1、第 5章 曲线与曲面的生成与计算5.1 曲线的参数表示 5.2 Bezier、 B样条曲线的生成5.3 曲面的参数表示 5.4 Bezier、 B样条曲面的生成豺两凭潜摘辆卒洛葛晒望缚怔模楷它最的趁污轮板码拣骄侦孜转色沮姓雾Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一，它们在实际工作中有着广泛的应用。例如：v 实验、统计数据如何用曲线表示。v 设计、分析、优化的结果如何用曲线、曲面表示。v 汽车、飞机等具有曲面外形的产品怎样进行设计，才 能使之美观且物理性能最佳。v 由于实际问题不断对曲线、曲面有许多新的要求，近二十年来，有关曲线曲面的研
2、究文章、专著层出不穷。在实际工作中，人们常用曲线有 Bezier、 B样条、非均匀有理 B样条(Nurbs)、圆锥曲线、等距线、过度线等；常用的曲面有 Bezier曲面、 B样条曲面、 Coons曲面等。曲线与曲面的生成与计算捞辑权神常斜障询蛇栓肤姿谣妄隘絮洗肌鲁垢栓铁填动撼篆裔捎吗褐据痒Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 在本章中，我们将主要介绍曲线曲面的参数表示 ,Bezier,vB样条曲线以及 Bezier、 B样条曲面的概念和特征。v 在具体讲述上面知识之前，有必要了解一下如下几个概念的区别和联系。v 1 曲线绘制：这类问题归结为已知曲线方程，要求画出曲线v 2 曲
3、线插值：由实验、观测或计算得到了若干个离散点组成的点列，要求用光滑的曲线把这些离散点连结起来。v 3 曲线逼近：在曲线形状设计中，给定了折线轮廓，要求用一曲线逼近这个折线轮廓，这类问题称为曲线逼近。v（注：曲线插值与曲线逼近的区别：逼近不要求曲线通过数据点）v 4 曲线拟合：曲线、曲面的设计过程中，用插值或逼近方法是生成的曲线、曲面达到某些设计要求。曲线与曲面的生成与计算铬炬凤耸朗揩顶膝又天哆鲍情袍锗婴轨挽寥稚挠倘谎救泊岁栅斡液度户溺Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 曲线、曲面可以有显式、隐式和参数表示，但从计算机图形学和计算几何的角度来看，还是使用参数表示较好，因为采用
4、参数方法表示曲线和曲面，可以将其形状从特定坐标系的依附性中解脱出来，很容易借助计算机得以实现。v 一个动点的轨迹可以用位置向量 P来描述，如下图所示：XYZ0u1u2u6.1 曲线的参数表示曲线的参数表示注：这里讨论的动点轨迹是在三维空间中所表示的曲线，平面轨迹曲线只是一种特殊情况坡勇键忍燃卉折笑揩棋转床渤詹涸邓秉淫散穿鹊份同歉漏安拈嗡贯极比阀Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 向量 P与时间 t有关： P=P(t),就是说 P是时间 t的函数。用坐标表示为 ：v 若把参数 t 换成一个普通意义的参数 u，则曲线的参数形式为：v 例如： 是一条空间曲线的参数形式。注：这是一
5、条以点 (0,1,3)为起点， (3,2,5)为终点的线段5.1 曲线的参数表示娥屈悟琅疤甸仗柳轻瘫批蘸钙他獭膊鲍悯跑米受乏绳抨鼓穆刷糯钥温诽恕Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线 参数的含义： 时间，距离，角度，比例等等； 规范参数区间 0， 1：归一化； 矢量表示： 切矢量（导函数）： 例：已知直线段的端点坐标： ，则此直线段的参数表达式为： 相应的 x,y坐标分量为： 切矢量为： 直线斜率：5.1 曲线的参数表示历晚籽傈府聂误啥遇炭免芒苹壮椰来直舍广锈籽墩妮粒艘煤吐匿洛广撇厂Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线和 B样条曲线都是一种自由曲线
6、。 自由曲线是指一条无法用标准代数方程来描述的曲线 。在实际中，自由曲线应用十分广泛，比如轮船身外形放样时的样条曲线，汽车、飞机及各种产品的外形曲线都可以看成是自由曲线。计算机产生这种曲线的方法通常有两类： （ 1） 插值的方法 ：要求生成的曲线通过每个数据点，即型值点。曲线插值方法有多项式插值、分段多项式插值和样条函数插值等。 （ 2） 拟合的方法 ：要求生成曲线靠近每个数据点（型值点），但不一定要求通过每个点。拟合的方法一般有最小二乘法、 Bezier方法和 B样条方法等。下面主要介绍工程上流行应用的 Bezier曲线 和 B样条曲线 。Bezier、 B样条曲线的生成5.2 Bezier
7、、 B样条曲线的生成图肇郭庄矗晋砒镊邀牧森沦束敢陋店哩写甜湘凭朵爸酚缚屹淑临蚜战退挞Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v Bezier曲线是由法国雷诺汽车公司的 P.E.Bezier于 20世纪 70年代初为解决汽车外型设计而提出的一种新的参数表示法，这种方法的特点是： 控制点的输入与曲线输出之间的关系明确，使设计人员比较直观地估计给定条件与设计出的曲线之间的关系 。当设计人员（用户）使用交互手段改变输入控制点，就能很方便地在屏幕上改变拟合曲线的形状与代表它的多项式的次数以迎合设计要求。v Bezier曲线是指用 光滑参数曲线段逼近一折线多边形 ，它不要求给出导数，只要给出数
8、据点就可以构造曲线，而且曲线次数严格依赖确定该段曲线的数据点个数。贝塞尔（ Bezier）曲线5.2 Bezier、 B样条曲线的生成诱乃醇羹蛾峡足仟吾辑褂粹实棵孕蔼犬咽插流大留知权晤钮底狭领萧责厕Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 曲线的形状依赖于该多边形的形状，即由一组多边折线（该多边折线称为特征多边形）的顶点唯一地定义出来，且只有该多边形第一个顶点和最后一个顶点在曲线上。 Bezier曲线及其特征多边形如下图三次 Bezier曲线和特征多边形 v 注：上图是由四个控制点形成的三次 Bezier曲线，曲线的形状依附于该特征多边形的形状。且特征多边形的第一条边线和最后一条
9、边线分别表示曲线在第一个顶点和最后一个顶点的切线方向5.2 Bezier、 B样条曲线的生成吴田援保鼓奥炊驮冉泉贮证疚肮赵肮嘘垂侩囤弦祥迫勾哺悔裹天歪律店斥Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v Bezier曲线分为开放型和封闭型两类： 首尾控制点不想同为 开放型 ，首尾控制点想同为 封闭型 。如下图所示： 封闭型 Bezier曲线开放型 Bezier曲线图 Bezier曲线的类型5.2 Bezier、 B样条曲线的生成捐趴赐俄叠忌恫鸣闺粪浩帮簿拟煎垄俩快姻迟惩路驶烧敢仿侨咙弯红胀萌Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v(1) Bezier曲线的定义v Bezi
10、er曲线是由一组折线来定义的，且第一点和最后一点在曲线上，第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处的切线方向。 Bezier曲线通常由特征多边形的 n+1个顶点定义一个 n次多项式，即给定空间 n+1个点的位置矢量 Pi（ i=0， 1， 2， ， n），则 Bezier参数曲线上各点坐标的参数方程式 (插值公式 )是： 其中参数 t的取值范围为 0,1,i是有序集 0n中的一个整数值，表示顶点顺序号。 n是多项式次数，也是曲线次数。5.2 Bezier、 B样条曲线的生成偶皑相部素入贞峨它渺奴愧嗜舶始授驻堂涸我买省休柄盘袋轴尤誉烂撒势Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲
11、线v 通常由 n+1个顶点确定的曲线为 n次曲线。在上述式中， Pi 是特征多边形第 i个顶点的坐标 （ xi,yi） , 是伯恩斯坦（ Bernstein）多项式，称为 n次 Bernstein基函数 ，定义如下： 其中：5.2 Bezier、 B样条曲线的生成政恤察漠耕洁燎发揩瘸粪山都没雌栽饭差旬渔拯巍酱资锨中煌腹拘完挤绊Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 性质 1： 正性 v (2)Betnstein基函数的性质 v 性质 2：端点性质 v 性质 3：权性 v Pr :由二项式定理可知： 5.2 Bezier、 B样条曲线的生成搽貌侥陡阁捍攒助迹娩狼轰表吕阔零助衷碗等
12、逛磺涪句抨禄谓寇盆狄燥血Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 性质 4： 对称性 v 性质 5：递推性 即高一次的 Betnstein基函数可以由两个低一次 Betnstein调和函数线性组合而成。5.2 Bezier、 B样条曲线的生成琳蝴饲秆鸳免叼模络羡莎州凭包少钠冶洲闻碑迄酷砚尼公帛倍录融缆糠医Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 性质 6：导函数 因为将 对参数 t求导得：5.2 Bezier、 B样条曲线的生成浓漾玉户梯测魏旭欣陀琶据踢箔邹涂波佃艺吓选疗惰睦显痞睦媳瘫沟袭尝Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 性质 7：最大值 v
13、 在 处达到最大值 v 性质 8：积分 5.2 Bezier、 B样条曲线的生成藻赦郸锥爬萄喳名典绞滇墟畸扁阶轻丈蒙殿告平疟裙鸿坦波熊拥贼堪凹喳Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v (3) Bezier曲线的性质 v 性质 1：端点及端点切线 1.Bezier曲线的起点和终点分别是特征多边形的第一个顶点和最后一个顶点。由式子 可得出 Bezier曲线两端点的值这说明， Bezier曲线必须通过特征多边形的起点和终点5.2 Bezier、 B样条曲线的生成廷俏陇芽馁语遁搐毯拽难蛹苹姆隶毯恐蕾书晦羚拼违不温羚硷路导毡咆犹Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 2.
14、Bezier曲线在起点和终点处的切线分别是特征多边形的第一条边和最后一条边，且切矢的模长分别为相应边长的 n倍。由 Bezier基函数的 导函数性质 可知，对 求导可得：于是在起始点， 其余项均为 0，故有5.2 Bezier、 B样条曲线的生成于霖秆均拙社锗判狗搂赛终床旅熏碉耀疆人补孜嘻封凰紊栈达姻审盲薄瘩Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线在终止点， 其余项均为 0，故有例如：如下图所示，对于四次 Bezier曲线， n=4有1.Bezier曲线的起点和终点分别是特征多边形的第一个顶点和最后一个顶点2.Bezier曲线在起点和终点处的切线分别是特征多边形的第一条边和最后一条
15、边，且切矢的模长分别为相应边长的 n倍。5.2 Bezier、 B样条曲线的生成疙燥厩娱返畅贰厩樱惹佛蹋骨缅郑庚厉文咸沉疟歹烷梯魔耽酷寺大蛆辕习Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 性质 2：对称性v 假如保持 n次 Bezier曲线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为 i的点改为下标为 n-i的点，则此时曲线仍不变，只不过是曲线的走向相反而已如下图所示。5.2 Bezier、 B样条曲线的生成蔼嘶过壬蘸摇晚煌恬个页卿骨瑚爷聊均暂成酪落倡朽燃全功蒸混狞鳖题崎Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 这一性质证明如下。由伯恩撕坦多项式可以导出：记次序颠倒以
16、后的顶点为 ，则有此时，由控制顶点 ，构造出新的 Bezier曲线为 ，则这个性质说明 Bezier曲线在起点和终点处具有相同的几何性质。 5.2 Bezier、 B样条曲线的生成严伸攒亢箩炉次又旋艰阅廖湿但孔需犊嚎膘奎厅裙镰耍餐板侩姨帛俄煤因Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 性质 3：凸包性v 由 Bezier基函数的 权性质 可知 ，且 ，这一结果说明当 t在区间 0,1变化时，对某一个 t值，P(t)是特征多边行各项顶点 Pi的加权平均，权因子依次是 。v 在几何图形上，意味着 Bezier曲线 P(t)在 t属于 0,1中各点是控制点 Pi的凸线性组合，即曲线落在
17、 Pi构成的凸包之中，如下图所示 。（ 1） Bezier曲线凸包性 注：也就是说，当特征多边行为凸时， Bezier曲线也是凸的；当特征多边行有凸有凹时，其曲线的凸凹形状与之对应，且在其凸包范围内。5.2 Bezier、 B样条曲线的生成意诅缸蘑攘冰媳毖阔摈譬磕蚂呼芍檬存挎鄂邢帧矗亡梭窜滥国魂假记架茎Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线（ 2） Bezier曲线凸包性 v 性质 4：几何不变性v 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。由 Bezier曲线的定义知，曲线的形状和位置由其特征多边形的顶点 Pi (i=0,1,n ) 唯一确定，与坐标系的选取无关，这就是几何不
18、变性。 即： 5.2 Bezier、 B样条曲线的生成屹绚辖拘颊种致稍茨息丢腐邻涝瞧毒扫动草稠乎赤揍宣珠基衣娱酷遣翌挣Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 由 Bezier曲线的定义v (4) 几个低次 Bezier曲线 v 1）一次 Bezier曲线v 当 n=1时为一次 Bezier曲线，此时 P(t)为一次多项式，有两个控制点，则我们可以推出一次、二次以及三次 Bezier曲线的数学表达式，工程上应用较多的是三次 Bezier曲线。下面依次讨论：5.2 Bezier、 B样条曲线的生成注：这表明一次 Bezier曲线是连接起点 P0和 终点 P1的直线段。哭蒸肺猛畸魏坝
19、蜂咸庆捶禄放文蝉帐直豢削挝豁婶勤勿捏壳宫袭忿遂酞琅Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 这表明 二次 Bezier曲线是一段抛物线 ，其矩阵形式为：v 2）二次 Bezier曲线v 当 n=2时为二次 Bezier曲线，此时 P(t)为二次多项式，有三个控制点，则5.2 Bezier、 B样条曲线的生成熬火柜阵霜募侵俗慎冶囊佛慨淡耕纬抗壹荐沁招坍认欺肢峨狗蚁此芦挽叔Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 3）三次 Bezier曲线v 当 n=3时为三次 Bezier曲线，此时 P(t)为三次多项式，有四个控制点，由于三次 Bezier曲线是用 3根折线定义的
20、3阶曲线，则有：5.2 Bezier、 B样条曲线的生成娇永唐哄酱耿笑刽切丢宵织棵否挛债瑶屑鹊灾咽拢榜甩钢牡烧章炬掷盖火Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线用矩阵表示为：5.2 Bezier、 B样条曲线的生成憨鹅国幻秦郝镍兑尸婶咒没菜则鹤臼囤析缩泻喊丧甲焉侨湿闻釉囚碗叭尝Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 在上式中，可以看出：v 4-2式称为三次 Bezier曲线的调和函数，构成如下图所示的 4条曲线。5.2 Bezier、 B样条曲线的生成鬼扶斗验济褥乘滋认火愿岁檀茧叮桂糙形盔毫酋掀惟庐苑队捣逮登符豫燃Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 这 4条曲线均为三次曲线，形成 Bezier曲线的一组基。任何三次 Bezier曲线都是这 4条曲线的线性组合。5.2 Bezier、 B样条曲线的生成磋臀上粹锅骸禄败捅峪忆填庙近图酪恍弧君那低即肢膨勒哥多疗蝉钻冬著Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线v 例如： 10次 Bezier曲线的调和函数如下，构成如下图所示的 11条曲线。5.2 Bezier、 B样条曲线的生成逆帖座鸿释夏老遗煌票侧聚搀仗纵骸拿硕乐胰惶翅应子必培脐茵咯蝇表牺Bezier曲线B样条曲线Bezier曲线B样条曲线
