1、函数的单调性和最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 A：区间 IA.如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x 2定义当 x10，则函数 f(x)在 D 上是增函数. ( )(3)函数 y|x| 是 R 上的增函数. ( )(4)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是 1，). ( )(5)函数 f(x)log 5(2x1)的单调增区间是 (0，). ( )(6)函数 y 的最大值为 1. ( )1 x21 x22.若函数 f(x)(2a1)x b 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围为 _.4.函数 f(x) 在1,2
2、的最大值和最小值分别是 _.2xx 15.已知函数 yf( x)在 R 上是减函数，A(0 ，2)、B(3,2)在其图象上，则不等式2f(2x)的 x 的取值范围是_.题型一 函数单调性的判断例 1 讨论函数 f(x) (a0)在 x( 1,1)上的单调性.axx2 1已知 a0，函数 f(x)x (x0)，证明：函数 f(x)在(0， 上是减函数，在 ，) 上是增函数.ax a a题型二 利用函数的单调性求参数例 2 (1)如果函数 f(x)ax 22x3 在区间(，4) 上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是_.(2)已知 f(x)Error!满足对任意 x1x 2，都有 0 成立，那么
3、 a 的取值范围是_.fx1 fx2x1 x2(1)函数 y 在(1，)上单调递增，则 a 的取值范围是_.x 5x a 2(2)已知 f(x)Error!是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为_.题型三 函数的单调性和最值例 3 已知函数 f(x) ，x1，). x2 2x ax(1)当 a 时，求 f(x)的最小值；12(2)若对任意 x1，)，f (x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围.已知函数 f(x) (a0，x0)，1a 1x(1)求证：f(x) 在 (0，)上是单调递增函数；(2)若 f(x)在 ， 2上的值域是 ，2 ，求 a 的值.12 12一、填空题1.下列
4、函数 f(x)中，满足“对任意 x1，x 2(0，)，当 x1f(x2)”的是_.(填序号)f(x) ； f(x)(x1) 2；1xf(x)e x; f(x)ln(x1).2.函数 f(x) 在区间a ，b 上的最大值是 1，最小值是 ，则 ab_.1x 1 133.已知函数 f(x)2ax 24( a3) x5 在区间( ，3)上是减函数，则 a 的取值范围是_.4.已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f( )f(1)的实数 x 的取值范围是_.1x5.定义新运算“ ”：当 a b 时，a ba；当 af(a)，则实数 a 的取值范围是_.7.设函数 f(x) 在区间( 2，) 上是增函数，那么 a 的取值范围是_.ax 1x 2a8.函数 y(x3)|x |的递增区间是 _.二、解答题9.函数 f(x)x 24x 4 在闭区间 t，t1( tR)上的最小值记为 g(t).(1)试写出 g(t)的函数表达式；(2)求 g(t)的最小值.10.已知函数 f(x) ，x0,2 ，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值.2x 111：函数 f(x)对任意的 m、n R，都有 f(mn) f (m)f (n)1，并且 x0 时，恒有 f(x)1.(1)求证：f(x) 在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)2.
