1、- 1 -第二节 函数的单调性与最值考纲传真 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数在函数 y f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两数 x1， x2 A定义当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 A 上是增加的当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 A 上是减少的图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数 y f(x)在区间 A 上是增加的或减少的，那么称 A
2、为单调区间2函数的最值前提 函数 y f(x)的定义域为 D，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意的 x D，都有 f(x) M；(2)存在 x0 D，使得f(x0) M(3)对于任意的 x D，都有 f(x) M；(4)存在 x0 D，使得f(x0) M结论M 为函数 y f(x)的最大值，记作ymax f(x0)M 为函数 y f(x)的最小值，记作ymin f(x0)常用结论1对任意 x1， x2 D(x1 x2)， 0 f(x)在 D 上是增函数，f x1 f x2x1 x20 f(x)在 D 上是减函数f x1 f x2x1 x22对勾函数 y x (a0)的增区间为(， 和 ，
3、)，减区间为 ，0)和ax a a a(0， a3在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数- 2 -4函数 f(g(x)的单调性与函数 y f(u)和 u g(x)的单调性的关系是“同增异减” 5函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 y 的递减区间是(，0)(0，) ( )1x(2)若定义在 R 上的函数 f(x)有 f(1) f(3)，则函数 f(x)在 R 上为增函数( )(3)函数 y f(x)在1，)
4、上是增函数，则函数的递增区间是1，)( )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 ( )答案 (1) (2) (3) (4)2下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是( )A yln( x2) B y x 1C y x D y x(12) 1xA yln( x2)在(2，)上是增函数，故 A 正确3若函数 f(x) ax1 在 R 上递减，则函数 g(x) a(x24 x3)的递增区间是( )A(2，) B(，2)C(2，) D(，2)B 由题意可知 a0，而函数 g(x) a(x24 x3) a(x2) 2 a， g(x) a(x24 x3)的递增区间为(，2)4若函数 f(x)
5、是 R 上的减函数，且 f(a2 a) f(a)，则 a 的取值范围是( )A(0,2) B(，0)(2，)C(，0) D(2，)B 由题意得 a2 a a，解得 a2 或 a0，故选 B.5(教材改编)已知函数 f(x) ， x2,6，则 f(x)的最大值为_，最小值为2x 1_2 易知函数 f(x) 在 x2,6上为减函数，25 2x 1故 f(x)max f(2)2， f(x)min f(6) .25- 3 -确定函数的单调性(区间)【例 1】 (1)(2019石嘴山模拟)函数 yln( x22 x3)的减区间是( )A(1,1 B1,3)C(，1 D1，)(2)试讨论函数 f(x) (
6、a0)在(1,1)上的单调性axx 1(1)B 令 t x22 x3，由 t0 得1 x3，故函数的定义域为(1,3)，要求函数yln( x22 x3)的减区间，由复合函数单调性可知，只需求 t x22 x3 在(1,3)上的减区间，即1,3)(2)解 法一：设1 x1 x21，f(x) a a ，(x 1 1x 1 ) (1 1x 1)f(x1) f(x2) a a ，由于1 x1 x21，(11x1 1) (1 1x2 1) a x2 x1 x1 1 x2 1所以 x2 x10， x110， x210，故当 a0 时， f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)，函数 f(x)在
7、(1,1)上递减；当 a0 时， f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上递增法二： f( x) ax x 1 ax x 1 x 1 2 .a x 1 ax x 1 2 a x 1 2当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)在(1,1)上递减；当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)在(1,1)上递增规律方法 1 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2 函数单调性的判断方法有：a.定义法；b.图像法；c.利用已知函数的单调性；d.导数法.,函数 y f g x 的单调性应根据外层函数 y f t 和内层函数 t g x 的单调
8、性判断，遵循“同增异减”的原则.(1)(2019北京模拟)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是( )A y B ysin xx 1C y2 x D ylog (x1)12(2)y x22| x|3 的递增区间为_(1)A (2)(，1，0,1 (1)A 项是1，)上的增函数，B 项不是单调函数，C项是 R 上的减函数，D 项是(1，)上的减函数- 4 -(2)由题意知，当 x0 时， y x22 x3( x1) 24；当x0 时， y x22 x3( x1) 24，二次函数的图像如图由图像可知，函数 y x22| x|3 的递增区间为(，1，0,1求函数的最值【例 2】 (1)若函数 f(
9、x)Error!的最小值为 f(0)，则实数 a 的取值范围是( )A1,2 B1,0C1,2 D0,2(2)函数 f(x)xlog 2(x2)在区间1,1上的最大值为_(13)(3)函数 y x(x0)的最大值为_x(1)D (2)3 (3) (1)当 x0 时， f(x) x a2 a，当且仅当 x ，即 x1 时，14 1x 1x等号成立故当 x1 时取得最小值 2 a， f(x)的最小值为 f(0)，当 x0 时， f(x)( x a)2递减，故 a0，此时的最小值为 f(0) a2，故 2 a a2得1 a2.又 a0，得 0 a2.故选 D.(2) f(x) xlog 2(x2)在
10、区间1,1上是递减， f(x)max f(1)3log 213.(13)(3)令 t ，则 t0，所以 y t t2 2 ，当 t ，即 x 时， ymax .x (t12) 14 12 14 14规律方法 求函数最值 值域 的常用方法及适用类型1 单调性法：易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值 值域.2 图像法：能作出图像的函数，用图像法，观察其图像最高点、最低点，求出最值 值域.3 基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量如 x， y 的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值 值域.4 导数法：若 f x 是三次
11、、分式以及含 ex，ln x，sin x，cos x 结构的函数且f x 可求，可用导数法求函数的最值 值域.- 5 -(1)函数 f(x) (x1)的最小值为_x2 8x 1(2)对于任意实数 a， b，定义 mina， bError!设函数 f(x) x3， g(x)log 2 x，则函数 h(x)min f(x)， g(x)的最大值是_(1)8 (2)1 (1) f(x) ( x1) 22x2 8x 1 x 1 2 2 x 1 9x 1 9x 128， x 1 9x 1当且仅当 x1 ，即 x4 时， f(x)min8.9x 1(2)法一：在同一坐标系中，作函数 f(x)， g(x)图像
12、，依题意， h(x)的图像如图所示易知点 A(2,1)为图像的最高点，因此 h(x)的最大值为 h(2)1.法二：依题意， h(x)Error!当 0 x2 时， h(x)log 2 x 是增函数，当 x2 时， h(x)3 x 是减函数，所以 h(x)在 x2 时取得最大值 h(2)1.函数单调性的应用考法 1 比较大小【例 3】 已知函数 f(x)的图像向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当x2 x11 时， f(x2) f(x1)(x2 x1)0 恒成立，设 a f ， b f(2)，(12)c f(3)，则 a， b， c 的大小关系为( )A c a b B c b aC a c
13、 b D b a cD 根据已知可得函数 f(x)的图像关于直线 x1 对称，且在(1，)上是减函数所以a f f ， f(2) f(2.5) f(3)，所以 b a c.(12) (52)考法 2 解抽象不等式【例 4】 f(x)是定义在(0，)上的增函数，满足 f(xy) f(x) f(y)， f(3)1，则不等式 f(x) f(x8)2 的解集为_(8,9 因为 211 f(3) f(3) f(9)，由 f(x) f(x8)2 可得 fx(x8) f(9)，f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有Error!解得 80，得 x4 或 xf(2x1)成立的 x 的11 x2取值范围是( )A.(13， 1)B. (1，)( ，13)C.(13， 13)D. ( ， 13) (13， )A f( x)ln(1| x|) f(x)，11 x 2函数 f(x)为偶函数当 x0 时， f(x)ln(1 x) ，11 x2在(0，)上 yln(1 x)递增， y 也递增，11 x2根据单调性的性质知， f(x)在(0，)上递增综上可知： f(x)f(2x1) f(|x|)f(|2x1|)| x|2x1| x2(2x1)23x24 x10 x1.故选 A.13- 8 -
