1、达学高端私塾学有道，达名校！ 责编：老徐1物理总复习：正交分解法、整体法和隔离法编稿：李传安 审稿：张金虎【考纲要求】1、理解牛顿第二定律，并会解决应用问题；2、掌握应用整体法与隔离法解决牛顿第二定律问题的基本方法；3、掌握应用正交分解法解决牛顿第二定律问题的基本方法；4、掌握应用合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法。【考点梳理】要点一、整体法与隔离法1、连接体：由两个或两个以上的物体组成的物体系统称为连接体。2、隔离体：把某个物体从系统中单独“隔离”出来，作为研究对象进行分析的方法叫做隔离法（称为“隔离审查对象” ） 。3、整体法：把相互作用的多个物体视为一个系统、整体进行分析研究的方法称为
2、整体法。要点诠释： 处理连接体问题通常是整体法与隔离法配合使用。作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同，可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体。处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。隔离法和整体法是互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题。要点二、正交分解法当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题，多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，有：（沿加速度方向） (垂直于加速度方向）xFma0yF特殊情况下分解加速度比分解力更简单。要点诠释：正确画出
3、受力图；建立直角坐标系，特别要注意把力或加速度分解在 x 轴和 y轴上；分别沿 x 轴方向和 y 轴方向应用牛顿第二定律列出方程。一般沿 x 轴方向（加速度方向）列出合外力等于 的方程，沿 y 轴方向求出支持力，再列出 的方程，联fN立解这三个方程求出加速度。要点三、合成法若物体只受两个力作用而产生加速度时，这是二力不平衡问题，通常应用合成法求解。要点诠释：根据牛顿第二定律，利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。特别是两个力相互垂直或相等时，应用力的合成法比较简单。【典型例题】类型一、整体法和隔离法在牛顿第二定律中的应用【高清课堂：牛顿第二定律及其应用 1 例 4】例 1、
4、如图所示，质量为 2m 的物块 A，质量为 m 的物块 B，A、B 两物体与地面的摩擦不计，在已知水平力 F 的作用下，A 、B 一起做加速运动， A 对 B 的作用力为_ 。 【答案】 3达学高端私塾学有道，达名校！ 责编：老徐2【解析】取 A、B 整体为研究对象，与地面的摩擦不计，根据牛顿第二定律=3Fma3F由于 A、B 间的作用力是内力，所以必须用隔离法将其中的一个隔离出来，内力就变成外力了，就能应用牛顿第二定律了。设 A 对 B 的作用力为 ，隔离 B, B 只受这个力作用N。N【总结升华】当几个物体在外力作用下具有相同的加速度时，就选择整体法，要求它们之间的相互作用力，就必须将其隔
5、离出来，再应用牛顿第二定律求解。此类问题一般隔离受力少的物体，计算简便一些。可以隔离另外一个物体进行验证。举一反三【变式 1】如图所示，两个质量相同的物体 A 和 B 紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如果它们分别受到水平推力 和 ，且 ，则 A 施于 B 的作用力的大小为（ ）1F212FA B1C D 12()12()【答案】 C【解析】设两物体的质量均为 m，这两物体在 和 的作用下，具有相同的加速度为1F2，方向与 相同。物体 A 和 B 之间存在着一对作用力和反作用力，设 A 施于12Fam1FB 的作用力为 N（方向与 方向相同） 。用隔离法分析物体 B 在水平方向受力 N 和 ，根1
6、 2F据牛顿第二定律有 故选项 C 正确。 2ma212()NF【变式 2】如图所示，A、B 两物块叠放在一起，在粗糙的水平面上保持相对静止地向右做匀减速直线运动，运动过程中 B 受到的摩擦力A方向向左，大小不变B方向向左，逐渐减小C方向向右，大小不变D方向向右，逐渐减小【答案】 A【解析】考查牛顿运动定律处理连接体问题的基本方法。对于多个物体组成的物体系统，若系统内各个物体具有相同的运动状态，应优先选取整体法分析，再采用隔离法求解。取A、B 系统整体分析有 ， ()()ABABfmga地 gB 与 A 具有共同的运动状态，取 B 为研究对象，由牛顿第二定律有：达学高端私塾学有道，达名校！ 责
7、编：老徐3=常数ABBfmga物体 B 做速度方向向右的匀减速运动，故而加速度方向向左。例 2、质量 为 M 的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间 t 内前进的距离为 s。耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为 F，受到地面的阻力为自重的 k 倍，所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角 保持不变。求：（1）拖拉机的加速度大小。（2）拖拉机对连接杆的拉力大小。（3）时间 t 内拖拉机对耙做的功。【答案】 （1） （2） （3）st 21()cossFMkgt2()sFMkgt【解析】 （1）拖拉机在时间 t 内匀加速前进 s，根据位移公式 变形得 2sat2at（2）要求拖拉机
8、对连接杆的拉力，必须隔离拖拉机，对拖拉机进行受力分析，拖拉机受到牵引力、支持力、重力、地面阻力和连杆拉力 T，根据牛顿第二定律cosFkMgTa联立变形得 21()sFMkgt根据牛顿第三定律连杆对耙的反作用力为2()cosTt拖拉机对耙做的功： cosWT联立解得 2()Fkgt【总结升华】本题不需要用整体法求解，但在求拖拉机对连接杆的拉力时，必须将拖拉机与耙隔离开来，先求出耙对连杆的拉力，再根据牛顿第三定律说明拖拉机对连接杆的拉力。类型二、正交分解在牛顿二定律中应用物体在受到三个或三个以上不同方向的力的作用时，一般都要用正交分解法，在建立直角坐标系时，不管选哪个方向为 x 轴的正方向，所得
9、的结果都是一样的，但在选坐标系时，为使解题方便，应使尽量多的力在坐标轴上，以减少矢量个数的分解。例 3、如图所示，质量为 0. 5 kg 的物体在与水平面成 角的拉力 F 作用下，沿水平30桌面向右做直线运动经过 0.5m，速度由 0. 6 m/s 变为 0. 4 m/s，已知物体与桌面间的动摩擦因数 =0.1，求作用力 F 的大小。达学高端私塾学有道，达名校！ 责编：老徐4【答案】 0.43FNA【解析】由运动学公式 得 20vax220./vmsx其中，负号表示物体加速度与速度方向相反，即方向向左。对物体进行受力分析，如图所示，建立直角坐标系，把拉力 F 沿 x 轴、y 轴方向分解得cos
10、30xFsin30在 x 方向上， =Nma合在 y 方向上， ，即 合 siFg联立式，消去 得 Nco30(sin30)Fma 所以 ().4cos30+inmagFA【总结升华】对不在坐标轴方向的力要正确分解，牛顿第二定律要求的是合外力等于 ，ma一定要把合外力写对。不要认为正压力就等于重力，当斜向上拉物体时，正压力小于重力；当斜向下推物体时，正压力大于重力。举一反三【变式 1】 如图所示，一个人用与水平方向成 角的斜向下的推力 F 推一个质量为3020 kg 的箱子匀速前进，如图（a）所示，箱子与水平地面间的动摩擦因数为 0.40求：（1）推力 F 的大小；（2）若该人不改变力 F 的
11、大小，只把力的方向变为与水平方向成 角斜向上去拉这30个静止的箱子，如图（b）所 示，拉力作用 2.0 s 后撤去，箱子最多还能运动多长距离？ （ ） 。21/gm【答案】 （1） F=120 N （2） .8m【解析】 （1）在图（a）情况下，对箱子有 1sinFgNcosFf由以上三式得 F=120 N1f（2）在图（b）情况下，物体先以加速度 做匀加速运动，然后以加速度 做匀减速运动1a2a达学高端私塾学有道，达名校！ 责编：老徐5直到停止。对匀加速阶段有 21cosFNma2singF1vat撤去拉力后匀减速阶段有 解得 33v2.8m【变式 2】质量为 m 的物体放在倾角为 的斜面上
12、，物体和斜面的动摩擦因数为 ，如沿水平方向加一个力 F，使物体沿斜面向上以加速度 做匀加速直a线运动（如图所示） ，则 F 为多少？ 【答案】 (sincos)coag【解析】本题将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，分别利用两个方向的合力与加速度的关系列方程。（1）受力分析：物体受四个力作用：推力 F、重力 mg、支持力 ，摩擦力 。NFf（2）建立坐标：以加速度方向即沿斜向上为 x 轴正向，分解 F 和 mg（如图所示）：（3）建立方程并求解x 方向： cosinfFmgay 方向： s0Nf三式联立求解得 (sincos)comagF【变式 3】如图(a)质量 m1kg 的物体沿倾角
13、 37的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速 v 成正比，比例系数用 k 表示，物体加速度 a 与风速 v 的关系如图(b)所示。求：（1）物体与斜面间的动摩擦因数 ；（2）比例系数 k。( ，0/gsin530.8cos530.6）【答案】 （1） （2）.4/kgs【解析】 （1）对初始时刻： 0incomma 1由图读出 代入 式， 解得： ； 204/as 1 sin.25g（2）对末时刻加速度为零： sinco0gNkv 2又 由图得出此时cosiNmgkv/ms达学高端私塾学有道，达名校！ 责编：老徐6代入 式解得： k 0.84kg/s。
14、2mg（sin cos）v（sin cos分解加速度：分解加速度而不分解力，此种方法一般是在以某种力或合力的方向为 x 轴正向时，其它力都落在两坐标轴上而不需再分解。 例 4、如图所示，电梯与水平面间夹角为 ，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压30力是其重力的 6/5，人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？【答案】 35NFmg【解析】对人受力分析：重力 ，支持力 ，摩擦NF力 （摩擦力方向一定与接触面平行，由加速度的方f向推知 水平向右） 。建立直角坐标系：取水平向右（即 F 的方向）为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向（如图） ，此时只需分解加速度， 其中 （如图所示） 根据牛顿第二定
15、律有cos30xasin30yax 方向： cxfmy 方向： siNyFg又 解得 。6535fmg【总结升华】应用分解加速度这种方法时，要注意其它力都落在两坐标轴上而不需再分解，如果还有其它力需要分解，应用分解加速度方法就没有意义了。 例 5、(2014 武汉模拟)如图甲所示，在风洞实验室里,一根足够长的固定的均匀直细杆与水平方向成 =37角，质量 m=1kg 的小球穿在细杆上且静止于细杆底端 O 处，开启送风装置，有水平向右的恒定风力 F 作用于小球上，在 t1=2s 时刻风停止。小球沿细杆运动的部分 v-t 图像如图乙所示，g 取 10m/s2，sin37=0.6 ，cos37=0.8
16、，忽略浮力。求：达学高端私塾学有道，达名校！ 责编：老徐7(1)小球在 02s 内的加速度 a1 和 25s 内的加速度 a2。(2)小球与细杆间的动摩擦因数 和水平风力 F 的大小。【答案】(1)15m/s 2，方向沿杆向上 10m/s 2，方向沿杆向下 (2)0.5 50N【解析】 (1)取沿细杆向上的方向为正方向，由图像可知：在 02s 内， (方向沿杆向上)2105m/svat在 25s 内， (“”表示方向沿杆向下) 。221/t(2)有风力 F 时的上升过程，由牛顿第二定律，有Fcos-(mgcos+Fsin)-mgsin=ma1停风后的上升阶段，由牛顿第二定律，有-mgcos-m
17、gsin=ma2联立以上各式解得 =0.5，F=50N 。类型三、合成法在牛顿第二定律中的应用例 6、如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速在动摩擦因数为 的水平地面上做匀减速运动，不计其它外力及空气阻力，则其中一个质量为 m 的土豆 A 受其它土豆对它的总作用力大小应是（ ）A. B. mgmgC. D. 2121【答案】C【解析】对箱子和土豆整体分析，设质量为 MMgag箱子在水平面上向右做匀减速运动，加速度方向向左，其中一个质量为 m 的土豆，合力大小为 ，方向水平向左，一个土豆受重力，m把其它土豆对它的总作用力看成一个力 F，二力不平衡，根据合成法原理，达学高端私塾学有道，达名校
18、！ 责编：老徐8作出力的平行四边形，可知 F 是直角三角形的斜边，所以 C 正确。22222()()1Fmgagmg【总结升华】这是一个典型的物体只受两个力作用且二力不平衡问题，用合成法解题，把力学问题转化为三角、几何关系问题，很简捷。举一反三【变式】(2014 上海高考 )如图，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为 的固定斜面，斜面上放一质量为 m 的光滑球。静止时，箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为 a 的匀减速运动直至静止，经过的总路程为 s，运动过程中的最大速度为 v。(1)求箱子加速阶段的加速度大小 a。(2)若 agtan，求减速阶段球受到箱
19、子左壁和顶部的作用力。【解题指南】解答本题注意以下两点:(1)利用匀变速直线运动公式求箱子加速阶段的加速度 a;(2)先判断球受箱子作用力的情况,再列方程求解。【答案】 (1) (2)0 m (acot-g)2avs【解析】 (1)由匀变速直线运动公式有: v2=2as1、v 2=2as2，且 s=s1+s2，解得: 。2vas(2)假设球不受箱子作用，应满足: N sin=ma，Ncos= mg，解得:a=gtan。达学高端私塾学有道，达名校！ 责编：老徐9减速时加速度向左，此加速度由斜面支持力 N 与左壁支持力 F 左 共同决定，当 a gtan，F 左 =0，球受力如图所示，在水平方向上
20、根据牛顿第二定律有 Nsin=ma，在竖直方向有 Ncos-F 上=mg，解得 : F 上 =m(acot-g)。【高清课堂：牛顿第二定律及其应用 1 例 3】例 7、如图所示，质量为 0.2kg 的小球 A 用细绳悬挂于车顶板的 O 点，当小车在外力作用下沿倾角为 30的斜面向上做匀加速直线运动时，球 A 的悬线恰好与竖直方向成 30夹角。g = 10m/s2，求：（1）小车沿斜面向上运动的加速度多大？（2）悬线对球 A 的拉力是多大？ （3）若以（1）问中的加速度向下匀加速，则细绳与竖直方向夹角 ？ 【答案】（1） （2） （3）60 0；/0smN【解析】解法一：用正交分解法求解（1）（
21、2）A 受两个力：重力 mg、绳子的拉力 T，根据牛顿第二定律列出方程沿斜面方向： （1）cos3in0Tgma垂直于斜面方向： （2）icos3解得 ， 2Na2/1解法二：用合成法求解小球只受两个力作用且二力不平衡，满足合成法的条件。拉力与竖直方向成 角，合力方向沿斜面与水平面夹角也为 角，30 30合力大小为 ，如图，三角形为等腰三角形，所以： ，mamag。21/gs由几何关系得拉力 cos302TgN（3）用合成法求解小车匀加速向下运动，小球向上摆动，设细线与竖直方向夹角为 ,竖直向下的重力加速度为 g,沿斜面向下的加速度为g,从图中几何关系可看出二者的夹角为 ,则细线的a2/10s
22、m60方向与它二者构成一个等边三角形,即细线与竖直方向夹角 。【总结升华】物体只受两个力作用且二力不平衡问题往往已知合力方向，关键是正确做出力的平行四边形。 【高清课堂：牛顿第二定律及其应用 1 例 2】A30oa达学高端私塾学有道，达名校！ 责编：老徐10例 8、如图所示，一质量为 0.2kg 的小球用细绳吊在倾角为 =53o 的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦。求下列几种情况下下，绳对球的拉力T：（1）斜面以 的加速度水平向右做加速运动；25/ms（2）斜面以 的加速度水平向右做加速运动；0（3）斜面以 的加速度水平向右做减速运动；【答案】（1） NT4.,2.1
23、1（2） （3）20N.835 NT8.2,4.03【解析】斜面由静止向右加速运动过程中，当 较小时，小球受到三个力a作用，此时细绳平行于斜面；当 增大时，斜面对小球的支持力将会减小，当 增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若 继续增大，小球将a会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于 角。而题中给出的斜面向右的加速度 ，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小25/ams球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。 设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为 ，此时斜面对小球的支持力恰好为零，0a小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图所示。代
24、入数据解得：0cotmga207.5/ms（1）斜面以 的加速度水平向右做加速运动， ，小球没有离开斜面，25/s 0a小球受力：重力 ，支持力 ,绳拉力 ,进行正交分解，g1N1T水平方向： 1cosinTma竖直方向： 1ig解得 ；N4.0,2.11（2）因为 ，所以小球已离开斜面，斜面的支持力 ， 由受力分析20/amsa20N可知，细绳的拉力为 (图中 )F222)(.83TgN此时细绳拉力 与水平方向的夹角为 2 arctn45mg（3）斜面以 10m/s2 的加速度水平向右做减速运动 ,加速度方向向左，与向左加速运动一样，当加速度达到某一临界值时，绳子的拉力为零，作出力的平行四边
25、形，合力向左，重力竖达学高端私塾学有道，达名校！ 责编：老徐11直向下， 为绳子拉力为零的临界加速度0tanmg0a，所以绳子有拉力。2204t/1/3gs 小球受力：重力 ，支持力 ,绳拉力 ,进行正交分解，m3N3T水平方向： 3sincosTa竖直方向： 3ig解得 。 NT8.2,4.03解法二：采用分解加速度的方式方向： xsincosmgTa所以 0.42.8N在针对两个未知力垂直时比较简捷，细节是对加速度要进行分解。【总结升华】这是一道很难的例题，涉及到应用牛顿第二定律解决临界问题，临界条件要判断正确。熟练应用正交分解，对只有两个力，二力不平衡时应用平行四边形定则求解较简捷，在针对两个未知力垂直时采用分解加速度的方式求解比较简捷，简化了运算，解题速度快。
