1、- 1 -第十一节 导数的应用考纲传真 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)1导函数的符号和函数的单调性的关系(1)如果在某个区间内，函数 y f(x)的导数 f( x)0，则在这个区间上，函数y f(x)是增加的；(2)如果在某个区间内，函数 y f(x)的导数 f( x)0，则在这个区间上，
2、函数y f(x)是减少的2函数的极值与导数(1)函数的极大值点和极大值：在包含 x0的一个区间( a， b)内，函数 y f(x)在任何一点的函数值都小于 x0点的函数值，称点 x0为函数 y f(x)的极大值点其函数值 f(x0)为函数的极大值(2)函数的极小值点和极小值：在包含 x0的一个区间( a， b)内，函数 y f(x)在任何一点的函数值都大于 x0点的函数值，称点 x0为函数 y f(x)的极小值点，其函数值 f(x0)为函数的极小值(3)极值和极值点：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点(4)求可导函数极值的步骤：求 f( x)求方程 f( x)0 的根检查
3、 f( x)在方程 f( x)0 的根的左右两侧的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值与导数(1)最大值点：函数 y f(x)在区间 a， b上的最大值点 x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过 f(x0)函数的最小值点也有类似的意义(2)函数的最大值：最大值或者在极值点取得，或者在区间的端点取得(3)最值：函数的最大值和最小值统称为最值(4)求 f(x)在 a， b上的最大值和最小值的步骤求 f(x)在( a， b)内的极值；- 2 -将 f(x)的各极值与 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最
4、大值，最小的一个是最小值常 用 结 论 1可导函数 f(x)在( a， b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意 x( a， b)，都有f( x)0( f( x)0)且 f( x)在( a， b)上的任何子区间内都不恒为零2对于可导函数 f(x)， f( x0)0 是函数 f(x)在 x x0处有极值的必要不充分条件3闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若函数 f(x)在区间( a， b)上是增加的，那么在区间( a， b)上一定有 f( x)0.( )(2)函数的极大值不一定比极小值大 ( )(3)函数的最
5、大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( )(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解 ( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)如图是函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图像，则下面判断正确的是( )A在区间(2,1)上， f(x)是增加的B在区间(1,3)上 f(x)是减少的C在区间(4,5)上 f(x)是增加的D当 x2 时， f(x)取到极小值C 结合原函数与导函数的关系可知，当 x(4,5)时， f( x)0， y f(x)在(4,5)上是增函数，故选 C.3函数 f(x)cos x x 在(0，)上的单调性是( )A先增后减 B先减后增C增
6、函数 D减函数D f( x)sin x1，当 x(0，)时， f( x)0， f(x)在(0，)上是减函数4已知 a 是函数 f(x) x312 x 的极小值点，则 a( )A4 B2C4 D2D 由 f( x)3 x2120 得 x2，又当 x2 时， f( x)0，当2 x2 时，- 3 -f( x)0，当 x2 时， f( x)0， x2 是 f(x)的极小值点，即 a2.5函数 y2 x32 x2在区间1,2上的最大值是_8 y6 x24 x，令 y0，得 x0 或 x .23 f(1)4， f(0)0， f ， f(2)8，最大值为 8.(23) 827第 1 课时 导数与函数的单调
7、性利用导数求函数的单调区间【例 1】 (1)函数 y x2ln x 的递减区间为( )12A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)(2)(2016北京高考)设函数 f(x) xea x bx，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为 y(e1) x4.求 a， b 的值；求 f(x)的单调区间(1)B y x2ln x，12 x(0，)， y x .1x x 1 x 1x由 y0 可解得 0 x1， y x2ln x 的递减区间为(0,1，故选 B12(2)解 f( x)e a x xea x b，由切线方程可得Error!解得 a2， be. f(x) xe2 xe x， f(
8、 x)(1 x)e2 xe.令 g(x)(1 x)e2 x，则 g( x)e 2 x(1 x)e2 xe 2 x(x2)令 g( x)0 得 x2.当 x2 时， g( x)0， g(x)递减；当 x2 时， g( x)0， g(x)递增所以 x2 时， g(x)取得极小值1，也是最小值所以 f( x) g(x)ee10.- 4 -所以 f(x)的增区间为(，)，无减区间规律方法 1.掌握利用导数求函数单调区间的 3 个步骤(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f( x)；(3)由 f( x)0(或 f( x)0)解出相应的 x 的取值范围，对应的区间为 f(x)的递增(减)区间2理
9、清有关函数单调区间的 3 个点(1)单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；(2)求可导函数 f(x)的单调区间，可以直接转化为 f( x)0 与 f( x)0 这两个不等式的解集问题来处理；(3)若可导函数 f(x)在指定区间 D 上递增(减)，则应将其转化为 f( x)0( f( x)0)来处理(1)(2019北京模拟)函数 f(x) x22ln x 的递减区间是( )A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)(2)(2019威海模拟)函数 f(x)( x3)e x的递增区间是_(1)A (2)(2，) (1) f( x)2 x (x0)，2x 2 x
10、 1 x 1x当 x(0,1)时， f( x)0， f(x)为减函数；当 x(1，)时， f( x)0， f(x)为增函数(2)函数 f(x)( x3)e x的导数为 f( x)( x3)e xe x( x3)e x( x2)ex.f( x)( x2)e x0，解得 x2.利用导数讨论函数的单调性【例 2】 设函数 f(x) aln x ，其中 a 为常数x 1x 1(1)若 a0，求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性解 (1)由题意知 a0 时， f(x) ， x(0，)x 1x 1此时 f( x) .可得 f(1) ，又 f(1)0，2 x
11、 1 2 12所以曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 x2 y10.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)- 5 -f( x) .ax 2 x 1 2 ax2 2a 2 x ax x 1 2当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)在(0，)上递增当 a0 时，令 g(x) ax2(2 a2) x a，由于 (2 a2) 24 a24(2 a1)，当 a 时， 0， f( x) 0，12 12 x 1 2x x 1 2函数 f(x)在(0，)上递减当 a 时， 0， g(x)0，12f( x)0，函数 f(x)在(0，)上递减当 a0 时， 0.12设 x1， x2(x1 x
12、2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1 ， x2 . a 1 2a 1a a 1 2a 1a由 x1 0，a 1 2a 1 a a2 2a 1 2a 1 a所以 x(0， x1)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)递减；x( x1， x2)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)递增；x( x2，)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)递减综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上递增；当 a 时，函数 f(x)在(0，)上递减；12当 a0 时， f(x)在 ， 上递12 (0， a 1 2a 1a ) ( a 1 2a 1a ， )减，在 上递增(
13、a 1 2a 1a ， a 1 2a 1a )规律方法 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.1 讨论分以下四个方面,二次项系数讨论，根的有无讨论，根的大小讨论，根在不在定义域内讨论.2 讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.3 讨论完必须写综述.- 6 -已知函数 f(x) x22 aln x( a2) x，当 a0 时，讨论函数 f(x)的单12调性解 函数的定义域为(0，)， f( x) x a2 .2ax x 2 x ax当 a2，即 a2 时， f( x) 0， f(x)在(0，)内递增 x 2 2x当 0 a2，即2 a0 时，0 x
14、a 或 x2 时， f( x)0； a x2 时，f( x)0， f(x)在(0， a)，(2，)内递增，在( a,2)内递减当 a2，即 a2 时，0 x2 或 x a 时， f( x)0；2 x a 时， f( x)0， f(x)在(0,2)，( a，)内递增，在(2， a)内递减综上所述，当 a2 时， f(x)在(0，)内递增；当2 a0 时， f(x)在(0， a)，(2，)内递增，在( a,2)内递减；当 a2 时， f(x)在(0,2)，( a，)内递增，在(2， a)内递减函数单调性的应用考法 1 比较大小或解不等式【例 3】 (1)设函数 f( x)是定义在(0,2)上的函数
15、 f(x)的导函数， f(x) f(2 x)，当 0 x 时，若 f(x)sin x f( x)cos x0， a f ， b0， c f ，则( )12( 3) 32 (76)A a b c B b c aC c b a D c a b(2)(2019山师大附中模拟)已知 f( x)是函数 f(x)的导函数， f(1)e，任意xR,2 f(x) f( x)0，则不等式 f(x)e 2x1 的解集为( )A(，1) B(1，)C(，e) D(e，)(1)A (2)B (1)由 f(x) f(2 x)，得函数 f(x)的图像关于直线 x 对称，令g(x) f(x)cos x，则 g( x) f(
16、 x)cos x f(x)sin x0，所以当 0 x 时， g(x)在(0，)内递增，所以 g g g g ，即 a b c，故选 A.( 3) ( 2) (76) (56)(2)设 F(x) ，则 F( x) .f xe2x 1 (f xe2x 1) f x 2f xe2x 1- 7 -因为 2f(x) f( x)0，所以 F( x) 0，f x 2f xe2x 1即 F(x)是减函数，f(x)e 2x1 等价于 1，即 F(x)1.f xe2x 1又因为 f(1)e，所以 F(1) 1，f 1e2 1则不等式 f(x)e 2x1 的解集是(1，)，故选 B考法 2 求参数的取值范围【例
17、4】 已知函数 f(x)ln x， g(x) ax22 x(a0)12(1)若函数 h(x) f(x) g(x)存在递减区间，求 a 的取值范围；(2)若函数 h(x) f(x) g(x)在1,4上递减，求 a 的取值范围解 (1) h(x)ln x ax22 x， x(0，)，12所以 h( x) ax2，由于 h(x)在(0，)上存在递减区间，所以当 x(0，)时，1x ax20 有解，1x即 a 有解1x2 2x设 G(x) ，所以只要 a G(x)min即可1x2 2x而 G(x)21，所以 G(x)min1.(1x 1)所以 a1，即 a 的取值范围为(1，)(2)由 h(x)在1,
18、4上递减得，当 x1,4时， h( x) ax20 恒成立，1x即 a 恒成立1x2 2x所以 a G(x)max，而 G(x)21，(1x 1)因为 x1,4，所以 ，1x 14， 1所以 G(x)max (此时 x4)，716- 8 -所以 a ，即 a 的取值范围是 .716 716， )母题探究 (1)本例(2)中，若函数 h(x) f(x) g(x)在1,4上递增，求 a 的取值范围(2)本例(2)中，若 h(x)在1,4上存在递减区间，求 a 的取值范围解 (1)由 h(x)在1,4上递增得，当 x1,4时， h( x)0 恒成立，当 x1,4时， a 恒成立，1x2 2x又当 x
19、1,4时， min1(此时 x1)，(1x2 2x) a1，即 a 的取值范围是(，1(2)h(x)在1,4上存在递减区间，则 h( x)0 在1,4上有解，当 x1,4时， a 有解，1x2 2x又当 x1,4时， min1，(1x2 2x) a1，即 a 的取值范围是(1，)规律方法 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f x0 或f x0 ， x a， b 恒成立，解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立的理论求解 ，应注意参数的取值是 f x 不恒等于 0 的参数的范围.2.若函数 y f x 在区间 a， b 上不单调，则转化为 f x 0 在 a， b 上有解.3.利
20、用导数比较大小或解不等式的常用技巧,利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数形式有：(1)(2019武汉模拟)已知定义域为 R 的奇函数 y f(x)的导函数为- 9 -y f( x)，当 x0 时， xf( x) f(x)0，若 a ， b ， c ，f ee f ln 2ln 2 f 3 3则 a， b， c 的大小关系正确的是( )A a b c B b c aC a c b D c a b(2)(2019兰州模拟)已知函数 f(x) x22 aln x( a2) x.12当 a1 时，
21、求函数 f(x)的单调区间；是否存在实数 a，使函数 g(x) f(x) ax 在(0，)上递增？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由(1)D 设 g(x) ，则 g( x) ，f xx xf x f xx2当 x0 时， xf( x) f(x)0， g( x)0. g(x)在(0，)上是减函数由 f(x)为奇函数，知 g(x)为偶函数，则 g(3) g(3)，又 a g(e)， b g(ln 2)， c g(3) g(3)， g(3) g(e) g(ln 2)，故 c a B (2)解 当 a1 时， f(x) x22ln x3 x，12则 f( x) x 3 .2x x2 3x
22、 2x x 1 x 2x当 0 x1 或 x2 时， f( x)0， f(x)递增；当 1 x2 时， f( x)0， f(x)递减 f(x)的单调增区间为(0,1)与(2，)，减区间为(1,2)假设存在实数 a，使 g(x) f(x) ax 在(0，)上是增函数， g( x) f( x) a x 20 恒成立2ax即 0 在 x(0，)上恒成立x2 2x 2ax x22 x2 a0 当 x0 时恒成立， a (x22 x) (x1) 2 恒成立12 12 12又 (x) (x1) 2 ， x(0，)的最小值为 .12 12 12当 a 时， g( x)0 恒成立12又当 a ， g( x)
23、当且仅当 x1 时， g( x)0.12 x 1 2x- 10 -故当 a 时， g(x) f(x) ax 在(0，)上递增( ， 121(2016全国卷)若函数 f(x) x sin 2x asin x 在13(，)递增，则 a 的取值范围是( )A1,1 B 1，13C. D13， 13 1， 13C 取 a1，则 f(x) x sin 2xsin x， f( x)1 cos 2xcos x，但13 23f(0)1 1 0，不具备在(，)递增的条件，故排除 A，B， D故选 C.23 232(2015全国卷)设函数 f( x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数， f(1)0，当x0 时， xf( x) f(x)0 成立的 x 的取值范围是( )A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)A 设 y g(x) (x0)，则 g( x) ，当 x0 时， xf( x)f xx xf x f xx2 f(x)0， g(x)0 时， f(x)0,00， x0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)，故选 A.- 11 -
