1、B样条曲线 B样条提出背景仅包含一段的多项式曲线不能满足造型需求约束条件增多，Bzier造型的缺陷：次数增加 形状复杂算法不稳定不能局部控制拼接的话连续性容易产生问题 分段的多项式函数B样条的发展1949年，Schoenberg最早提出定义在均匀节点向量上的B样条函数理论。1960年，de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。1974年，G ordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式，得到了B样条函数。B样条函数(basis) 给出了B样条基函数的递归算法从B样条函数到B样条曲线样条函数的定义区间 的一个分割定
2、义于分割上的函数 g(x)满足两条件： 在 上， g(x)是x的 k次多项式 g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数 0 1: na x x x b 1 , i ix x 1( ) , kg x C ab节点k次样条函数 节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高样条曲线样条曲线：节点序列上定义的满足一定的连续性的分段曲线优点：局部性+。B样条曲线的定义1. B样 条 曲 线 定 义设 有 控 制 顶 点 P0,P1,Pn,则 k阶 (k-1次 )B样 条 曲 线 的 数 学 表 达 式 为 : 其 中 ： Ni,k(t)是 k-1次 B样 条 曲 线 的 基 函 数 ； 是
3、 单 调 不 减 的 节 点 分 割 。B样条曲线的定义2. B样 条 基 函 数 的 递 推 定 义 (de Boor-Cox公 式 )规 定 ： 0/0=0B样条基函数的性质1. 正 性 与 局 部 支 撑 性 ti , ti+k为 Ni,k(t)的 支 撑 区 间B样条基函数的性质2. 权 性 (归 一 性 )3.线 性 无 关 性B样条基函数的性质4.微 分 -差 分 公 式5.r阶 导 数r阶 导 数 为 前 一 次 数 的 两 个 基 函 数 的 r阶 导 数 的 组 合导 数 为 前 一 次 数 的 两 个 基 函 数 的 线 性 组 合B样条基函数的本质每 个 基 函 数 都
4、是 一 个 分 段 多 项 式控 制 多 边 形 的 顶 点 为 Pi(i=0,1,n),阶 数 为 k(次 数 为 k-1)， 则 节 点 矢 量是 T=t0,t1,tn+k。1. 均 匀 B样 条 曲 线节 点 矢 量 中 节 点 为 沿 参 数 轴 均 匀 或 等 距 分 布 ， 所 有 节 点 区 间 长 度 i=ti+1-ti=常 数 0(i=0,1,n+k-1)。 例 如 :T=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)图 3.1.23 三 次 均 匀 的 B样 条 曲 线 均 匀 B样 条 曲 线 没 有 保 留 Bezier曲 线 端 点 的 几 何 性 质B样条曲线的类型2 .准
5、 均 匀 B样 条 曲 线 两 端 节 点 具 有 重 数 k， 内 部 节 点 为 均 匀 单 节 点 。 例 如 :T=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7)图 3.1.24 准 均 匀 三 次 B样 条 曲 线准 均 匀 B样 条 曲 线 保 留 了 Bezier曲 线 端 点 的 几 何 性 质B样条曲线的类型3. 非 均 匀 B样 条 曲 线 任 意 分 布 的 节 点 矢 量 T=t0,t1,tn+k， 只 要 在 数 学 上 成 立 （ 节 点 序列 非 递 减 ， 两 端 节 点 重 复 度 k， 内 节 点 重 复 度 k-1） 都 可 选 取 。例 如 :T=(
6、0,0,2,2,3,5,8,11,16) B样条曲线的类型B样条曲线的性质控 制 顶 点 是 唯 一 一 组1. 表 示 唯 一 性 ： 给 定 节 点 向 量 、 给 定 控 制 顶 点 的 k阶 B样 条 曲 线 表 示 唯 一 。B样条曲线的性质2. 凸 包 性 ： k 阶 P(t)在 区 间 (ti, ti+1) , k-1=i=n 上 的 部 分 位 于 k个 点 Pi-k+1,Pi的凸 包 内 ， 整 条 曲 线 则 位 于 各 凸 包 Ci的 并 集 之 内 。每 3个 控 制 顶 点 构 成 一 个 凸 包3. 局 部 性 k 阶 B样 条 曲 线 上 参 数 为 的 一 点
7、P(t)至 多 与 k个 控 制 顶 点Pj ( j=i-k+1,i)有 关 ， 与 其 它 控 制 顶 点 无 关 ； 移 动 该 曲 线 的 第 i个 控制 顶 点 Pi至 多 影 响 到 定 义 在 区 间 (ti, ti+k) 上 那 部 分 曲 线 的 形 状 , 对 曲线 的 其 余 部 分 不 发 生 影 响 。图 8 -1 6 B 样 条 曲 线 的 局 部 支 柱 性P0P1 P2P3 P 4 P5P6 P7P4P 4 一 段 区 间 由 k个 连 续 控 制 点 参 与 ；一 个 控 制 点 参 与 K段 (ti, ti+k)曲 线 构 造 。B样条曲线的性质B样条曲线的性
8、质4. 几 何 不 变 性 和 仿 射 不 变 性 ： B样 条 曲 线 的 形 状 和 位 置 与 坐 标 系 的 选 择 无 关 。 曲 线 作 仿 射 变 换 ，只 须 把 其 控 制 多 边 形 作 此 仿 射 变 换 。 5.B网 逼 近 性 质 B网 大 致 反 映 了 B样 条 曲 线 的 形 状 ， 这 有 利 于 人 机 交 互 设 计 . 6.变 差 缩 减 性 设 平 面 内 n+1 个 控 制 顶 点 构 成 B样 条 曲 线 P(t) 的 特 征 多 边 形 。 在该 平 面 内 的 任 意 一 条 直 线 与 P(t) 的 交 点 个 数 不 多 于 该 直 线 和
9、 特 征多 边 形 的 交 点 个 数 。B样条曲线的性质7. 连 续 阶 性 ： 曲 线 在 重 数 为 m 的 节 点 处 ， 连 续 阶 能 达 到 k-1-m 。 整 条 曲 线 的 连 续 阶 能 达 到 次 数 -重 数 的 最 大 值连 续 阶 =次 数 -重 数B样条曲线的性质8. 退 化 性 ： 节 点 矢 量 中 两 端 节 点 具 有 重 数 k， 所 有 内 节 点 重 数 为 k-1， 这 样 的 节点 矢 量 定 义 了 分 段 的 Bernstein基 。 B样 条 曲 线 用 分 段 Bezier曲 线 表 示 后 ， 各 曲 线 段 就 具 有 了 相 对 的
10、 独 立 性 ， 移 动 曲 线 段 内 的 一 个 控 制 顶 点 只 影 响 该 曲 线 段 的 形 状 。 例如 :T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2) B样 条 是 Bzier的 推 广图 3.1.25 三 次 分 段 Bezier曲 线B样条曲线的几何生成 割 角 公 式 ： )()()( 1 ,1,11, tNtNtN kjkjkjkjkj 节 点 向 量 中 插 入 一 点 t节 点 的 插 入 导 致 某 个 基 函 数 细 分 原 始 基 函 数 图 例节 点 插 入 后 细 分 的 基 函 数 图 例B样条曲线的局部加细 节 点 插 入 公 式 ： 用 B样
11、条 基 函 数 代 替 Bernstein基 函 数 ： 1） 逼 近 特 征 多 边 形 的 精 度 更 高 。 2） 多 边 形 的 边 数 与 基 函 数 的 次 数 无 关 。 3） 具 有 局 部 修 改 性 。 4） 灵 活 造 型 B样条曲线的优点用 B样 条 曲 线 可 以 构 造 直 线 段 、 尖 点 、 切 线 等 特 殊 情 况 。对 于 4阶 （ 3次 ） 的 B样 条 曲 线 P(t)若 要 在 其 中 得 到 一 条 直 线 段 ， 只要 Pi, Pi+1, Pi+2, Pi+3 4点 位 于 一 条 直 线 上 。为 了 使 P(t)能 过 P(i)点 ， 只 要 使 Pi, Pi+1, Pi+2 重 合 。 尖 点 也 可 通 过 三重 节 点 的 方 法 得 到 。B样条曲线造型灵活性谢谢！
