1、1模块综合测评(满分：150 分 时间：120 分钟)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)1如果 z m(m1)( m21)i 为纯虚数，则实数 m的值为( )A1 B0C1 D1 或 1B 由题意知Error!， m0.2演绎推理“ 因为对数函数 ylog ax(a0且 a 1)是增函数，而函数 ylog x是12对数函数，所以 ylog x是增函数” 所得结论错误的原因是( )12【导学号：31062245】A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D大前提和小前提都错误A 对数函数 ylog ax(a0，且 a1)，当 a1时是增
2、函数，当 00，故选项 D正确故选 D.8用数学归纳法证明不等式 (n1， n N*)的过程中，从1n 1 1n 2 1n n12n k到 n k1 时左边需增加的代数式是( ) 【导学号：31062246】3A. B. 12k 2 12k 1 12k 2C. D.12k 1 12k 2 12k 1B 从 n k到 n k1 左边增加了 减少了 ，需增加的代数式为12k 1 12k 2 1k 1 .12k 1 12k 2 1k 1 12k 1 12k 29已知结论：“ 在正三角形 ABC中，若 D是 BC的中点， G是三角形 ABC的重心，则2”. 若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等
3、的四面体 ABCD中，若 BCDAGGD的中心为 M，四面体内部一点 O到四面体各面的距离都相等，则 等于( )AOOMA1 B2C3 D4C 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间， 2 类比 3，故选 C.AGGD AOOM10甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则( )A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩D 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为
4、“1 个优秀，1个良好” 乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好” ；丙为“良好”时，乙为“优秀” ，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好” ；甲为“良好”时，丁为“优秀” ，可得丁可以知道自己的成绩故选 D.11如图 2，第 n个图形是由正 n2 边形“扩展”而来( n1,2,3，)，则第 n个图形中顶点个数为 ( )图 2A( n1)( n2) B( n2)( n3)4C n2 D nB 第一个图形共有 1234 个顶点，第二个图形共有 2045 个顶点，第三个图形共有 3056 个顶点，第四个图形共有 4267 个顶点，故第 n个
5、图形共有( n2)(n3)个顶点12已知可导函数 f(x)(xR)满足 f( x)f(x)，则当 a0 时， f(a)和 eaf(0)的大小的关系为( )【导学号：31062247】A f(a)eaf(0)C f(a)e af(0) D f(a)e af(0)B 令 g(x)e xf(x)，则 g( x)e xf( x) f(x)0.所以 g(x)在(，)上为增函数， g(a)g(0)e af(a)e0f(0)，即 f(a)eaf(0)，故选 B.二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案填在题中的横线上)13已知 a， bR，i 是虚数单位若( ai)(1i) bi，则|
6、 a bi|_.解析 由( ai)(1i) a1( a1)i bi，得Error!解方程组，得 a1， b2，则 a bi12i.| a bi| .1 4 5答案 514由抛物线 y x2，直线 x1， x3 和 x轴所围成的图形的面积是12_解析 如图所示， S答案 13315观察下列不等式1 0，所以f(x) x3 ax b必有一个零点，即方程 x3 ax b0 仅有一根，故正确；当 a0，解得 b2，故正确所以使得三次方程仅有一个实根的是.答案 三、解答题(本大题共 6个大题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10分)已知 a0， b0用分析法证明：
7、.a b2 2aba b证明 因为 a0， b0，要证 ，a b2 2aba b只要证，( a b)24 ab，只要证( a b)24 ab0，即证 a22 ab b20，而 a22 ab b2( a b)20 恒成立，故 成立a b2 2aba b18(本小题满分 12分)已知 zC，且| z|i 23i(i 为虚数单位)，求复数z的虚部z2 i解 设 z x yi(x， yR)，代入方程| z|i 23i，z得出 i x yi23i( x2)(3 y)i，x2 y26故有Error! ，解得Error! ， z34i，复数 2i，虚部为 1.z2 i 3 4i2 i19(本小题满分 12分
8、)设函数 f(x) x3 x2( m21) x(xR)，其中 m0. 13【导学号：31062249】(1)当 m1 时，求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线的斜率；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解 (1)当 m1 时， f(x) x3 x2，13f( x) x22 x，故 f(1)1.所以曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线的斜率为 1.(2)f( x) x22 x m21.令 f( x)0，解得 x1 m或 x1 m.因为 m0，所以 1 m1 m.当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，1 m) 1 m (1 m,1 m) 1 m (
9、1 m，)f( x) 0 0 f(x) 极小值 极大值所以 f(x)在(，1 m)，(1 m，)内是减函数，在(1 m,1 m)内是增函数函数 f(x)在 x1 m处取得极小值 f(1 m)，且 f(1 m) m3 m2 .23 13函数 f(x)在 x1 m处取得极大值 f(1 m)，且 f(1 m) m3 m2 .23 1320(本小题满分 12分) 某商场从生产厂家以每件 20元购进一批商品，若该商品零售价为 p元，销量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系： Q8 300170 p p2，则当该商品零售价定为多少元时利润最大，并求出利润的最大值解 设商场销售该商品所获利润为
10、 y元，则y( p20)(8 300170 p p2) p3150 p211 700 p166 000( p20)，则 y3 p2300 p11 700.令 y0 得 p2100 p3 9000，解得 p30 或 p130(舍去)则 p， y， y变化关系如下表：7p (20,30) 30 (30，)y 0 y 极大值故当 p30 时， y取极大值为 23 000元又 y p3150 p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件 30元，所获利润最大为 23 000元21(本小题满分 12分)已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f
11、(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a的取值范围. 【导学号：31062250】解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) a.1x若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x 时， f( x)0；(0，1a)当 x 时， f( x)0时， f(x)在 x 处取得最大值，最大值为1af ln a ln a a1.(1a) 1a (1 1a)因此 f 2a2 等价于 ln a a11时， g(a)0.因此 a的取值范围是(0,1)22(本小题满分 12分)在各项为正的数列 an中，数列的前 n项和 Sn满足 Sn
12、12.(an1an)(1)求 a1， a2， a3；(2)由(1)猜想数列 an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【导学号：31062251】8解 (1)由 S1 a1 得 a 1，12(a1 1a1) 21 an0， a11.由 S2 a1 a2 得 a 2 a210.12(a2 1a2) 2 a2 1.2由 S3 a1 a2 a3 得 a 2 a310. a3 .12(a3 1a3) 23 2 3 2(2)猜想 an (nN *)n n 1证明如下： n1 时， a1 命题成立1 0假设 n k时， ak 成立，k k 1则 n k1 时，ak1 Sk1 Sk ，12(ak 1 1ak 1) 12(ak 1ak)即 ak1 12(ak 1 1ak 1) 12k k 1 1k k 1 12(ak 1 1ak 1) k a 2 ak1 10. ak1 .2k 1 k k 1 k即 n k1 时，命题成立，由知， nN *， an .n n 1
