1、- 1 -1多种方法证明勾股定理【证法 1】 （课本上的证明方法）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等。即，整理得 22c。【证法 2】 （中国古代数学家邹元治的证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上。 RtHAE RtEBF, AHE
2、= BEF。 AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90。D G CFAHE Babcabcab c abcbabab abacbacbacbacbacbacba abc2142142 ab21- 2 -2 HEF = 18090= 90。 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c2。 RtGDH RtHAE, HGD = EHA。 HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90。又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180。 ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 2ba. 。 22c。【证法 3】 （
3、三国时期赵爽的证明）以 a、b 为直角边（ba） ， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状。 RtDAH RtABE, HDA = EAB。 HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2。 EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90。 EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于 2ab。 。 22cba.【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield 证明）bac GDACBFEH2214cbab21214a- 3 -
4、3ab abccA BCDEPHGFEDCBAabcabcabcabc以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上。 RtEAD RtCBE, ADE = BEC。 AED + ADE = 90, AED + BEC = 90。 DEC = 18090= 90。 DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 。又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC。 ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 。 。 22cba。【证法 5】 （今安徽省宣城市宣州区清代数学家梅文鼎的证明）
5、做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c。把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上。过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点P。 D、E、F 在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90，ab2121c 21ba211cab- 4 -4cccb acbaABCEF PQMN BEG =18090= 90。又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形。 ABC + CBE = 90。 RtABC RtEBD, ABC =
6、 EBD。 EBD + CBE = 90。 即 CBD= 90。又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a。 BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则, 22cba。【证法 6】 （今杭州清代数学家项明达的证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为 c。再做一个边长为 c 的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上。过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P。 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点F 作 FNPQ，垂足为
7、N。 BCA = 90，QPBC， MPC = 90，12aSc- 5 -5 BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA。同理可证 RtQNF RtAEF。从而将问题转化为【证法 4】 （梅文鼎证明） 。【证法 7】 （古希腊的数学家欧几里得的证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过 C
8、 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L.。 AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于 ，GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 = 2a。同理可证，矩形 MLEB 的面积 = 2b。 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积，cbacbaA BCD EFGHMLK21a- 6 -6 22bac ，即 22cba。【证法 8】 （利用相似三角形性质证明）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作
9、 CDAB，垂足是 D。 在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = ACAB，即 ABDC2。同理可证，CDB ACB，从而有 。 ，即 22cba。【证法 9】 （西周朝代杨作玫的证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形。 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于R。 过 B 作 BPAF，垂足为 P。 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H。 BAD =
10、 90，PAC = 90， DAH = BAC。又 DHA = 90，BCA = 90，AD = AB = c， RtDHA RtBCA。 DH = BC = a，AH = AC = b。由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = A BDCacb98765432 1PQRTHGFEDCBAab cabcccABC22A- 7 -7CA = b，AP= a，从而 PH = ba。 RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA。 RtDGT RtDHA 。 DH = DG = a，GDT = HDA 。 又 DGT = 90，DHF = 90，GDH =
11、 GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形。 GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba） 。用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为 = ， = 。 把代入，得= = 。 。【证法 10】 （今江苏苏州市元和县古代数学家李锐的证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba） ，斜边的长为 c。 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直 MHQRTG F
12、ED CBAcba87654321543212SScabb438 ab2195S82431a812S981212 SbSc92a22ca- 8 -8线上。 用数字表示面积的编号（如图） 。 TBE = ABH = 90， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， RtHBT RtABE。 HT = AE = a。 GH = GTHT = ba。又 GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC。 DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 27S。过
13、Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE= QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM 。又RtHBT RtABE. 所以 RtHBT RtQAM， 即 。 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE。 AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR。又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC， 即 。 ， ， ，又 ， ， ，58S64S543212SSc128732Sb786- 9 -9 = = ，即 。【
14、证法 11】 （利用切割线定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c。如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a。因为 BCA = 90，点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线。由切割线定理，得 ADEC2=B= ac= 2，即 2b， 2ca。【证法 12】 （利用多列米定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c（如图）。过点 A 作 ADCB，过点 B 作 BDCA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD内接于一个圆。根据多列
15、米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 DACDB， AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b， 22AB，即 22bc， ca。【证法 13】 （作直角三角形的内切圆证明）abaa B ACE DcbacabcA CBD873612SSba5242cba- 10 -10在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c。作RtABC 的内切圆O，切点分别为 D、E、F（如图） ，设O 的半径为 r。 AE = AF，BF = BD，CD = CE， BACBABCA= DE= r + r = 2r,即 rcba2， 。
16、22r，即 24crab， ， ，又 AOCBAOBCSS= = = = rc2， ABCrc42， ab， 22ca， 22cba.【证法 14】 （利用反证法证明）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D。 假设 22ba，即假设 22AB，则由AB= = 可知 DAC2，或者 2. 即 AD： ACAC ： AB，或者 BD ： BCBC ： AB。在 ADC 和 ACB 中， A = A，c bar rrOFED CBAA BDCacbABC21 br1rc2rc1- 11 -11 若 AD ： A
17、CAC ： AB，则ADCACB。在 CDB 和 ACB 中， B = B， 若 BD： BCBC ： AB，则CDBACB.又 ACB = 90， ADC90，CDB90。这与作法 CDAB 矛盾. 所以， 22ABC的假设不能成立。 22cba。【证法 15】 （英国古代数学家辛卜松的证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c。作边长是 a+b 的正方形 ABCD。把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 ；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为= 2cab。 2ba, 22cba。【证法 16】
18、 （中国清朝数学家陈杰的证明）ab2121ab21ab21c2b2aA AD DB BC Cbab abababaccc cbaababbaba 22214- 12 -12设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为c。做两个边长分别为 a、b 的正方形（ba） ，把它们拼成如图所示形状，使E、H、M 三点在一条直线上。用数字表示面积的编号（如图） 。在 EH = b 上截取 ED = a，连结DA、DC，则 AD = c。 EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b。又 CMD = 90，CM = a，AED = 90，
19、AE = b， RtAED RtDMC。 EAD = MDC，DC = AD = c。 ADE + ADC+ MDC =180。ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC = 90。 作 ABDC，CBDA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形。 BAF + FAD = DAE + FAD = 90， BAF=DAE。连结 FB，在 ABF 和 ADE 中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE。 AFB = AED = 90，BF = DE = a。 点 B、F、G、H 在一条直线上。在 RtABF 和 RtBCG 中， AB = BC = c，BF = CG = a，ABCDEFGH Mabcabcac abc12 3456 7- 13 -13 RtABF RtBCG. 5432SSc， 6212Sb， 732Sa， 7651， 62132ba = 76132= 5432SS = c 。 2c。jiangsushengsiyangxianlikouzhongxueshenzhengzhong 收集整理 排版
