1、13.1.1 空间向量的线性运算学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律知识点一 空间向量的概念1在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量 a 的起点是 A，终点是B，则向量 a 也可记作 ，其模记为| a|或| |.AB AB 2几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 起点与终点重合的向量叫做零向量，记为 0单位向量 模为 1 的向量称为单位向
2、量相反向量 与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为 a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量知识点二 空间向量的加减运算及运算律1类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算 a b，OB OA AB a b.CA OA OC 2空间向量加法交换律a b b a，空间向量加法结合律(a b) c a( b c)2知识点三 数乘向量运算1实数与向量的积与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积 a
3、 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作 a，其长度和方向规定如下：(1)| a| |a|.(2)当 0 时， a 与向量 a 方向相同；当 ；AB CD AB CD AB CD AB CD 若两个非零向量 ， 满足 0，则 ， 互为相反向量；AB CD AB CD AB CD 的充要条件是 A 与 C 重合， B 与 D 重合AB CD A1B2C3D4考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 C解析 错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小正确，由 0，得 ，所以 ， 互为相反向量AB CD A
4、B CD AB CD 错误， 的充要条件是| | |，且 ， 同向但 A 与 C， B 与 D 不一定重合AB CD AB CD AB CD 故一共有 3 个错误命题，正确答案为 C.素养评析 (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键(2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.1下列命题中，假命题是( )A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于 0D空间中任意两个单位向量必相等答案 D2在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，与向量 相等的向量共有( )AD A1 个 B2 个 C3 个
5、D4 个答案 C解析 与 相等的向量有 ， ， ，共 3 个AD A1D1 BC B1C1 3向量 a， b 互为相反向量，已知| b|3，则下列结论正确的是( )A a b B a b 为实数 0C a 与 b 方向相同 D| a|38答案 D解析 向量 a， b 互为相反向量，则 a， b 模相等、方向相反故 D 正确4已知空间四边形 ABCD，连接 AC， BD，设 M， G 分别是 BC， CD 的中点，则 等于MG AB AD ( )A. B3 C3 D232DB MG GM MG 答案 B解析 ( ) 2 3 .MG AB AD MG AB AD MG DB MG MG MG 5在
6、正方体 ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：( ) ；( ) ；( ) B1C1；( ) .其AB BC CC1 AA1 A1D1 D1C1 AB BB1 AA1 A1B1 B1C1 中运算的结果为 的有_个AC1 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：( ) AB BC CC1 AC ；CC1 AC1 ( ) ；AA1 A1D1 D1C1 AD1 D1C1 AC1 ( ) ；AB BB1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 ( ) .AA1 A1B1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 所以 4 个式子的运算结果都是 .AC1 1一些特殊向量的特性(1)零
7、向量不是没有方向，而是它的方向是任意的(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量2空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.9一、选择题1下列命题中为真命题的是( )A向量 与 的长度相等AB BA B将空间中所有
8、的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 A解析 对于选项 B，其终点构成一个球面；对于选项 C，零向量不能用有向线段表示；对于选项 D，向量 a 与向量 b 不相等，未必它们的模不相等，故选 A.2已知空间四边形 ABCD，连接 AC， BD，则 为( )AB BC CD A. B. C. D0AD BD AC 答案 A解析 .AB BC CD AC CD AD 3 如 图 所 示 ， 点 D 是 空 间 四 边 形 OABC 的 边 BC 的 中 点 ，
9、a， b， c， 则 为 ( )OA OB OC AD A. (a b) c B. (c a) b12 12C. (b c) a D a (b c)12 12答案 C解析 AD AO OD ( )OA 12OB OC 10 a (b c)124在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式 化简后的结果是( )DD1 AB BC A. B. C. D.BD1 D1B B1D DB1 答案 A解析 如图所示， ， ， ， DD1 AA1 DD1 AB AA1 AB BA1 BA1 BC BD1 DD1 AB BC .BD1 5.在空间平移 ABC 到 A B C，连接对应顶点，设 a， b，
10、 c， M 是 BCAA AB AC 的中点， N 是 B C的中点，如图所示，用向量 a， b， c 表示向量 等于( )MN A.a b c12 12B. a b c12 12 12C a b12D. a12答案 D解析 a.MN 12BB 12AA 126.如图，在四棱柱的上底面 ABCD 中， ，则下列向量相等的是( )AB DC 11A. 与 B. 与AD CB OA OC C. 与 D. 与AC DB DO OB 答案 D解析 ，| | |， AB DC，即四边形 ABCD 为平行四边形，由平行四边形的AB DC AB DC 性质知， .DO OB 7.如图，在平行六面体 ABCD
11、 A1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点，若 a， b， c，则下列向量中与 相等的向量是( )A1B1 A1D1 A1A B1M A a b c12 12B. a b c12 12C. a b c12 12D a b c12 12答案 A解析 B1M B1B BM ( )A1A 12BA BC c ( a b) a b c.12 12 128 P 为正六边形 ABCDEF 所在平面外一点， O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则 等于( )PA PB PC PD PE PF 12A2 B4 C6 D12PO PO PO PO 答案 C解析 由 O 是正六边形 ABCDEF 的
12、中心，得 0， 0， 0， OA OD OB OE OC OF PA PB 6 .PC PD PE PF PO OA PO OB PO OC PO OD PO OE PO OF PO 二、填空题9已知向量 a， b， c 互相平行，其中 a， c 同向， a， b 反向，| a|3，| b|2，| c|1，则| a b c|_.考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 210在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，若 C a， C b， c，则 _.A B CC1 A1B 答案 a b c解析 如图， A1B A1A AB ( )C1C CB CA CC1 CB CA c b a
13、.11给出下列几个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若| a| b|，则 a b 或 a b；对于任意向量 a， b，必有| a b| a| b|.其中正确命题的序号为_考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 解析 对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误；对于，若13|a| b|，则 a 与 b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有正确三、解答题12.如图所示，在平行六面体 ABCD A B C D中，化简下列表达式(1) ；AB BC (2) ；AB AD AA (3) ；AB CB AA (4) .AC D B DC 解 (1) .AB
14、BC AC (2) AB AD AA AC AA .AC (3) .AB CB AA AB DA BB DB (4) ( )( ) .AC D B DC AB BC CC DA DC C C DC DC 13.如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， M 是 BB1的中点化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) ；CB BA1 (2) ；AC CB 12AA1 (3) .AA1 AC CB 解 (1) .CB BA1 CA1 (2)因为 M 是 BB1的中点，14所以 .BM 12BB1 又 ，AA1 BB1 所以 .AC CB 12AA1 AB BM AM (3) .向量 ， ，
15、 如图所示AA1 AC CB CA1 CB BA1 CA1 AM BA1 14已知正方体 ABCD A B C D的中心为 O，则在下列各结论中正确的共有( ) 与 是一对相反向量；OA OD OB OC 与 是一对相反向量；OB OC OA OD 与 是一对相反向量；OA OB OC OD OA OB OC OD 与 是一对相反相量OA OA OC OC A1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 C解析 如图所示， ， ，OA OC OD OB 所以 ( )，是一对相反向量；OA OD OB OC ， ，而 ，故不是相反向量；OB O
16、C CB OA OD D A CB D A 同，也是正确的； ， ，是一对相反向量OA OA AA OC OC C C AA 1515.如图所示，在正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1中(1)化简 ，并在图中标出表示化简结果的向量；A1F1 EF BA FF1 CD F1A1 (2)化简 ，并在图中标出表示化简结果的向量DE E1F1 FD BB1 A1E1 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算解 (1) 0 .A1F1 EF BA FF1 CD F1A1 AF FE AB BB1 CD DC AE AB1 AE ED1 AD1 在图中表示如下：AD1 (2) 0 .DE E1F1 FD BB1 A1E1 DE EF FD BB1 B1D1 DF FD BD1 BD1 BD1 在图中表示如下：BD1 16
