1、 1 / 13高考第一轮复习数列知识精讲 知识精讲一、等差数列与前 n 项和1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示数学语言表达式： an1 an d(nN *)， d 为常数2等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an a1( n1) d.若等差数列 an的第 m 项为 am，则其第 n 项 an可以表示为 an am( n m)d.(2)等差数列的前 n 项和公式Sn na1 d.(其中 nN *， a1为
2、首项， d 为公差， an为第 n 项)n a1 an2 n n 123等差数列及前 n 项和的性质(1)若 a， A， b 成等差数列，则 A 叫做 a， b 的等差中项，且 A .a b2(2)若 an为等差数列，当 m n p q， am an ap aq(m， n， p， qN *)(3)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak2 m，( k， mN *)是公差为 md 的等差数列(4)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m，也是等差数列(5)S2n1 (2 n1) an.(6)若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 ；nd2若 n 为奇数，则 S 奇 S 偶 a
3、 中 (中间项)4等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系等差数列 一次函数解析式 an kn b(nN *) f(x) kx b(k0)不同点定义域为 N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)， k 为公差定义域为 R，图象是一条直线， k 为斜率相同点 数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数 k0 时，数2 / 13列 an kn b(nN *)图象所表示的点均匀分布在函数 f(x) kx b(k0)的图象上； k0 时，数列为递增数列，函数为增函数； k0 时，数列为递减数列，函数为减函数(2)等差数列前 n 项和公式可变形为 Sn n2 n，当 d0 时，它是
4、关于 n 的二次函数，它的图象d2 (a1 d2)是抛物线 y x2 x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点d2 (a1 d2)二、等比数列与前 n 项和1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q(q0)表示数学语言表达式： q(n2)， q 为常数anan 1(2)等比中项如果 a， G， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即： G 是 a 与 b 的等比中项 a， G， b 成等比数列 G2 ab.2等比数列的通项公式及前 n
5、 项和公式(1)若等比数列 an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an a1qn1 ；若等比数列 an的第 m 项为 am，公比是 q，则其第 n 项 an可以表示为 an amqn m.(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时， Sn na1；当 q1 时， Sn .a1 1 qn1 q a1 anq1 q3等比数列及前 n 项和的性质(1)若 an为等比数列，且 k l m n(k， l， m， nN *)，则 akal aman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， ak m， ak2 m，仍是等比数列，公比为 qm.(3)当 q1，或 q1 且 n 为
6、奇数时， Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为 qn.(4)若 an， bn(项数相同)是等比数列，则 a n( 0)， ， a ， anbn， 仍是等比数列1an 2n anbn三、数列求和1公式法(1)等差数列的前 n 项和公式：Sn na1 d.n a1 an2 n n 12(2)等比数列的前 n 项和公式：SnError!3 / 132数列求和的几种常用方法(1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其
7、和(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的(4)倒序相加法如果一个数列 an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的(5)并项求和法在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1) nf(n)类型，可采用两项合并求解例如， Sn100 299 298 297 22 21 2(100 299 2)(98 297 2)(2 21 2
8、)(10099)(9897)(21)5 050.3常见的拆项公式(1) ；1n n 1 1n 1n 1(2) ；1 2n 1 2n 1 12( 12n 1 12n 1)(3) .1n n 1 n 1 n四、数列的综合应用1等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首项 a1和公差 d，等比数列中最基本的量是其首项 a1和公比 q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的2数列和函数、不等式的综合(1)等差数列的通项公式和前 n 项和公式是在公差 d0 的情况下关于 n 的一次或二次函数(2)等比数列的通项公式和前 n 项和公式在公比
9、q1 的情况下是公比 q 的指数函数模型(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题3数列的应用题4 / 13(1)解决数列应用题的基本步骤是：根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论(2)数列应用题常见模型：等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；递
10、推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an与an1 的递推关系，或前 n 项和 Sn与 Sn1 之间的递推关系经典题型【例 1】 在等差数列 an中， a11， a33.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值【例 2】 若数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2 SnSn1 0( n2)， a1 .12(1)求证： 成等差数列；1Sn(2)求数列 an的通项公式5 / 13【例 3】 (1)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和， S84 a3， a72，则 a9( )A6 B4 C2 D2(
11、2)在等差数列 an中，前 m 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，则前 3m 项的和为_【例 4】 (2013济宁测试)设数列 an的前 n 项和为 Sn，若对于任意的正整数 n 都有 Sn2 an3 n，设bn an3.【例 5】已知等比数列 an满足：| a2 a3|10， a1a2a3125.(1)求数列 an的通项公式；(2)是否存在正整数 m，使得 1？若存在，求 m 的最小值；若不存在，说明理由1a1 1a2 1am6 / 13【例 6】 (1)(2012新课标全国卷)已知 an为等比数列， a4 a72， a5a68，则 a1 a10( )A7 B5 C5 D7(2)等
12、比数列 an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若 ，则公比 q_.S10S5 3132【例 7】 已知数列 an的通项公式是 an23 n1 (1) n(ln 2ln 3)(1) nnln 3，求其前 n 项和 Sn.【例 8】 (2014湖州质检)在等比数列 an中，已知 a13，公比 q1，等差数列 bn满足b1 a1， b4 a2， b13 a3.(1)求数列 an与 bn的通项公式；(2)记 cn(1) nbn an，求数列 cn的前 n 项和 Sn.7 / 13【例 9】 已知等差数列 an的公差不为零， a125，且 a1， a11， a13成等比数列(1)求 an的通项公式；
13、(2)求 a1 a4 a7 a3n2 .【例 10】 已知数列 an是公差为 2 的等差数列，它的前 n 项和为 Sn，且 a11， a31， a71 成等比数列(1)求 an的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和 Tn.1Sn8 / 13课堂测评1记 Sn为等差数列 an前 n 项和，若 1，则其公差 d( )S33 S22A. B2 C3 D4122在等差数列 an中， a5 a6 a715，那么 a3 a4 a9等于( )A21 B30 C35 D403在等差数列 an中，首项 a10，公差 d0，若 am a1 a2 a9，则 m 的值为( )A37 B36 C20 D194. (1
14、)已知 an是首项为 1 的等比数列， Sn是 an的前 n 项和，且 9S3 S6，则数列 的前 5 项和为1an_(2)设 an是由正数组成的等比数列， Sn为其前 n 项和已知 a2a41， S37，则 S5_.5. (1)已知 x， y， zR，若1， x， y， z，3 成等比数列，则 xyz 的值为 ( )A3 B3 C3 D33 3(2)(2014昆明模拟)在各项均为正数的等比数列 an中， a3 1， a5 1，则2 2a 2 a2a6 a3a7( )23A4 B6 C8 D84 25.已知点(1,2)是函数 f(x) ax(a0，且 a1)的图象上一点，数列 an的前 n 项
15、和 Sn f(n)1.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 an前 2 013 项中的第 3 项，第 6 项，第 3k 项删去，求数列 an前 2 013 项中剩余项的和6.正项数列 an的前 n 项和 Sn满足： S ( n2 n1) Sn( n2 n)0.2n(1)求数列 an的通项公式 an；(2)令 bn ，数列 bn的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 nN *，都有 Tn .n 1 n 2 2a2n 5649 / 137.已知数列 an的前 n 项和是 Sn，且 Sn an1( nN *)12(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog (1 Sn1 )(nN *)
16、，令 Tn ，求 Tn.13 1b1b2 1b2b3 1bnbn 18. 设数列 an满足 a12， a2 a48，且对任意 nN *，函数 f(x)( an an1 an2 )x an1 cos x an2 sin x 满足 f 0.( 2)(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.10 / 139.已知正项数列 an的首项 a11，前 n 项和 Sn满足 an (n2)Sn Sn 1(1)求证： 为等差数列，并求数列 an的通项公式；Sn(2)记数列 的前 n 项和为 Tn，若对任意的 nN *，不等式 4Tn a2 a 恒成立，求实数 a 的取值范
17、1anan 1围课后作业1在等差数列a n中，a 1533，a 2566，则 a35_.2已知等差数列a n的首项 a11，前三项之和 S39，则 an的通项 an_.3若等差数列a n的前 n 项和为 Sn(nN *)，若 a2a 3 52，则 S3S 5_.4在数列a n中，已知 a11，且 an1 2a n3n4(nN *)(1)求证：数列a n1 a n3是等比数列；(2)求数列a n的通项公式及前 n 项和 Sn.11 / 135已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a24，a 3a 417.(1)求a n的通项公式；(2)设 bn2a n2，证明数列 bn是等比数列并求
18、其前 n 项和 Tn.6.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S44S 2，a 2n2a n1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列b n的前 n 项和为 Tn，且 Tn ( 为常数) ，令 cnb 2n，(nN *)，求数列c n的前 n 项和an 12nRn.12 / 137.在数列a n中，a 12，a n1 3a n2.(1)记 bna n1，求证：数列 bn为等比数列；(2)求数列na n的前 n 项和 Sn.8.已知等比数列a n满足 2a1a 33a 2，且 a32 是 a2，a 4 的等差中项(1)求数列a n的通项公式；(2)若 bna nlog 2 ，S nb 1b 2b n，求使 Sn2 n1 470 成立的 n 的最小值1an13 / 13家长签名：
