1、11.3.1 函数的单调性与导数学习目标：1.理解导数与函数的单调性的关系(易混点)2.掌握利用导数判断函数单调性的方法(重点)3.会用导数求函数的单调区间(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间( a， b)内的函数 y f(x)：f( x)的正负 f(x)的单调性f( x)0 单调递增f( x)0 单调递减思考：如果在某个区间内恒有 f( x)0，那么函数 f(x)有什么特性？提示 f(x)是常数函数2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y f(x)，在区间( a， b)上：导数的绝对值 函数值变化 函数的图象越大 快 比较“陡峭”(
2、向上或向下)越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)基础自测1思考辨析(1)函数 f(x)在定义域上都有 f( x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” ( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大( )答案 (1) (2) (3)2函数 f(x)2 xsin x 在(，)上是( )A增函数 B减函数C先增后减 D不确定A f(x)2 xsin x， f( x)2cos x0 在(，)上恒成立， f(x)在(，)上是增函数3函数 y f(x)的图象如图 131 所示，则导函数 y f( x)的图象可能是(
3、)2图 131D 函数 f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，当 x0 时， f( x)0，当 x0 时， f( x)0.4函数 f(x)e x x 的单调递增区间为_. 【导学号：31062036】解析 f(x)e x x， f( x)e x1.由 f( x)0 得，e x10，即 x0. f(x)的单调递增区间为(0，)答案 (0，)3合 作 探 究攻 重 难函数与导函数图象间的关系(1)设函数 f(x)在定义域内可导， y f(x)的图象如图 132 所示，则导函数y f( x)的图象可能为( )图 132(2)已知 f( x)是 f(x)的导函数， f( x)的图象如图 133 所
4、示，则 f(x)的图象只可能是( )图 133(1)D (2)D (1)由函数的图象可知：当 x0 时，函数单调递增，导数始终为正；当x0 时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选 D.(2)从 f( x)的图象可以看出，在区间 内，导数单调递增；在区间(a，a b2 )内，导数单调递减即函数 f(x)的图象在 内越来越陡，在 内(a b2 ， b) (a， a b2 ) (a b2 ， b)越来越平缓，由此可知，只有选项 D 符合4规律方法 研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区
5、间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.跟踪训练1已知 y xf( x)的图象如图 134 所示(其中 f( x)是函数 f(x)的导函数)下面四个图象中， y f(x)的图象大致是( )图 134C 当 0 x1 时， xf( x)0， f( x)0，故 f(x)在(0,1)上为减函数；当 x1 时， xf( x)0， f( x)0，故 y f(x)在(1，)上为增函数故选 C.利用导数求函数的单调区间角度 1 不含参数的函数求单调区间求下列函数的单调区间(1)f(x)3 x22ln
6、x；(2) f(x) x2e x；(3)f(x) x . 1x5【导学号：31062037】解 (1)函数的定义域为 D(0，) f( x)6 x ，令 f( x)0，得 x12x， x2 (舍去)，用 x1分割定义域 D，得下表：33 33x (0， 33) 33 (33， )f( x) 0 f(x)函数 f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(0，33) (33， )(2)函数的定义域为 D(，) f( x)( x2)e x x2(e x)2 xe x x2e xe x(2x x2)，令 f( x)0，由于 e x0， x10， x22，用 x1， x2分割定义域 D，得下表：x
7、(，0) 0 (0,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f( x) f(x)的单调递减区间为(，0)和(2，)，单调递增区间为(0,2)(3)函数的定义域为 D(，0)(0，) f( x)1 ，令 f( x)0，得 x11， x21，用 x1， x2分割定义域 D，得下1x2表：x (，1) 1 (1,0) (0,1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x)函数 f(x)的单调递减区间为(1,0)和(0,1)，单调递增区间为(，1)和(1，)角度 2 含参数的函数的单调区间讨论函数 f(x) ax2 x( a1)ln x(a0)的单调性12思路探究 求 函 数 的 定 义 域 求 f x
8、分 a 0， a 0 解 不 等 式 f x 0或 f x 0 表 述 f x 的 单 调 性解 函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x) ax1a 1x6 .ax2 x a 1x(1)当 a0 时， f( x) ，x 1x由 f( x)0，得 x1，由 f( x)0，得 0 x1. f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，)内为增函数(2)当 a0 时，f( x) ，a(x a 1a ) x 1x a0， 0.a 1a由 f( x)0，得 x1，由 f( x)0，得 0 x1. f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，)内为增函数综上所述，当 a0 时， f(x)在(0,1)内为减函数
9、，在(1，)内为增函数. 规律方法 利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数 f(x)的定义域(2)求导数 f( x)(3)由 f( x)0(或 f( x)0 时， f(x)在相应的区间上是增函数；当 f( x)0 时， f(x)在相应区间上是减函数(4)结合定义域写出单调区间跟踪训练2设 f(x)e x ax2，求 f(x)的单调区间. 【导学号：31062038】解 f(x)的定义域为(，)， f( x)e x a.若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(， )上单调递增若 a0，则当 x(，ln a)时， f( x)0；当 x(ln a，)时， f( x)0.所以 f(x)在(，
10、ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上所述，当 a0 时，函数 f(x)在(，)上单调递增；当 a0 时， f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.7已知函数的单调性求参数的范围探究问题1在区间( a， b)内，若 f( x)0，则 f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立比如 y x3在 R 上为增函数，但其在 x0 处的导数等于零也就是说 f( x)0 是 y f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件2若函数 f(x)为可导函数，且在区间( a， b)上是单调递增(或递减)函数，则 f( x)满足什么条件？提示： f( x)0(或
11、 f( x)0)已知函数 f(x) x3 ax1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围思路探究 f x 单 调 递 增 f x 0恒 成 立 分 离 参 数 求 a的 范 围解 由已知得 f( x)3 x2 a，因为 f(x)在(，)上是单调增函数，所以 f( x)3 x2 a0 在(，)上恒成立，即 a3 x2对 xR 恒成立，因为 3x20，所以只需 a0.又因为 a0 时， f( x)3 x20，f(x) x31 在 R 上是增函数，所以 a0.母题探究：1.(变条件)若函数 f(x) x3 ax1 的单调减区间为(1,1)，求 a 的取值范围解 由 f( x)3 x2 a，当 a0
12、时， f( x)0， f(x)在(，)上为增函数当 a0 时，令 3x2 a0，得 x ，3a3当 x 时， f( x)0.3a3 3a3 f(x)在 上为减函数，(3a3， 3a3) f(x)的单调递减区间为 ，(3a3， 3a3) 1，即 a3.3a32(变条件)若函数 f(x) x3 ax1 在(1,1)上单调递减，求 a 的范围解 由题意可知 f( x)3 x2 a0 在(1,1)上恒成立，Error! ，即Error!， a3.即 a 的取值范围是3，)83(变条件)若函数 f(x) x3 ax1 在(1,1)上不单调，求 a 的范围解 f(x) x3 ax1， f( x)3 x2
13、a，由 f( x)0，得 x (a0)，3a3 f(x)在区间(1,1)上不单调，0 1，即 0 a3.3a3故 a 的取值范围为(0,3)规律方法 1.解答本题注意：可导函数 f(x)在( a， b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f( x)0(或 f( x)0)在( a， b)上恒成立，且 f( x)在( a， b)的任何子区间内都不恒等于 0.2已知 f(x)在区间( a， b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理 f(x)在( a， b)上单调递增(减)的问题，则区间( a， b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理 f(x)在( a， b)上单
14、调递增(减)的问题，则 f( x) 0( f( x)0)在( a， b)内恒成立，注意验证等号是否成立当 堂 达 标固 双 基1设函数 f(x)的图象如图 135 所示，则导函数 f( x)的图象可能为( )图 135C f(x)在(，1)，(4，)上是减函数，在(1,4)上为增函数，当 x1 或 x4 时， f( x)0；当 1 x4 时， f( x)0.故选 C.92函数 f(x)( x3)e x的单调递增区间是( )【导学号：31062039】A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)D f( x)e x( x3)e x( x2)e x，由 f( x)0 得( x2)e x0，
15、x2. f(x)的单调递增区间为(2，)3函数 y x2ln x 的单调递减区间为( )12A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)B 函数 y x2ln x 的定义域为(0，)， y x ，令12 1x x 1 x 1xy0，则可得 0 x1.4若函数 f(x) x3 ax2 x6 在(0, 1)内单调递减，则实数 a 的取值范围是( ) 【导学号：31062040】A1，) B a1C(，1 D(0,1)A f( x)3 x22 ax1，且 f(x)在(0,1)内单调递减，不等式 3x22 ax10 在(0,1)内恒成立， f(0)0，且 f(1)0， a1.5试求函数 f(x) kxln x 的单调区间解 函数 f(x) kxln x 的定义域为(0，)， f( x) k .1x kx 1x当 k0 时， kx10， f( x)0，则 f(x)在(0，)上单调递减当 k0 时，由 f( x)0，即 0，kx 1x解得 0 x ；1k由 f( x)0，即 0，解得 x .kx 1x 1k当 k0 时， f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(0，1k) (1k， )10综上所述，当 k0 时， f(x)的单调递减区间为(0，)；当 k0 时， f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(0，1k) (1k， )
