1、版权所有, 2000,2005 (c) 华中科技大学力学系,华中科技大学力学系,罗俊,材 料 力 学,Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , China,E-mail：luo_jun_ Tel: 13971226189,Mechanics of Materials,第四章 梁的弯曲强度,4.1 平面弯曲梁的内力,4.2 平面弯曲梁的正应力,4.3 梁的弯曲切应力,4.4 梁的强度条件与合理设计,4.5 梁的弹塑性弯曲简介,纯弯曲 横截面上弯矩为常量，而剪力为零。,横力弯曲 横截面上既有弯矩，又有剪力。,研究对象,平面弯曲、纯弯曲,横力弯曲,4.
2、2 弯曲正应力,目的 求弯曲变形时横截面上的正应力, 为梁的强度设计提供理论依据。方法 (1) 静力平衡; (2)几何变形关系; (3)物理关系 (虎克定理) 。,一. 对称截面梁纯弯曲变形的试验与假设,（1）试验观察变形现象,AA、BB仍保持直线，仍与变形后的纵向线正交，但相对地转过一角度,aa 缩短，bb伸长，且变为弧形。在纵线伸长区,梁的宽度减小, 在纵线缩短区,梁的宽度增加。,（2）梁弯曲变形的平面假设,梁弯曲变形后，其横截面仍保持为一平面，并仍与变形后梁的轴线垂直，只是转了一个角度。,4.2 弯曲正应力,(3)单向受力假设,设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸、或压
3、缩。,（4）中性层、中性轴,由连续性假设， 存在着一层既不伸长，也不缩短的纵向纤维层，称为中性层。,中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。,4.2 弯曲正应力,根据平面假设和单向受力假设, 纯弯曲时 梁横截面上各点均无切应变, 因此也就没 有切应力。,（1）由试验观察和假设可得到应变变化规律,取微段dx为研究对象，取坐标系如图。,dx,y,z,O为曲率中心， 为中心层的曲率半径，夹角为 ，考察任一纵向线 的应变。,变形前：,变形后：,应变：,横截面上任一点处的线应变 与该点到中心层的距离y成正比。,4.2 弯曲正应力,二. 弯曲正应力,(2) 应力、应变关系,基于
4、：单向拉压假设；拉压材料弹性常数相等。则有,问题：,中心轴位置？,横截面上各点的正应力 与该点到中心轴的距离 y 正比。,4.2 弯曲正应力,(3) 静力学关系,4.2 弯曲正应力,自然满足,平面图形的几何性质,1. 静矩、形心,静矩,形心,讨论,静矩是对坐标轴而言的，同一图形对不同的坐标轴有不同的静矩。因此静矩的数值可正、可负、或为零。,2. 若平面图形对某一轴的静矩为零，即若,即该轴必通过图形的形心。反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩为零,平面图形的几何性质,2. 惯性积,称为平面图形对 y、z 的 惯性积。,讨论,惯性积是对坐标轴而言的，因此惯性积的数值可正、可负、或为零。,若坐
5、标轴y 或z 轴中有一个是图形的对称轴，则平面图形对这对轴的惯性积为零。,如图：z坐标是图形的对称轴，故图形的z 坐标相同，而y 坐标数值相同而符号相反，故惯性积IYZ为零。,4.2 弯曲正应力,即横截面对中性轴Z 的静矩为零。由平面图形的几何性质可知，只有Z轴通过截面形心时，才有SZ0，因此,中性轴必通过横截面形心。,分析讨论,1. 中性轴位置,4.2 弯曲正应力,即要求横截面对y、z 轴的惯性积为零。 显然在平面弯曲的条件下此条件自然满足。,注意到 y 轴是横截面的对称轴，且z 轴通过形心，这一对轴称之为形心主轴 。,2. 平面弯曲条件,此即保证梁为平面弯曲的条件。,4.2 弯曲正应力,3
6、. 曲率确定,称为平面图形对z 轴的惯性矩。,中性层曲率，也即梁弯曲变形的基本公式。,4.2 弯曲正应力,称之为梁的抗弯刚度。,z,EI,4. 弯曲正应力,梁横截面上任一点处的弯曲正应力计算公式。,式中： M：横截面上弯矩； y：横截面上所求一点至中性轴的距离； IZ：横截面对中性轴Z 的惯性矩。,符号判断： 以中性轴为界，靠凸边一侧受拉，靠凹边一侧受压。,4.2 弯曲正应力,5. 梁截面上最大正应力,梁截面上最大正应力发生于离中性轴最远处，即,称为抗弯截面模量,4.2 弯曲正应力,6. 弯曲正应力公式的适用范围,公式适用于横截面具有对称轴的任何截面形状的梁（载荷作用于该对称面内）。,4.2
7、弯曲正应力,2. 在横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，又有切应力作用。此时梁的平面假设和单向拉压假设均不再成立，但当梁跨长与截面高度之比 lh5时（工程实际中的梁远大于5），切应力的存在对梁的正应力的分布影响极微，可忽略，因此可以足够精确地推广应用到横力弯曲（剪切弯曲）情况。,3. 公式适合于直梁，但可近似地用于小曲率（ ）梁。,4. 非对称截面梁 弯曲中心 开口薄壁杆件。,5. ，即公式仅适用于弹性范围。,4.2 弯曲正应力,惯性矩的计算,简单截面的惯性矩,矩形截面,同理：,4.2 弯曲正应力,12,3,3,2,2,3,2,2,2,2,hb,z,h,dz,h,z,dA,z,I,b,b,A,y
8、,h,h,=,=,=,=,+,-,-,圆形截面,极惯性矩,圆环截面,4.2 弯曲正应力,平行移轴公式,同一截面图形对于平行的两对坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同。当其中一对轴是图形的形心轴时，它们之间有比较简单的关系。,同理：,平行移轴公式,任意形状的截面对任一轴的惯性矩或惯性积等于该截面对与该轴平行的形心轴之惯性矩加上该截面面积与二轴间距离平方成正比。,4.2 弯曲正应力,例：求对T字型形心轴 YC和ZC的的惯性矩,解：1. 取参考轴Z,2. 求形心,则a12cm，a22cm。,3. 求对形心轴的惯性矩,4.2 弯曲正应力,例3.7 图所示机器支架受到载荷P=35kN 作用，试求截面AA处的最
9、大正应力。,解：1)内力分析 M=350.4=14kNm,2：横截面的几何特性 a)形心的位置,b) 对中性轴的惯性矩,c) 两个抗弯截面模量,3)应力计算,(右侧边缘),(左侧边缘),4.2 弯曲正应力,由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且已知Ec = 2Et；Mz = 600Nm。试求:1梁内最大拉、压正应力；2中性轴的位置。,根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化, Ec = 2Et，, 沿截面高度直线的斜率不同,中性轴不过截面形心。,1确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc,4.2 弯曲正应力,1确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc,4.2 弯曲正应力,4.2 弯曲正应力,
