1、13.2 古典概型内容要求 1.了解基本事件的特点(难点)；2.理解古典概型的定义(重点)；3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题(重点).知识点一 基本事件1.基本事件的定义在 1 次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.它们是试验中不能再分的最简单的随机事件.一次试验中只能出现一个基本事件.如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，出现“1 点” “2 点” “3 点” “4 点” “5 点” “6 点” ，共 6 个结果，这就是这一随机试验的 6 个基本事件.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.如在掷一枚质地均匀的骰子试
2、验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现 1 点”“出现 3 点” “出现 5 点”共同组成.【预习评价】“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？提示 不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件.知识点二 古典概型1.古典概型的定义如果一个随机试验满足：(1)所有的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么，我们将这个随机试验的概率模型称为古典概型.2.古典概型的概率公式对于任何事件 A， P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)
3、1.任意事件都可以表示成基本事件的和.( )2.古典概型的基本事件的个数是有限的.( )23.有放回抽样与无放回抽样，对于概率计算是没有区别的.( )答案 1. 2. 3.题型一 基本事件的理解【例 1】 写出下列试验的所有基本事件.(1)先后掷两枚质地均匀的硬币；(2)某人射击一次命中的环数；(3)从集合 A a， b， c， d中任取两个元素构成 A 的子集.解 (1)正面、正面；正面、反面；反面、正面；反面、反面.(2)0 环，1 环，2 环，3 环，4 环，5 环，6 环，7 环，8 环，9 环，10 环.(3)a， b， a， c， a， d， b， c， b， d， c， d.规律
4、方法 1.求基本事件的基本方法是列举法.基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生.2.当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解.【训练 1】 从 A， B， C， D， E， F 6 名学生中选出 4 名参加数学竞赛.(1)写出这个试验的所有基本事件；(2)求这个试验的基本事件总数；(3)写出试验“ A 没被选中”所包含的基本事件.解 (1)这个试验的所有基本事件如下：(A， B， C， D)，( A， B， C， E)，( A， B， C， F)，( A， C， D， E)，( A， C， D， F)，(A， B， D， E)，( A，
5、 B， D， F)，( A， B， E， F)，( A， C， E， F)，( A， D， E， F)，(B， C， D， E)，( B， C， D， F)，( B， C， E， F)，( B， D， E， F)，( C， D， E， F).(2)从 6 名学生中选出 4 名参加数学竞赛，共有 15 种可能情况，即基本事件的总数为 15.(3)“A 没被选中”包含下列 5 个基本事件：( B， C， D， E)，( B， C， D， F)，( B， C， E， F)，(B， D， E， F)，( C， D， E， F).题型二 古典概型的理解【例 2】 (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该
6、点落在圆面内任意一点都是等可能的，你认为该试验是古典概型吗？为什么？(2)射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中 10 环，命中 9 环，命中 1 环和命中 0 环(即不命中).你认为该试验是古典概型吗？为什么？解 判断试验是否满足古典概型的两个特点.(1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点.试验的所有可能结果数是无限的，不满足古典概型试验结果的有限性.因此，虽然每一个试验结果出现的可能性相同，但是这个试验仍不3是古典概型.(2)试验的所有可能结果只有 11 个，但是命中 10 环，命中 9 环，命中 1 环和命中 0 环(即不命中)不是等可能的.因此，这个试验也不是古典概
7、型.规律方法 一个试验是否是古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.【训练 2】 判断下列事件是否为古典概型.(1)在适宜的条件下种下一粒种子，求它发芽的概率；(2)向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面朝上的概率.解 (1)基本事件包括“发芽” “不发芽” ，而“发芽”与“不发芽”这两种结果的可能性一般是不均等的，不符合古典概型的第二个特点，即每一个基本事件的“等可能性” ，所以这个试验不是古典概型.(2)由于硬币的质地不均匀，则出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性不相等，不符合古典概型的第二个特点，即每一个基本事件的“等可
8、能性” ，所以这个试验不是古典概型.探究 1 列举法(或列表法)【例 31】 一个口袋内装有大小相同的 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中一次摸出 2 个球.(1)共有多少个基本事件？(2)2 个都是白球包含几个基本事件？(3)求 2 个都是白球的概率.解 法一 (1)采用列举法.分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 4,5 号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 个(其中(1,2)表示摸到 1 号、2 号).(2)“2 个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三
9、个基本事件.(3)所求概率为 P(A) .310法二 (1)采用列表法.设 5 个球的编号为 a， b， c， d， e，其中 a， b， c 为白球， d， e 为黑球.列表如下：a b c d ea (a， b) (a， c) (a， d) (a， e)b (b， a) (b， c) (b， d) (b， e)4c (c， a) (c， b) (c， d) (c， e)d (d， a) (d， b) (d， c) (d， e)e (e， a) (e， b) (e， c) (e， d)由于每次取 2 个球，因此每次所得的 2 个球不相同，而事件( b， a)与( a， b)是相同的事件，故共
10、有 10 个基本事件.(2)“2 个都是白球”包含( a， b)，( b， c)，( c， a)三个基本事件.(3)所求概率为 P(A) .310探究 2 坐标法【例 32】 抛掷两枚骰子，求：(1)点数之和是 4 的倍数的概率；(2)点数之和大于 5 小于 10 的概率.解 如图，基本事件与所描点一一对应，共 36 种.(1)记“点数之和是 4 的倍数”的事件为 A，从图中可以看出，事件 A 包含的基本事件共有9 个，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6).所以 P(A) .14(2)记“点数之和大于 5 小于 10”的事
11、件为 B，从图中可以看出，事件 B 包含的基本事件共有 20 个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3).所以 P(B) .59探究 3 树形图法【例 33】 有 A、 B、 C、 D 四位贵宾，应分别坐在 a、 b、 c、 d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有 1
12、位坐在自己席位上的概率.解 将 A、 B、 C、 D 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：5如图所示，本题中的等可能基本事件共有 24 个.(1)设事件 A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上” ，则事件 A 只包含 1 个基本事件，所以P(A) .124(2)设事件 B 为“这四人恰好都没坐在自己席位上” ，则事件 B 包含 9 个基本事件，所以P(B) .924 38(3)设事件 C 为“这四人恰好有 1 位坐在自己席位上” ，则事件 C 包含 8 个基本事件，所以P(C) .824 13探究 4 涂色问题【例 34】 用三种不同的颜色给如图所示的 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色.
13、(1)求 3 个矩形颜色都相同的概率；(2)求 3 个矩形颜色都不相同的概率；(3)求 3 个矩形颜色不都相同的概率.解 设 3 个矩形从左到右依次为矩形 1、矩形 2、矩形 3.用三种不同的颜色给题目中所示的 3 个矩形随机涂色，可能的结果如图所示.由图知基本事件共有 27 个.6(1)记“3 个矩形颜色都相同”为事件 A，由图知事件 A 的基本事件有 3 个，故 P(A) 327.19(2)记“3 个矩形颜色都不相同”为事件 B，由图知事件 B 的基本事件有 6 个，故 P(B) .627 29(3)记“3 个矩形颜色不都相同”为事件 C.由图，知事件 C 的基本事件有 24 个，故 P(
14、C) .2427 89规律方法 1.古典概型概率求法步骤：(1)确定等可能基本事件总数 n；(2)确定所求事件包含基本事件数 m；(3)P(A) .mn2.使用古典概型概率公式应注意：(1)首先确定是否为古典概型；(2) A 事件是什么，包含的基本事件有哪些.3.当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树形图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.4.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出基本事件的
15、个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便.课堂达标1.从1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b.则 b a 的概率是_.解析 基本事件总数为 15 个，满足“ b a”的基本事件数为 3 个，所以 P(b a) .157答案 152.从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的机会相等)，则 2 名都是女同学的概率等于_.解析 设 3 名男生分别用 A， B， C 表示，3 名女生分别用 a， b， c 表示，则从中任选 2 名学生，则有 AB， AC， Aa， Ab， Ac， BC， Ba， Bb，
16、Bc， Ca， Cb， Cc， ab， ac， bc，共 15 种选择.其中 2 名都是女同学的有 ab， ac， bc，共 3 种，所以 2 名都是女同学的概率为 .315 15答案 153.现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m， n(m7， n9)可以任意选取，则 m， n 都取到奇数的概率为_.解析 从正整数 m， n(m7， n9)中任取两数的所有可能结果有X1Y1， X1Y2， X1Y3， X7Y9，共 63 个.其中 m， n 都取奇数的结果有X1Y1， X1Y3， X1Y5， X7Y9，共 20 个，故所求的概率为 P .2063答案 20634.如果 3 个正整数可作为一
17、个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为_.解析 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3,4,5这一组数，故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为 .110答案 1105.先后抛掷 3 枚相同的硬币各一次，观察落地后这 3 枚硬币朝上的一面是正面还是反面.(1)一共可能出现多少种不同的结果？(2)出现“2 枚正面，1 枚反面”的结果有多少种？(3)出现“2 枚正面，1 枚反面”的概率是多少？解 (1)因为抛第 1 枚硬币时，出
18、现正面和反面 2 种结果，抛第 2 枚硬币时，又出现正面和反面 2 种结果，抛第 3 枚硬币时，又出现正面和反面 2 种结果，所以可能出现的结果为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，其 8 种.(2)由(1)可知出现“2 枚正面，1 枚反面”的结果有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共 3 种.(3)因为每种结果出现的可能性均相等，所以为古典概型.由(1)(2)可知等可能基本事件的8总数为 8，而出现“2 枚正面，1 枚反面”的基本事件有 3 个，故出现“2 枚正面，1 枚反面”的概率为
19、.38课堂小结1.古典概型是一种最基本的概率模型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式 P(A) 时，关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，从而求mn出 m、 n.2.求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树形图和列表)，注意做到不重不漏.基础过关1.从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_.解析 从 1,2,3,6 中随机取 2 个数，共有 6 种不同的取法，其中所取 2 个数的乘积是 6 的有 1,6 和 2,3，共 2 种，故所求概率是 .26 1
20、3答案 132.袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球.从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_.解析 从 4 只球中一次随机摸出 2 只球，有 6 种结果，其中这 2 只球颜色相同有 1 种结果，则颜色不同有 5 种结果，故所求概率为 .56答案 563.在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖.甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是_.解析 设 3 张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为 a， b， c，甲、乙两人各抽取 1 张的所有情况有 ab， ac， ba， bc， ca， cb，共 6 种，其中两人都中奖的情
21、况有 ab， ba，共 2 种，所以所求概率为 .13答案 134.从字母 a， b， c， d， e 中任取两个不同字母，则取到字母 a 的概率为_.解析 从 a， b， c， d， e 中任取两个不同字母的所有基本事件为：9ab， ac， ad， ae， bc， bd， be， cd， ce， de，共 10 个，其中取到字母 a 的有 4 个，故所求概率为 0.4.410答案 0.45.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为_.解析 5 个点中任取 2 个点共有 10 种方法，若 2 个点之间的距离小于边长，则这 2 个点中必
22、须有 1 个为中心点，有 4 种方法，于是所求概率 P .410 25答案 256.用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出 100 个逐个进行直径检验，结果如下：直径 个数 直径 个数6.886.96)的概率；(4)事件 D(d6.89)的概率.解 (1)事件 A 的概率 P(A) 0.43.17 26100(2)事件 B 的概率P(B) 0.93.10 17 17 26 15 8100(3)事件 C 的概率 P(C) 0.04.2 2100(4)事件 D 的概率 P(D) 0.01.11007.从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件 A三个数字
23、中不含 1 和 5 ；(2)事件 B三个数字中含 1 或 5.解 这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，10(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数 n10.(1)因为事件 A(2,3,4)，所以事件 A 包含的事件数 m1.所以 P(A) .mn 110(2)因为事件 B(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以事件 B 包含的基本事件数 m9.所以 P(B) .mn
24、910能力提升8.一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个球，则摸出 2 个黑球的概率为_.解析 运用集合中的 Venn 图直观分析.如图所示，所有结果组成集合 U，含有 6 个元素，故共有 6 种不同的结果.U 的子集 A 有 3 个元素，故摸出 2 个黑球有 3 种不同的结果.因此，摸出 2 个黑球的概率是 P .36 12答案 129.一次掷两枚骰子，得到的点数为 m 和 n，则关于 x 的方程 x2( m n)x40 有实数根的概率是_.解析 基本事件共有 36 个.因为方程有实根，所以 ( m n)2160，所以 m n4，则方程如无实数根
25、有 m n4，其中有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，共 3 个基本事件.所以所求概率为 1 .336 1112答案 111210.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b，其中 a， b1,2,3,4,5,6，若| a b|1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_.解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是| a b|1，由于 a， b1,2,3,4,5,6，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，11(4
26、,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共 16 种，而依题意得基本事件的总数有 36 种.因此他们“心有灵犀”的概率为 P .1636 49答案 4911.甲、乙、丙三人玩传球游戏，开始由甲发球，传球三次后球又回到甲手中的概率是_.解析 画出“树形图”如图所示，由图知，基本事件共有 8 个，其中球又回到甲手中的有2 个，所求概率为 P .28 14答案 1412.某校夏令营有 3 名男同学 A， B， C 和 3 名女同学 X， Y， Z，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级男同学 A B C女同学 X Y Z现从这 6 名同学中随机选
27、出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学” ，求事件 M 发生的概率.解 (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为 A， B， A， C，A， X， A， Y， A， Z， B， C， B， X， B， Y， B， Z， C， X， C， Y， C， Z，X， Y， X， Z， Y， Z，共 15 种.(2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为 A， Y，A， Z， B， X， B， Z， C，
28、X， C， Y，共 6 种.因此，事件 M 发生的概率 P(M) .615 2513.(选做题)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 512未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1， A2， A3， A4， A5,3名女同学 B1， B2， B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概率.解 (1)由调查数据可知，既未参加
29、书法社团又未参加演讲社团的有 30 人，故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)，所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P .1545 13(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其所有结果组成的基本事件有( A1， B1)，(A1， B2)，( A1， B3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)，( A3， B1)，( A3， B2)，( A3， B3)，(A4， B1)，( A4， B2)，( A4， B3)，( A5， B1)，( A5， B2)，( A5， B3)，共 15 个.根据题意，这些基本事件的出现机会是等可能的.事件“ A1被选中且 B1未被选中”所包含的基本事件有( A1， B2)，( A1， B3)，共 2 个.因此 A1被选中且 B1未被选中的概率为 P .215
