1、1考点规范练 15 导数与函数的单调性、极值、最值基础巩固1.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )A.(- ,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+ )2.已知函数 f(x)=x3-3x2+x的极大值点为 m,极小值点为 n,则 m+n=( )A.0 B.2 C.-4 D.-23.定义域为 R的可导函数 y=f(x)的导函数 f(x),满足 f(x)2ex的解集为( )A.(- ,0) B.(- ,2)C.(0,+ ) D.(2,+ )4.(2017浙江,7)函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是( )5.已知函数 f
2、(x)=-x2+4x-3ln x在区间 t,t+1上不单调,则 t的取值范围是 . 6.若函数 g(x)=ln x+ax2+bx,且 g(x)的图象在点(1, g(1)处的切线与 x轴平行 .(1)确定 a与 b的关系;(2)若 a0,试讨论函数 g(x)的单调性 .27.已知函数 f(x)=(a0)的导函数 y=f(x)的两个零点为 -3和 0.(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)的极小值为 -e3,求 f(x)的极大值及 f(x)在区间 -5,+ )内的最大值 .8.(2017安徽马鞍山一模)已知函数 f(x)=xex-a(aR) .(1)当 a=1时,求函数 f(x)的极值;
3、(2)讨论函数 f(x)的单调性 .39.设函数 f(x)=(aR) .(1)若 f(x)在 x=0处取得极值,确定 a的值,并求此时曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)若 f(x)在区间3, + )内为减函数,求 a的取值范围 .能力提升10.已知函数 y=f(x)对任意的 x满足 f(x)cos x+f(x)sin x0(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数),则下列不等式成立的是( )A.2fD.f(0)11.设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数, f(-1)=0,当 x0时, xf(x)-f(x)0成立的 x的取值范围是 . 12.(2017福建福
4、州一模)已知函数 f(x)=aln x+x2-ax(aR) .(1)若 x=3是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间;(2)求 g(x)=f(x)-2x在区间1,e上的最小值 h(a).413.已知函数 f(x)=x3-ax-b,xR,其中 a,bR .(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1 x0,求证: x1+2x0=0;(3)设 a0,函数 g(x)=|f(x)|,求证: g(x)在区间 -1,1上的最大值不小于 .5高考预测14.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(aR) .(1)求函数 f(x)的单调区间;(
5、2)若函数 y=f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线的倾斜角为 45,对于任意的 t1,2,函数 g(x)=x3+x2在区间( t,3)内总不是单调函数,求 m的取值范围 .答案：1.D 解析:函数 f(x)=(x-3)ex的导数为 f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当 f(x)0时,函数 f(x)单调递增,此时由不等式 f(x)=(x-2)ex0,解得 x2.2.B 解析:因为函数 f(x)=x3-3x2+x的极大值点为 m,极小值点为 n,所以 m,n为 f(x)=3x2-6x+1=0的两根 .由根与系数的关系可知 m+n
6、=-=2.3.C 解析:设 g(x)=,则 g(x)=.f (x)0,即函数 g(x)在定义域内单调递增 .f (0)=2,g (0)=f(0)=2, 不等式 f(x)2ex等价于 g(x)g(0). 函数 g(x)在定义域内单调递增 .x 0, 不等式的解集为(0, + ),故选 C.4.D 解析:设导函数 y=f(x)的三个零点分别为 x1,x2,x3,且 x10,f(x)是增函数,所以函数 y=f(x)的图象可能为 D,故选 D.5.(0,1)(2,3) 解析:由题意知 f(x)=-x+4-=-.由 f(x)=0得 x1=1,x2=3,可知 1,3是函数 f(x)的两个极值点 .则只要这
7、两个极值点有一个在区间( t,t+1)内,函数 f(x)在区间 t,t+1上就不单调,由 t0解得 01,即函数 g(x)在(0,1)内单调递增,在(1, + )内单调递减 .当 a0时,令 g(x)=0,得 x=1或 x=,若 ,则由 g(x)0解得 x1或 01,即 00解得 x或 0时,函数 g(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1, + )内单调递增 .7.解:(1)因为 f(x)=,所以 f(x)=,设 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.因为 a0,所以由题意知:当 -30,即 f(x)0;当 x0时, g(x)5=f(0),所以函数 f(x)在区间 -5,+ )内的最大
8、值是 5e5.8.解:(1)当 a=1时, f(x)=xex-,f(x)=ex+xex-(x+1)=(x+1)(ex-1),令 f(x)=0,得 x=-1或 x=0.x(-,-1)-1(-1,0)0(0,+ )f(x) + 0- 0+f(x) 当 x=-1时, f(x)有极大值 f(-1)=;当 x=0时, f(x)有极小值 f(0)=0.(2)f(x)=ex+xex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),当 a0 时,e x-a0,由 f(x)0得 x-1,即在区间( -1,+ )内,函数 f(x)单调递增;由 f(x)0时,令 f(x)=0,得 x=-1或 x=ln a. 当 ln a=-
9、1,即 a=e-1时,无论 x-1或 x0,又 f(-1)=0,即在 R上, f(x)0,从而函数 f(x)在 R上单调递增 . 当 ln a0x-1或 x-1,即 ae-1时,7由 f(x)=(x+1)(ex-a)0xln a或 x0,即 f(x)0,故 f(x)为增函数;当 xx2时, g(x)0,g (x)0,即函数 g(x)在内单调递增 .g0时,令 F(x)=,则 F(x)=0时, F(x)=为减函数 .f (x)为奇函数,且由 f(-1)=0,得 f(1)=0,故 F(1)=0.在区间(0,1)内, F(x)0;在(1, + )内, F(x)0;当 x1时, f(x)0;当 x(
10、-1,0)时, f(x)0的解集为( - ,-1)(0,1) .12.解:(1) f(x)=+2x-a(x0).x= 3是函数 f(x)的一个极值点,f (3)=+6-a=0,解得 a=9,f (x)=, 当 03时, f(x)0;当 0时,令 f(x)=0,解得 x=,或 x=-.当 x变化时, f(x),f(x)的变化情况如下表:x -f(x) + 0 - 0 +f(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以 f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为 .(2)证明:因为 f(x)存在极值点,所以由(1)知 a0,且 x00 .由题意,得 f(x0)=3-a=0,即,进而 f(x0)=-
11、ax0-b=-x0-b.又 f(-2x0)=-8+2ax0-b=-x0+2ax0-b=-x0-b=f(x0),且 -2x0 x0,由题意及(1)知,存在唯一实数 x1满足 f(x1)=f(x0),且 x1 x0,因此 x1=-2x0.所以 x1+2x0=0.(3)证明:设 g(x)在区间 -1,1上的最大值为 M,maxx,y表示 x,y两数的最大值 .下面分三种情况讨论: 当 a3 时, - -1f=f,所以 f(x)在区间 -1,1上的取值范围为 f(-1),f(1),因此 M=max|f(-1)|,|f(1)|=max|-1+a-b|,|1-a-b|=max|1-a+b|,|1-a-b|=1-a+|b|.综上所述,当 a0时, g(x)在区间 -1,1上的最大值不小于 .14.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0, + ),且 f(x)=.当 a0时, f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1, + );当 a0,即 m-.-m- 9.即实数 m的取值范围是 .
