1、1泰州市初中数学论文评比关于用一元二次方程解决实际问题的模型分析江苏兴化林湖中心校 张娟摘 要：一元二次方程解决实际问题的模型有：1.条件探究问题；2.方案设计问题；3.数字问题；4.利润和利润率问题；5 增涨率和下降率问题。关键词：一元二次方程 应用 等量关系 模型从小学到初中，应用题对学生来讲都是难点，有一部份学生应用题就是学不好，到了初中用方程解决应用题方便多了，其实，要学好应用题，关键在于掌握应用题的几种题型，从而找到题目的等量关系，进而列出方程。下面是笔者对一元二次方程解决实际问题的模型的分析。一、条件探求问题例 1:要建一个面积为 150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边
2、靠着原有的一面墙，墙长为 am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为 35m（1）求鸡场的长与宽各是多少？（2）题中，墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用？分析：第（2）小题着眼于作为条件出现的常数 a，探索这一条件对题目的解有何影响，需根据第（1）小题的结果进行研究 解：（1）设平行于墙的一边长为 xm，则另一边的长为 ，根据题意，得 ，解得 x1=15，x 2=20当 x=15 时， ；当 x=20 时， 答：略（2）由题意可知：当 a15 时，此题无解；当 15a20 时，此题只有一个解；当a20 时，此题有两解二、方案设计问题2例 2:某中学有一块长为 am，宽为 bm 的矩形场地，计
3、划在该场地上修筑宽都为 2 米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪（1）如图 1，请分别写出每条道路的面积（用含 a 或含 b 的代数式表示）；（2）已知 ab=21，并且四块草坪的面积之和为 312m2，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？（3）在（2）的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时符合下述两个条件）：ab条件：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为 13m2；条件：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图三、数字问题 例 3：两个相邻的自
4、然数的平方和比这两个数中较小的数的两倍大 51，试求这两个自然数。分析：可将相邻的两个自然数设为 n 和 n+1，根据题中的已知条件列出方程求解。 解：设两个自然数为 n 和 n+1，由题意得方程 n2+(n+1)2-2n=51 整理得 n2-25=0解得 n1=5 n2=-5(舍去) n+1=6答：这两个自然数是 5 和 6.四、利润和利润率问题例 4：振华商厦服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40元。为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施扩大销量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价 4 元，那么平均每天可多售出 8 件。要
5、想平3均每天销售这种童装盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？分析：由题意可知每降价 1 元可多售出 2 件。另外这类问题中蕴涵的等量关系是：每件盈利售出件数总盈利 1200 元，由此可列一元二次方程求解。解：设每件童装应降价 x 元，由题意可得(40-x)(20+2x)=1200 整理得 x2-30x+200=0 解得 x1=10,x2=20 ，因要尽量减少库存，故 应取 20，所以每件童装应降价 20 元。反思：在列一元二次方程解决实际问题时，一定要注意根据实际情况或题意来决定方程解的取舍。本题的易错点就是大家容易忽视尽快减少库存而多出一个不适合题意的解 。你来试试看：某经销单位将
6、进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时，一个月能卖出 500个。已知这种商品每个涨价 1 元，其销量就减少 10 个。为了赚的 8000 元的利润，销量又不超过 300 个，售价应定为多少？这时应进货多少？ 解析：设售价应定为 x 元，由题意可得方程(x-40)500-10(x-5)=8000 解得 x1=60,x2=80 ， 因为当 x=60 时，销量是 400 个，超过 300 个，不符五、增长率和下降率问题例 5：某商厦二月份的销售额为 100 万元，三月份销售额下降了 20%。商厦从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到 135.2 万元，试求四、五两个月的平均增
7、长率。分析：先算出三月份的销售额为 100（120%）万元。设四、五两个月的平均增长率为 x%，则四月份销售额为 100（120%） （1x% ）万元，五月份的销售额为 100（120%）（1x% ） （1x% ）100（120%） 万元，于是可列出方程 100（120%） （1x% ）2135.2。解：设四、五两个月的平均增长率为 ，由题意得方程 100（120%） （1x% ） 2 135.2 解得 x1=30,x2=-230 ， 因为-230% 不符实际，舍去，所以 ，即四、五两个月的平均增长率为 30% 。4由上述分析可知，用一元二次方程解决实际问题大致包含以下 5 种：第一是条件探求型，第二是方案设计型，第三是数字问题型，第四是利润和利润率型，第五是增长率和下降率型。对于这些问题，我们要善于观察，善于分析题中的等量关系，就容易列出方程了。参考文献：九年级学习与探究 、 创新课时训练等
