1、第 5 章 恒定磁场,3-1四条平行的载流 无限长直导体垂直地通过一边长为 的正方形定点，求正方形中心点P处的磁感应强度值。,解：利用无限长直导线，若有线电流 通过，在真空中产生的磁感应强度为,由右手螺旋法则，可以判断出其方向如图所示垂直向下，大小为,再利用叠加定理可求出四条平行载流长直导线载 P点所产生的磁感应强度。,3-2 真空中，在 平面上的 和 范围内，有以线密度均匀分布的电流，求在点(0,0,5)所产生的磁场感应强度。,解： 如图所示，选择 ，视为半无线长直导线，它在P点产生的磁感应强度的大小为,利用叠加定理，P点的磁感应强度的x分量和z分量分别为,其中 。由右手螺旋法则可判断 的方
2、向，并将分解为x方向和z方向两个分量,3-3 真空中一通有电流(密度 )、半径为 的无限长圆柱内，有一半径为 的不同轴圆柱形空洞，两轴之间相距 ，如图所示。求空洞内任一点的,解： 若假设空洞处有一大小同为 ，但流向分别为 方向和 方向的电流，这样可将此问题视为半径为 的无限长圆柱内整体载有电流 和半径为 的无限长圆柱内载有电流 的两个圆柱在P点产生的磁感应强度的叠加。,利用安培环路定律，半径为 的大圆柱在空洞内P点产生的磁感应强度大小为,其方向用右手螺旋法则判断，它以大圆柱轴线为中心， 为半径圆环的切线方向。对半径为 的小圆柱，在空洞内P点所产生的磁感应强度大小为,其方向也由右手螺旋法则判断，
3、只是电流沿 方向。若设大圆柱与小圆柱中心连线为x的正方向，则P点的磁感应强度应为两圆柱各自在P点产生的磁感应强度的矢量和,式中为P点到x轴的垂直距离， 为 到x轴上的投影， 为 在x轴上的投影，为两圆柱轴线的距离。,3-4 真空中由一厚度为 的无限大载流(均匀密度 )平板，在其中心位置由一半径等于 的圆柱形空洞，如图所示。求各处的磁感应强度。,解： 与上题思路相同，假设空洞中存在 和的电流，求各点处的磁感应强度可视为一个无限大均匀载流 的平板与一个载流为的无限长直圆柱各自在该处产生的磁感应强度的矢量和。,的无限大平板在该点产生的磁感应强度，可以利用安培环路定律求出,有 的无限长直圆柱产生的磁感
4、应强度，也可利用安培环路定律求出,各处的场强为它们的矢量和,3-5 一电流密度为 的无限大电流片，置于 平面，如取 平面上半径为 的一个圆为积分回路，求,解： 利用安培环路定律,3-6 如图所示的两个无限大电流片，试分别确定区域、中的 , , 。设已知：所有区域中 ；区域中 ，区域、中 。,解：由于两个无限大电流片的电流方向相反，因此在区域，内,在区域内,在区域，内与上面的结论一致，在区域内,3-7半径为 ，长度为 的圆柱，被永久磁化到磁化强度为 ( 轴就是圆柱的轴线)。求沿轴各处的 及 ;求远离圆柱 处的磁场强度。,解： 先分析该圆柱的磁化现象。由于是均匀磁化， 是常数。在圆柱内部磁化电流面
5、密度为,磁化电流线密度为,其 为表面的法向方向。在圆柱的两个端面其外法线方向分别为 ，代入上式可知端面上 ，不存在磁化电流线密度。在圆柱的侧面 ，故侧面上的磁化电流线密度为,由此可见，要求永久磁化圆柱沿轴线的磁场，就是求磁化电流线密度 在空间沿轴各处的磁感应强度。圆柱面上的磁化电流可以视为若干个小圆环电流，每个小圆环电流为,式中 是小圆环的宽度，每个小圆环电流在轴线上某点均产生磁感应强度。利用圆环电流在其中心轴线一点的磁感应强度的表达式，可以写出 在轴线上产生沿轴线方向的磁感应强度为,磁感应强度的方向沿 的方向，故,当 时,当 或 时，,当远离圆柱时，即 ， 时，可将此圆柱视为一个磁偶极子，磁
6、偶极矩,它在空间中产生的磁场可用磁矩 表示为,若仍求轴线上 上的磁感应强度，由于 ， ， ，则,3-8 有一圆形截面铁环，环的内外半径分别为 与 ，铁环的 环上绕有50匝通有2A电流的线圈，求环的圆截面内外的磁场强度与磁感应强度(忽略漏磁，且环外的磁导率为 )。,解： 从对称性分析，此题可用安培环路定律求解。圆环的截面之外即 及 处，作以圆环中心为圆心的安培环路，则,所以环的截面以外各处 ， 。在环的截面内可认为磁场分布均匀，选为半径，作一安培环路,， 方向均沿安培环路的切线方向。,3-9 已知在 的区域中， ，在 的区域中 ，设在处 是均的，其方向为 ， ，量值为 ，试求处的 和 。,解：
7、利用媒质分界面上的衔接条件，因为 ，则， 。利用,由此可得,由于入射面与折射面共面，故,3-10 对真空中下列电流分布求 ,当 空间内距中心 处( )选对称的两薄板，其电流线密度分别为 ， 。该两个薄平板在 的空间内产生的磁感应强度为,解 处 ， 处 沿 方向， 处 沿 方向，由对称性分析，可视为一组组流向反向的无限大平板电流产生的磁场问题，由此可知在 及 的空间内， 。,该两个薄平板在处的磁感应强度均为零。由此可知，凡 的电流片对 的磁场有贡献。因此,所以磁场的分布为,这是轴对称的电流分布，可直接用安培环路定律求解。当时,方向也是沿安培环路的切线方向。,3-11 对于真空中的下列电流分布，求
8、磁矢位及磁感应强度：半径为 的无限长圆柱通有电流，其电流线密度厚度位 的无限长电流片通有电流，其电流面密度,解： 由题意，圆柱侧面通有沿轴线方向的现密度为 的电流。由对称性分析，它产生的磁场为平行平面场，且磁矢位也沿 方向，仅为圆柱坐标系中 的函数,将研究区域分为圆柱内和圆柱外，由此写出圆柱坐标系下磁矢位所满足的边值问题。,即,有限值，令 (参考点),方程的通解为,由边界条件决定待定系数,由此可知,如图所示，建立坐标系。由对称性分析，沿 轴和 轴方向都是平行平面场，因此 仅与 有关。所以,将研究的区域分不为三部分，分别写出 满足的边值问题,(参考点),方程通解为,利用边界条件决定解的待定系数,
9、磁矢位为,磁感应强度为,3-12 点出如图所示各种情况下的镜像电流，注明电流的方向、量值及有效的计算区域。,3-13 在磁导率为 的媒质中，由载流直导线与两种媒质分界面平行，垂直距离为 ， ， ，如图所示，求两种媒质中的磁场强度和载流导线每单位长度所受的力，并回答对于 媒质中的磁场，由于 的存在，磁场强度比全部为均匀媒质( )时变大还是变小。,解： 有区域为 所分布的区域时，采用镜像法，镜像电流为,载流导线单位长度所受之力为,其所在位置如图所示。这时有效区内 点的磁感应强度为,磁场强度为,上式中负号表示斥力。当有效区为 所分布的区域时，镜像电流 为,其所在位置如图所示。这时有效区内 点的磁感应
10、强度为,磁场强度为,对 媒质中的磁场，若电流 不变，而全部充满 的媒质，则它在 点产生的磁感应强度为,磁场强度为,由此可以看出，存在 媒质时使 媒质内的磁场比全部为均匀媒质 时变大了,当 时,3-14 求如图所示两同轴导体壳系统中储存的磁场能量及自感。,解： 设同轴导体壳长为 ，内部于外部通有大小相等、方向相反的电流 。采用安培环路定律，可分别求出导体壳内外各部分的磁感应强度和磁场强度,当 时,当 时,当 时,当 时,由此可求出储存于导体壳系统的磁场能量,解： 如图所示的电流 ，它在线框处距左方导线中心线 处的磁感应强度为,3-15 如图所示，计算两平行长直导线对中间线框的忽感；当线框为不变性
11、刚体时，求长导线对它的作用力。,该磁场在中间线框产生的磁通和磁通链为,平行长直导线于中间线框的互感为,平行通电导线对通有电流的线框的作用力为,当中间西安矿的电流 的方向为图中所示方向时， 与 在线框中产生的磁场方向一致，互有能为正。此时互有能为,解： 由于有 的无限大导磁媒质在导线的左侧，此题要用镜像法求解。镜像电流在所研究区域之外，位于媒质分界面左侧距分界面 处，镜像电流 ，且与所设导线上的电流方向一致。这样，电流 与镜像电流 在线框中距导线 处的磁感应强度为,3-16 计算如图所示的长直导线与线框之间的互感。请给出所需镜像电流的大小、方向及位置，并给出此时导线与线框的互感。,导线与线框的互
12、感为,电流 与镜像电流在线框中产生的磁通和交链的磁通链为,解： 由于铁磁物质的磁导率 ，磁场限制在磁路内。铁芯内 ，故由安培环路定律得,3-17 对于如图所示厚度为 (垂直纸面方向)的磁路，求：线圈的自感；可动部分所受的力。,利用媒质分界面上的衔接条件，可知铁芯内的磁感应强度与气隙中的磁感应强度相同,穿过气隙的磁通为,由此可知电流线圈所交链的磁通链为,由于可得到线圈的自感为,系统存储的磁场能量为,可动部分所受的作用力为,故作用力的方向将使广义坐标 减小，为吸引力。,3-18 试证明在两种媒质分界面上，不论磁场方向如何，磁场力总是垂至于分界面，且总是由磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。,证明；设两种媒质的磁导率分别为 、 ， 为分界面的法向方向，且由媒质1指向媒质2。在两种媒质分界面上的场量分别为 、 、 、 ，将他们的法线分量视为一个力管，切线分量视为一个力管。法线分量力管在分界面处受的是纵张力，则单位面积所受的力为,切线分量力管受到的是侧压力，单位面积的受力为,媒质分界面上单位面积受到的磁场力是它们的叠加,利用分界面上的衔接条件,带入 中可得,当时 ， ，说明力沿 的正方向，由媒质1指向媒质2。当 时，说明力沿( )方向，即从媒质2指向媒质1。由此可知，磁场力总是由磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。,
