1、24.1.4 圆周角,地调学校数学教研组,1.圆心角的定义?,在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等（知一求三）。,顶点在圆心的角叫圆心角,2. 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？,知识回顾 ：,预习效果反馈,圆周角的概念,圆周角定理,推论： 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90; 90的圆周角所对的弦是圆的直径.,思考：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.,AOB呢？,练习：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？,o,A,B,o,A,B,o,A,B,
2、o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,C,C,C,C,C,C,C,C,图1,图2,图3,图4,图5,图6,图7,图8,图9,下列图形中，哪些图形中的圆心角BOC和圆周角A是同对一条弧。,自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和圆周角分别是多少度？,同一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半。,分情况证明,在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？,情况一：当圆心(O)在圆周角(BAC)的一边(BA)上时,圆周角BAC与圆心角BOC的大小关系., OA=OC,A=C,又 BOC=AC,BOC=2A,即A= BOC,情况二：,D,提示： 作射线AO交O于D。
3、 转化为第1种情况,证明：由第1种情况得,即BAC= BOC,BAD BOD,CAD COD,BADCAD BOD COD,情况三：,证明：作射线AO交O于D。,由第1种情况得,即BAC= BOC,BAD BOD,CAD COD,CADBAD COD BOD,D,即BAC= BOC,A,B,C,O,A,B,C1,O,C2,C3,推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径。, AB是直径 AC1B=900, AC1B=900 AB是直径,推论2：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。,思考： 在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？,如果一个多边形的所有
4、顶点都在同一个圆上,这个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.,如图，四边形ABCD是O的内接四边形， O是四边形ABCD的外接圆。,思考：A+C=?,A C 180,同理BD180,圆内接四边形的对角互补,特别提示：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补。,定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。,DB180 AC180,EABBCD FCBBAD,对角,外角,内对角,例1. 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,A,B,C,D,O,解：AB
5、是直径，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,10,6,）,）,8,例题讲解,课后练习 1.试找出下图中所有相等的圆周角。,2=7,1=4,3=6,5=8,练习2：,（2）.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,（1）.求圆中角X的度数,C,C,D,B,求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）,A,B,C,O,求证： ABC 为直角三角形.,证明：,以AB为直径作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,点C在O上.,又AB为直径,ACB= 90., ABC 为直角三角形.,CO= AB
6、,练习3,如图，如何确定一个圆形纸片的圆心吗？交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,合作交流,1.如图，在O中ABC=50， 则AOC等于（ ） A.50； B.80； C.90； D.100,D,2.如图，ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则BPC等于（ ） A.30； B.60； C.90； D.45,B,3.如图,ABC的顶点A、B、C都在 O上,C30 ,AB2,则O 的半径是 。,2,5、在O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)和(5x-30)，则x=_ _；,4. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C
7、、D为半圆上的两点，COD=50，则 CAD=_；,20,25,6.如图,O中,A0B = 80,则ACB=_.,140,D,7、判断 （1）等弧所对的圆周角相等； （2）相等的弧所对的圆周角也相等； （3）900的角所对的弦是直径； （4）同弦所对的圆周角相等。,8、在O中CBD=30BDC=20,求A。,解法1：CBD=300，BDC=200 C=1800-CBD-BDC=1300 A=1800-C=500 （圆内接四边形对角互补）,解法2：连结AC，则 CAD=CBD=300 BAC=BDC=200 BAD=CAD+BAC=500,解法3：,练闯考 第55页,1.如图,以O的半径OA为直
8、径作O1,O的弦AD交O1于C,则OC与AD的位置关系是_, OC与BD的位置关系是_,若AC=2cm,则AD=_cm。,垂直,平行,4,随堂练习,3.如图,A=50,ABC=60 ，BD是 O的直径，则AEB等于（ ） A.70 B.110 C.90 D.120,2.如图AB,AC为O的两条弦, 延长CA到D,使AD=AB,若ADB=300. 则BOC=_。,E,B,1200,随堂练习,分析：同一条弧所对的圆周角有很多，圆周角的位置灵活多变，可以把注意力放在圆周角所对的弧上.,4. 如图，AB是O的直径, C 和D是圆上的两点,若ABD=40,求BCD的度数.,40,随堂练习,分析 连结AO
9、，CO，由勾股定理不难得到ABD为等腰直角三角形，则AOC=90，又OA=OC，AC长度已知，则可以求出半径和直径. 更一般的情况要用正弦定理来求.,O,C,B,A,D,5. 如图，A，B，C三点在O上，ADBC于D，且AC=5，DC=3，AB= ，求O的直径.,随堂练习,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相 等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.,顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角.,圆周角的概念,圆周角定理,推论： 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90; 90的圆周角所对的弦是圆的直径.,复习巩固,A,B,C,D,在同圆或等圆中，,相等的圆周角所对的弧相等.,则 D=A,ABCD
10、,例1 如图，在O中， BOC=50,求A的大小.,解: A = BOC = 25.,如图,AB是直径,则ACB=,90 度,半圆（或直径）所对的圆周角是直角，,角所对的弦是直径,2.如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC。ACB与BAC的大小有什么关系？为什么？,O,C,A,B,1,2,3,4,即ACB=2BAC,答： ACB=2 BAC。,练一练,3. 已知O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。,圆心角为60度,圆周角为 30 度,或 150 度。,练一练,4.如图，A是圆O的圆周角，,A=40，求OBC的度数。,练一练,5. 如图 AB是O的直径, C
11、 ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,练一练,2、如图，在O中，AB为直径，CB=CF, 弦CGAB，交AB于D，交BF于E。 求证：BE=EC,）,）,BE=EC,EBC=ECB,AB为直径,CGAB,5、求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,已知：如图，在ABC中，点O是边AB的中点，且AB=2OC.,求证：ABC是Rt.,O,如图：已知圆内接四边形ABCD，求证：A+C=180,圆的内接四边形的对角互补。,圆周角与圆心角的关系,证明：,（1）当圆心O在ACB的一边上时,即 所对的圆周角是它所对圆心角的1/2,1,（2）当圆心O在ACB的内部时,即 所对的圆周角是它所对圆心角的1/2,C,B,A,O,（3）当圆心O在ACB的外部时,即 所对的圆周角是它所对圆心角的1/2,O,二、圆周角与圆心角的关系,圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半.,滚瓜烂熟,
