1、 2013 年江苏省高考数学试卷菁优网2010-2014 菁优网2013 年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相印位置上1 （5 分） （2013 江苏）函数 y=3sin（2x+ ）的最小正周期为 _ 2 （5 分） （2013 江苏）设 z=（2 i） 2（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 _ 3 （5 分） （2013 江苏）双曲线 的两条渐近线方程为 _ 4 （5 分） （2013 江苏）集合1，0，1共有 _ 个子集5 （5 分） （2013 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 _ 6 （5 分
2、） （2013 江苏）抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环） ，结果如下：运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲 87 91 90 89 93乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 _ 7 （5 分） （2013 江苏）现在某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n（m7，n9）可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为 _ 菁优网2010-2014 菁优网8 （5 分） （2013 江苏）如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D ，E，F 分别是 AB，AC，AA 1 的中点，设三棱锥FADE 的体积为 V1，三棱
3、柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1：V 2= _ 9 （5 分） （2013 江苏）抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D（包含三角形内部和边界）若点 P（x，y）是区域 D 内的任意一点，则 x+2y 的取值范围是 _ 10 （5 分） （2013 江苏）设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD= AB，BE= ，若=1 +2 （ 1， 2 为实数） ，则 1+2 的值为 _ 11 （5 分） （2013 江苏）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f（x）=x 24x，则不等式 f（x）x 的解集用区间表示为 _ 1
4、2 （5 分） （2013 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为 （ab0） ，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B，设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2，若 d2= ，则椭圆 C 的离心率为 _ 13 （5 分） （2013 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A（a，a） ，P 是函数 y= （x0）图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 _ 14 （5 分） （2013 江苏）在正项等比数列a n中， ，a 6+a7=3，则满足 a1+a2+ana 1a2an 的最大正整数
5、n的值为 _ 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分） （2013 江苏）已知 =（cos ，sin ） ， =（cos ，sin） ，0（1）若| |= ，求证： ；（2）设 =（0，1） ，若 + = ，求 ， 的值菁优网2010-2014 菁优网16 （14 分） （2013 江苏）如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，AS=AB ，过 A 作AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点求证：（1）平面 EFG平面 ABC；（2）BCSA 17 （14
6、分） （2013 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，3） ，直线 l：y=2x4设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上（1）若圆心 C 也在直线 y=x1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；（2）若圆 C 上存在点 M，使 MA=2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围18 （16 分） （2013 江苏）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为 50m/min在甲出发 2min 后
7、，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1min 后，再从匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min，山路 AC 长为 1260m，经测量，cosA= ，cosC=（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19 （16 分） （2013 江苏）设a n是首项为 a，公差为 d 的等差数列（d0） ，S n 是其前 n 项和记 ，nN*，其中 c 为实数菁优网2010-2014 菁优网（1）若 c=0，且 b1，b 2，b 4 成等比数列，证明： （k
8、，nN *） ；（2）若b n是等差数列，证明：c=020 （16 分） （2013 江苏）设函数 f（x）=lnxax ，g（x）=e xax，其中 a 为实数（1）若 f（x）在（1，+）上是单调减函数，且 g（x）在（1，+）上有最小值，求 a 的取值范围；（2）若 g（x）在（1，+ ）上是单调增函数，试求 f（x）的零点个数，并证明你的结论菁优网2010-2014 菁优网2013 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相印位置上1 （5 分） （2013 江苏）函数 y=3sin（2x+ ）的最小正周
9、期为 考点： 三角函数的周期性及其求法4664233专题： 计算题；三角函数的图像与性质分析： 将题中的函数表达式与函数y=Asin（x+）进行对照，可得 =2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期解答： 解： 函数表达式为y=3sin（2x+） ，=2，可得最小正周期T=| |=|=故答案为：点评： 本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin（x+菁优网2010-2014 菁优网）的周期公式的知识，属于基础题2 （5 分） （2013 江苏）设 z=（2 i） 2（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 5 考点： 复数代数形式的混合运算4
10、664233专题： 计算题分析： 把给出的复数展开化为a+bi（a，bR）的形式，然后直接利用莫得公式计算解答： 解：z=（2i）2=44i+i2=34i所以，|z|=5故答案为 5点评： 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数莫得求法，是基础题3 （5 分） （2013 江苏）双曲线 的两条渐近线方程为 考点： 双曲线的简单性质4664233专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程菁优网2010-2014 菁优网分析： 先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程解答： 解： 双曲线的a=4，b=3，焦点在 x 轴上而双曲线的渐近线方程为 y
11、= x双曲线的渐近线方程为故答案为：点评： 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想菁优网2010-2014 菁优网4 （5 分） （2013 江苏）集合1，0，1共有 8 个子集考点： 子集与真子集4664233专题： 计算题分析： 集合P=1， 2，3的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集解答： 解：因为集合1，0，1，所以集合1，0，1的子集有： 1，0，1，1，0，1，1，0，1 ，1，0，1，共 8 个故答案为：8点评： 本题考查集合的子集个数问题，对于集合 M 的子集问题一般来说，若M 中有 n 个
12、元素，则集合 M 的子集共有 2n 个5 （5 分） （2013 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 3 菁优网2010-2014 菁优网考点： 程序框图4664233专题： 操作型分析： 由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算 a 值，并输出满足a20 的最小n 值，模拟程序的运行过程可得答案解答： 解：当n=1，a=2 时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2；当 n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当 n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环故输出 n 值菁优网2010-2014 菁优网为 3故答案为：3点评：
13、 本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行6 （5 分） （2013 江苏）抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环） ，结果如下：运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲 87 91 90 89 93乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 2 考点： 极差、方差与标准差4664233专题： 计算题；图表型分析： 直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求解答： 解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，
14、92；，方差菁优网2010-2014 菁优网=4=2所以乙运动员的成绩较稳定，方差为 2故答案为 2点评： 本题考查了方差与标准差，对于一组数据，在平均数相差不大的情况下，方差越小越稳定，考查最基本的知识点，是基础题7 （5 分） （2013 江苏）现在某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n（m7，n9）可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为 考点： 古典概型及其概率计算公式4664233专题： 概率与统计分析： 求出 m 取小于等于 7 的正整数，n 取小于等于 9的正整数，m 取到奇数，n 取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解解答： 解：m 取小于等于 7 的菁优
15、网2010-2014 菁优网正整数，n 取小于等于 9的正整数，共有 79=63种取法m 取到奇数的有1，3，5，7共 4 种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9 共 5 种情况，则 m，n 都取到奇数的方法种数为45=20 种所以 m，n 都取到奇数的概率为故答案为 点评： 本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题8 （5 分） （2013 江苏）如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D ，E，F 分别是 AB，AC，AA 1 的中点，设三棱锥FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1：V 2= 1
16、：24 菁优网2010-2014 菁优网考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积4664233专题： 计算题分析： 由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的 2 倍，然后直接由体积公式可得比值解答： 解：因为D，E，分别是 AB，AC的中点，所以 SADE：S ABC=1： 4，又 F 是 AA1的中点，所以 A1 到底面的距离 H 为F 到底面距离h 的 2 倍即三棱柱A1B1C1ABC的高是三棱锥 FADE 高的 2 倍所以V1：V 2=菁优网2010-2014 菁优网=1：24故答案为1：24点评： 本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的
17、面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题9 （5 分） （2013 江苏）抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D（包含三角形内部和边界）若点 P（x，y）是区域 D 内的任意一点，则 x+2y 的取值范围是 2， 考点： 简单线性规划；导数的运算4664233专题： 不等式的解法及应用分析： 利用导数求出抛物线在x=1 处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则 x+2y 的取值范围可求解答： 解：由 y=x2得，y =2x，所以y|x=1=2，则抛物线 y=x2在 x=1 处的切线方程为y=2x1令 z=x+2y，则菁优网2010-2014 菁优网画出可行域如图，
18、所以当直线过点（0，1 ）时，zmin=2过点（ ）时，故答案为点评： 本题考查了导数的运算，考查了简单的线性规划，解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决，是基础题10 （5 分） （2013 江苏）设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD= AB，BE= ，若=1 +2 （ 1， 2 为实数） ，则 1+2 的值为 菁优网2010-2014 菁优网考点： 平面向量的基本定理及其意义4664233专题： 平面向量及应用分析： 由题意和向量的运算可得 =，结合 =1+2 ，可得 1， 2的值，求和即可解答： 解：由题意结合向量的运算可得=，又由题意可知若 =1+2 ，故可得 1
19、=， 2=，所以1+2=故答案为：点评： 本题考查平面向量基本菁优网2010-2014 菁优网定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题11 （5 分） （2013 江苏）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f（x）=x 24x，则不等式 f（x）x 的解集用区间表示为 （5，0 ）（5，） 考点： 一元二次不等式的解法4664233专题： 不等式的解法及应用分析： 作出 x 大于0 时，f（x）的图象，根据 f（x）为定义在 R 上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出 x 小于 0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在 y=x 上方，利用图形即可求出解集解答： 解
20、：作出f（x）=x24x（ x0）的图象，如图所示，f（ x）是定义在 R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称作出x0 的图象，菁优网2010-2014 菁优网不等式f（x）x 表示函数y=f（x）图象在 y=x 上方，f（ x）图象与 y=x 图象交于P（5，5） ，Q（5， 5） ，则由图象可得不等式f（x）x 的解集为（5 ，0 ）（5，+ ）故答案为：（5 ，0 ）（5，+ ）点评： 此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键菁优网2010-2014 菁优网12 （5 分） （2013 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标
21、准方程为 （ab0） ，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B，设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2，若 d2= ，则椭圆 C 的离心率为 考点： 椭圆的简单性质4664233专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据“ d2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得 d1=，从而得到 a 与 b 的关系，可求得 ，从而求出离心率解答： 解：如图，准线 l：x=，d 2=，由面积法得：d1= ，若d2= ，则，整理得a2ab菁优网2010-2014 菁优网=0，两边同除以a2，得+（） =0，解得 e= 故答案为：点评： 本题主
22、要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法13 （5 分） （2013 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A（a，a） ，P 是函数 y= （x0）图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 1 或 考点： 两点间的距离公式4664233专题： 压轴题；函菁优网2010-2014 菁优网数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 设点 P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a 的值解答： 解：设点 P，则|PA|=，令 ，x 0， t2，令 g（t）
23、=t22at+2a22=（ta）2+a22，当 a2 时，t=a 时 g（t）取得最小值g（a）=a22，菁优网2010-2014 菁优网，解得；当 a2 时，g（t）在区间2，+ ）单调递增，t=2，g（t）取得最小值g（2）=2a24a+2，解得a=1综上可知：a=1或 故答案为1或 点评： 本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力14 （5 分） （2013 江苏）在正项等比数列a n中， ，a 6+a7=3，则满足 a1+a2+ana 1a2an 的最大正整数 n的值为 12 考点： 等比数列的
24、前 n 项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差菁优网2010-2014 菁优网数列的前 n项和4664233专题： 压轴题；等差数列与等比数列分析： 设正项等比数列a n首项为 a1，公比为 q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+an及 a1a2an 的表达式，化简可得关于n 的不等式，解之可得 n的范围，取上限的整数部分即可得答案解答： 解：设正项等比数列a n首项为 a1，公比为 q，由题意可得，解之可得得：a1= ，q=2，故其通项公式为 an=2n6记Tn=a1+a2+an=菁优网2010-2014 菁优网= ，Sn=a1a2an=25242
25、n6=254+n6=由题意可得TnS n，即，化简得：2n1，即 2n1，因此只须 n，即n213n+100解得 n，由于 n 为正整数，因此n 最大为菁优网2010-2014 菁优网的整数部分，也就是 12故答案为：12点评： 本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分） （2013 江苏）已知 =（cos ，sin ） ， =（cos ，sin） ，0（1）若| |= ，求证： ；（2）设 =（0，1） ，若 + = ，求 ， 的值考点： 平面向量
26、数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数4664233专题： 平面向量及应用分析： （1）由给出的向量的坐标，求出 的坐标，由模等于 列式得到coscos+sinsin=0，由此得到结论；（2）由向量菁优网2010-2014 菁优网坐标的加法运算求出 +，由+ =（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得， 的值解答： 解：（1）由=（cos，sin） ，=（cos ，sin） ，则=（coscos， sinsin） ，由=22（coscos+sinsin）=2，得coscos+sinsin=0所以 即 ；（2）由得， 2+2得：菁优
27、网2010-2014 菁优网因为0，所以0所以，代入得：因为所以所以，点评： 本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题16 （14 分） （2013 江苏）如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，AS=AB ，过 A 作AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点求证：（1）平面 EFG平面 ABC；菁优网2010-2014 菁优网（2）BCSA 考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质4664233专题： 证明题；空间位置关系与距离分析：
28、 （1）根据等腰三角形的“三线合一” ，证出 F 为 SB的中点从而得到SAB和SAC 中，EFAB 且EGAC，利用线面平行的判定定理，证出 EF平面 ABC 且EG平面ABC因为EF、EG 是平面 EFG 内的相交直线，所以平面EFG平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF平面SBC，从而得到AFBC结合 AF、AB是平面 SAB菁优网2010-2014 菁优网内的相交直线且ABBC，可得 BC平面SAB，从而证出BCSA解答： 解：（1）ASB 中，SA=AB 且AFSB， F为 SB 的中点E、 G 分别为 SA、SC的中点，EF、EG 分别是SAB、 SAC的中位线，可得 EFAB且 EGACEF平面ABC，AB 平面 ABC，EF平面ABC，同理可得 EG平面 ABC又 EF、EG是平面 EFG内的相交直线，平面 EFG平面 ABC；（2）平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBC=SB，AF平面ASB，AF SBAF平面SBC又 BC平面SBC，AF BC
