1、附录 A 平面图形的几何性质,A.1 形心和静矩,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,A.3 平行轴定理,A.4 转轴公式 主惯性矩,材料力学,平面图形的几何性质,反映平面图形的形状与尺寸的几何量,附录A 平面图形的几何性质,如：,本章介绍：,平面图形几何性质的定义、计算方法和性质,1.在轴向拉（压）中：,2.在扭转中：,3.在弯曲中：,A.1 形心和静矩,一、静矩,二、形心,三、组合图形的静矩和形心,四、静矩的性质,附录A 平面图形的几何性质,一、静矩,A.1 形心和静矩,整个图形 A 对 x 轴的静矩：,整个图形 A 对 y 轴的静矩：,ydA微面积 dA 对 x 轴的静矩,xdA微面积 d
2、A 对 y 轴的静矩,定义：,（静面矩）,其值：+、-、0,单位：m3,二、形心,（各分力对任一轴的矩等于其合力对同一轴的矩）,有,则 xdA 和 ydA 相当于力矩,由合力矩定理,将微面积 dA 看作是 力,A.1 形心和静矩,三、组合图形的静矩和形心,组合图形由几个简单图形（如矩形、圆形等）,组成的平面图形,如：,A.1 形心和静矩,1.静矩,2.形心,A.1 形心和静矩,四、静矩的性质,形心轴,图形对形心轴的静矩为零,通过图形形心的坐标轴,反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴,性质 1 ：,A.1 形心和静矩,例 1 确定形心坐标,解：,取参考坐标系 xy,A.2 惯性矩 惯性积
3、 惯性半径,一、惯性矩与惯性积,二、惯性矩与极惯性矩的关系,附录A 平面图形的几何性质,三、惯性积的性质,四、惯性半径,一、惯性矩与惯性积,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,整个图形 A 对x 轴的惯性矩,整个图形 A 对 y 轴的惯性矩,y2dA微面积 dA 对 x 轴的惯性矩,x2dA微面积 dA 对 y 轴的惯性矩,定义：,其值：+,单位：m4,1.惯性矩,整个图形 A 对 x 轴和 y轴的惯性积,定义：,xydA微面积 dA 对 x 轴和 y 轴的惯性积,的坐标轴,其值：+、-、0,单位：m4,假设： x 轴和 y 轴为一对相互垂直,一、惯性矩与惯性积,2.惯性积,A.2 惯性矩 惯性
4、积 惯性半径,二、惯性矩与极惯性矩的关系,即：,平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过,该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和,性质 2 ：,若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,1. 矩形截面,常用图形的惯性矩：,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,2. 圆形截面,由对称性,3. 环形截面,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,三、惯性积的性质,当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴,在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形,对这对轴的惯性积为零。,性质 3 ：,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,惯 性 矩对某一轴而言,极惯性矩对某一点而言,特别指出：,惯
5、性 积对某一对正交轴而言,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,图形对 x 轴的惯性半径,单位： m,四、 惯性半径,在力学计算中，有时把惯性矩写成,即：,图形对 y 轴的惯性半径,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,A.3 平行轴定理,一、定理推导,二、应用,附录A 平面图形的几何性质,A.3 平行轴公式,一、定理推导,即：,显然：,性质 4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩,中，以对形心轴的惯性矩为最小。,同理,惯性矩和惯性积的平行轴定理,A.3 平行轴公式,解：,例 1 求 和,A.4 转轴公式 主惯性矩,一、公式推导,二、主惯性矩,附录A 平面图形的几何性质,A.4 转轴公式 主惯性
6、矩,一、公式推导,规定： 角逆时针转向为 +,两组坐标系之间的关系：,代入,一、公式推导,规定： 角逆时针转向为 +,两组坐标系之间的关系：,A.4 转轴公式 主惯性矩,显然,A.4 转轴公式 主惯性矩,显然,性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个,惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯,性矩。,A.4 转轴公式 主惯性矩,二、主惯性矩,1.定义,主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴,主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩,形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴,形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩,性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴,A.4 转轴公式 主惯性矩,2.主惯性轴的方位,设主
7、惯性轴的方位为0，对应的坐标轴为 x0、y0,令,得到,A.4 转轴公式 主惯性矩,3. 主惯性矩,因,故,有,A.4 转轴公式 主惯性矩,4.主惯性矩的性质,当Ix1取极值时，对应的方位为1,得到,即：,性质7：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性,矩Imax，另一个为极小惯性矩Imin。,令,A.4 转轴公式 主惯性矩,解：,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,1.确定形心位置,解：,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,2.求 、 和,解：,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,2.求 、 和,解：,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,2.求 、 和,解：,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,3.确定形心主惯性轴方位,即：,或,解：,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,4.求形心主惯性矩,注意：因为 ，故0对应于主惯性矩较大值,附录A 平面图形的几何性质,Thank You!,
