1、1一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。利用函数与方程思想：若 = 与 轴有交点 ( )=0。y()fx0xf0下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方
2、程 （ ）的两个实根为 ， ，且 。02cbxaa1x221x【定理 1】： ， 或12)(042cfb0)(42bcfa上述推论结合二次函数图象不难得到。【定理 2】： ， 或01x20)(42bcfa0)(42bcfa由二次函数图象易知它的正确性。2【定理 3】 210x0ac【定理 4】 ， 且 ； 1 0ab， 且 。 2x2c二一元二次方程的非零分布 分布k设一元二次方程 （ ）的两实根为 ， ，且 。 为常02cbxaa1x221xk数。则一元二次方程根的 分布（即 ， 相对于 的位置）有以下若干定理。12xk构造相应二次函数 （ ）f2)(【定理 1】 21xkkabfc04【定
3、理 2】 。kx21kabfc0)(423【定理 3】 。21xk0)(kaf【定理 4】有且仅有 （或 ）1xk2k0)(21kf【定理 5】 或2121pxkx0)()(21fkfa)()(21pfkf【定理 6】 或21kxk212120)(4kabfac212120)(4kabfacb4三、练习题*1. 关于 x 的方程 x2+ax+a1=0，有异号的两个实根，求 a 的取值范围。(a7)*4. 关于 x 的方程 x2ax+a24=0 有两个正根，求实数 a 的取值范围。 (a2)5设关于 x 的方程 4x24(m+n)x+m2+n2=0 有一个实根大于 1，另一个实根小于1，则m,n 必须满足什么关系。 （(m+2) 2+(n+2)20）7实数 m 为何值时关于 x 的方程 7x2(m+13)x+m2m2=0 的两个实根 x1,x2 满足0x1x22。 （2m1 或 3m4）8已知方程 x2+ (a29)x+a25a+6=0 的一根小于 0，另一根大于 2，求实数 a 的取值范围。 （2a8/3）9关于 x 的二次方程 2x2+3x5m=0 有两个小于 1 的实根，求实数 m 的取值范围。 （9/40m1）10已知方程 x2mx+4=0 在1x1 上有解，求实数 m 的取值范围。
