 相和的推导:当 时,则有 ，特别地，当mnp
2、qqpnmaa时，则有 。 （注： ， ）当然2mnp2a12132nn扩充到 3 项、4 项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。5、等差数列的判定方法 （1） 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数dan1dan1Nna列 （2）等差中项：数列 是等差数列n)2(21-na21nna（3）数列 是等差数列 （其中 是常数）。nabknk,（4）数列 是等差数列 ,（其中A、B是常数）。n 2nS6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发 是等差数列na7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素：n、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本
3、元素。只要已知这 5 个元素中的adnanS1ad任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项 1()nad奇数个数成等差，可设为， （公差为 ） ；2,2aadd偶数个数成等差，可设为， ,（注意；公差3,3d为 2 ）d8、等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于011()nadna的一次函数，且斜率为公差 ；前 和 是ndn21 1()()ndSana关于 的二次函数且常数项为 0。（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若0d0d公差 ，则为常数列。（3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有mnpqqpnm
4、aa2mnp。 （注： ， ）当然扩充到 3 项、42a12132nn项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。（4） 、 为等差数列，则 都为等差数列nab12nnab，【新数列可以化为一次函数的形式】(5) 若 是等差数列，则 ，也成等差数列 na232,nnnSS推导过程：(6) 数列 为等差数列,每隔 k(k )项取出一项 ( )仍na*N23,mkmkaa为等差数列推导过程：（7） 、 的前 和分别为 、 ，则nabnnAB21naAb（8）等差数列 中，na若 ， ，则 （ 1）mSnmnS若 ，则 （2）,a0a推导： 解出 A 和 B 就可以推导出（1）2nAB
5、（2）式直接用推广公式即可(9)求 的最值nS法一：因等差数列前 项和是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数nn的最值，但要注意数列的特殊性 。*N法二：（1） “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和即当 由 可得 达到最大值时的 值， 01da01nanSn（2） “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。n即 当 由 可得 达到最小值时的 值， 01da01nanSn或求 中正负分界项n法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数，故 n取离二次函数对称轴最近的整数时， 取最大值（或最小值） 。S若 S p = S
6、q则其对称轴为 2pq等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义： ， 为公比12naqn0q2、通项公式：， 为首项， 为公比1naqaq推广公式： nmnmaq3、等比中项（1）如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项即：,aAbAab或2Ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列 是等比数列na21nna4、等比数列的前 n 项和 公式：nS(1) 当 时， 1q1(2) 当 时，11nnnaqaS（ 为常数）1 nnnaqABA,B推导过程：5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有 为11(0)nn naqqa或
7、为 常 数 ， n等比数列 （2） 等比中项： （ 0） 为等比数列21nna1nan（3） 通项公式： 为等比数列nnABn（4） 前 n 项和公式：为等比数列,nnSABS或 为 常 数 na6、 等比数列的证明方法依据定义：若 或 为等比数列*12,naqnN0且 1naqna7、等比数列相关技巧：（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素：n、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的aqnanS1aq任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项： 1naq如奇数个数成等比，可设为，
8、 （公比为 ，中间项用 表示）22,aqq；注意隐含条件公比 的正负q8、等比数列的性质：(1) 当 时1q等比数列通项公式 是关于 的带有系数的1 0nnnaqABn类指数函数，底数为公比前 项和 ，系数n111 nnnnnnaaSqABq和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何 m,n ,在等比数列 中,有 ,特别的,当 m=1 时,便得到*Nnanmaq等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若 ( ),则 。特别的,当 时,得mnst,st*nmsta 2nk2nka(4) 列 , 为等比数列,则数列 , , , (k 为非零常nbn
9、kankanbna数) 均为等比数列。【可以化为 为等比数列】0nnaABn(5) 数列 为等比数列,每隔 k(k )项取出一项 ( )仍为n *N23,mkmkaa等比数列(6) 如果 是各项均为正数的等比数列,则数列 是等差数列na logan(7) 若 为等比数列,则数列 ， ， ，成等比数列nanS2n32,nS(8) 若 为等比数列,则数列 , , na12na12nna成等比数列2123nnaa备注：和（7）本质上是一样的。(9) 当 时， 当 时，1q 1q0, 10naa， 则 为 递 增 数 列， 则 为 递 减 数 列 10naa， 则 为 递 减 数 列， 则 为 递 增 数 列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当 q0 时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列 中, 当项数为 2n (n )时, ,。 na*N1Sq奇偶(11)若 是公比为 q 的等比数列,则n nnmmSS
