1、4.4 声传播时声压与密度的变化规律 以声压表示的声波方程(摘自林达悃录音声学基础 ，中国广播电视出版社，2003)在前两节中，我们从运动学的角度，描述了质点振动位移等物理量随时间变化的规律，并简略地提到了声压、密度等在描述声波过程中的意义。本节将进一步从声波在媒质中传播的内在关系出发，探讨声压、密 度等的关系，并导出声波方程的另一种 形式声压随时间和空间变化的微分 形式。为了简化数学推导，仍然以平面波 为例进行分析。然后再推广到三维情况。4.4.1 运动方程的导出 声压 与质点振动速度的关系设有一沿正向传播的平面声波， 如图4.4.1 所示。现考虑媒质中某一微小 体积单元内的空气（可视为质点
2、）的运 动情况。若该体元的厚度为 x，其横截 面与声波的传播方向垂直，截面面积为 S，因此，该体元空气质点的质量 m 显然可用下式表示： )1.4(0xS由于声扰动，空气质点就要离开平衡位置产生振动。当空气质点向右运动时，右边的空气变密，声压相应变大；左边空气变稀，声压相应变小。换句话说，在这种情况下，体元右侧所承受的作用力 F2必然大于左侧所承受的作用力 F1。如果在 x 距离内，声压的增量为 p，则该体元所承受的合力应为 )2.4(21Sp上述合力的方向是使空气趋向平衡位置。根据牛顿第二定律，在此作用力作用下的空气质点就将获得一定加速度 ，它与作用力之间有以下关系： )3.4(21mF亦即
3、 SpxS0由此可得 )4.(0x(4.4.4)式的物理意义是：单位体积内空气质点的质量所获得的加速度与单位距离内的声压增量成正比，但方向相反。单位距离内的声压增量(4.4.4)式的右边反映了声压随距离变化的快慢程度，称为压力梯度。当 x 趋向于零时， p /x 趋向于 关于 x 的偏导数，即声波传播方向F2F1xxx图 4.4.1 在声波作用下体元 V 所受到的作用力（当 x 0 时 ）px因为加速度 是速度 v 对时间的导数，因此，(4.4.4)式可以写成以下形式： )5.4(0xt这是以微分形式表示的媒质质点的运动过程，通常称为运动方程。它把质点的振动速度与声压联系起来了：知道了声压随距
4、离的变化情况，就可以求出质点运动的速度随时间的变化情况。换句话说，只要知道了声压随距离的变化情况，就可以求得质点振动的加速度，反之亦然。例如，对于平面声波而言，以质点振动位移表示的波动方程是 )(sincxtA由此可以求得振动的速度与加速度分别为 )6.4()(costtv )7.()(in22cxtAt将(4.4.7)式代入(4.4.5)式，有 )8.4()(si20cxtxp将(4.4.8)式中的 t 看成常数，并对其关于 x 积分一次，得 )9.()(cos0CtAp式中 C 为积分常数。因为当 A = 0，即声波不存在时， p = 0,因此C = 0这样，(4.4.9)式就可以改写成
5、)9.4()(cos0 axtp(4.4.9a)式若以 v 表示，则有 )10.(0v(4.4.10)式是声压与质点振动速度之间的基本关系，是一个十分重要的公式。它表明，在平面声波中，声压与振速成正比，并且相位相同。乘积 0c 称为质点的特性阻抗。它是表征媒质传播波动特性的重要物理量。4.4.2 连续性方程的导出 密度（随时间的变化）与振速的关系与声压类似，在声波传播过程中，媒质的密度也随时间与空间的变化而变化。我们仍然以平面声波为例进行讨论。试考虑如图 4.4.2 所示的微 小体元。设想这一体元的表面在空间中固 定不动，而允许空气质点自由出入。如果 左边的空气密度为 1,速度为 v1, 右边
6、的 空气密度与速度分别为 2、 v2 ,那么， 在 t 时间内，从左边流入该体元的空气 质量为,从右边流出的该体元tvS1 的空气质量为 ，因此，在该体2 元内的空气净增量应为 )1.4()(21t若从总体效果上看，设该体元内的密度增量为 , 则其质量的增量应为 )12.4(xS根据质量守恒定律，(4.4.11)式与(4.4.12)式应当相等，因此， tSv)(21经过简单整理可得 )3.4()(xvt与前面的讨论一样，当 t 0 时，(4.4.13)式也可以写成微分形式： )1.()(xvt(4.4.14)式的物理意义是：单位时间内空气密度的增加（即密度的增加率）与单位距离内空气质量流的变化
7、相等，但方向相反。后者反映了由于声扰动，空气中形成“稠密”与“稀疏”的状况。如果考虑的小振幅声波（这在一般情况下都成立） ，略去高阶微量，则(4.4.14)式可以改写成 )15.4(0xvt式中 0 为平衡态时的空气密度， = - 0 为密度的变化量。 (4.4.15)式通常称为连续性方程。所谓“连续性”指的是空气质量既不会突然增加，也不会突然消失。当流进体元的空气多于流出的空气( 为负)时，空气“稠密”起来，这一部分的空气密度就增大；xv反之，如果流进体元的空气少于流出体元的空气( 为正)时，空气就“稀疏”起来，这xv时该部分的空气密度就将减小。连续性方程把空气密度与振速联系起来了。同样地，
8、知道了其中的一个，就可以通过(4.4.15)式求出另一个。例如，对于沿 x 轴正向传播的平面声波而言，已知振速 )(cosxtAv把 t 看成常数，对 x 微分一次，有声波传播方向xv22Sxxv11x图 4.4.2 有声波时，体元 V 内的质量增量)16.4()sin(2cxtcAxv将(4.4.16)式代入(4.4.15)式，则有 )7.()(si20cxtct再把 x 看成常数，对 t 积分一次，可得 )18.4()(os0CcxtcA 式中 t 为积分常数。当声波不存在时， A = 0， = 0，可见，积分常数 C = 0。这样，(4.4.18)式可以写成以下形式： )18.4()(c
9、os0 axt若以振速表示，则(4.4.18 a)式具有以下形式： )9.(0cv4.4.3 物态方程 空气中声速的计算现在我们进一步考虑有声波存在时，媒质的压力与密度之间的关系。诚然，我们仍然考察媒质中的某一体元。毫无疑义，在没有声扰动时，媒质中的某一体元应处于平衡状态。这时，压强就是大气压强 P0，密度就是在大气压强下的空气密度 0。在声波传播过程中，体元内的压强与密度就要发生变化。由于声振动过程进行的如此迅速，以致于来不及与周围的媒质进行热交换，即声过程可以认为是绝热过程的。对于理想气体而言，决热压缩或膨胀服从泊松方程式 )20.4(CPV式中 C 为常数，它是由气体性质所确定的物理常数
10、。而密度 与体积 V 成反比，因此，从(4.4.20)式可得 )21.4()(00Pp式中 P0为大气压强， 为定压比热与定容比热之比值。对于空气， = 1.40。将(4.4.21)式对时间求一阶偏微分，得 )2.4(1100ttp同样地，在小振幅的情况下， 0，这样，(4.4.22)式可以改写成以下形式： )3.(0tPt(4.4.23)式通常称为物态方程。式中 为一常数，而且必须是正值，其量纲0P23221秒厘 米厘 米克 厘 米秒 厘 米克 从这一量纲可以看出，它与速度平方的量纲相同，为此令 )24.(02Pc由此可以得出气体中的声速 )5.(0c若以绝对温度表示，则(4.4.25)式可
11、以改写成 )26.4(RTc此处 为气体克分子量， R 为普适常数。若采用米千克秒( MKS )制， R = 8.31 焦耳/克分子度。对于空气而言， 千克/克分子，因此，声速3108.2(C ) (4.4.27)tc6.式中 t 为摄氏温度。例如，当 t = 15C 时，声速 c 340 米/秒。(4.4.27)式在 C t C 范围内是足够准确的。4.4.4 波动方程的导出从运动方程、连续方程和物态方程可以消去 p、 v、 三个变量中的任意两个，从而建立起某一参量随时间与空间变化的关系式，这就是波动方程的微分形式。诚然，声压 p 是实际中最常用的声学参量，因此，求出以声压表示的波动方程是必
12、要的。将(4.4.23)式代入(4.4.15)式，有 )28.4(20tpxvc然后再对 t 求偏微分，即 )9.(220txvc将(4.4.5)式对 x 求一次偏微分后代入(4.4.29)式，最后可得 )30.4(122tpc(4.4.30)式就是在均匀理想媒质中小振幅声波的波动方程。它在声学中具有十分重要的意义。在以上的讨论中，我们始终假定声场在个向是均匀的，从而得出了一维的声波方程。事实上，在许多情况下， x、 y、 z 三个方向的声场并不一定是均匀的。这时声压不仅随时间的变化而变化，而且还随着空间位置的不同而不同。这时就要用三维的波动方程表示。其推导方法与一维情况完全类似，只不过这时的
13、空间变量除 x 外，还应包括 y、 z。不难看出，在一维波动方程的(4.4.30)式中，与空间坐标有关的仅仅是方程的左边。为了简便期间，我们直接推论，若以拉普拉斯算符 22zyx取代 ，就可以很容易地得到三维情况下的声波方程：2x )31.4(122tpc这就是极其重要的声波方程的普遍形式。它对于解决具体的声学问题具有非常重要的指导意义。但是，无论是一维的声波方程还是三维的声波方程，都没有考虑声源初始情况和边界的实际状况，因此，它们描述的是媒质中声现象的共同规律。对于具体的实际问题，必须结合具体问题的声源和边界状况求解。从数学上讲，就是还应列出初始条件和边界条件，才可能得出解决具体实际问题的结
14、果。习题二1设有一点声源以 500 赫的频率、10 瓦的声功率将球面波辐射到自由空间中去。试求距声源径向 1 米处的（1）声强度；（2）声压；（3）质点振速；（4）质点位移；（5）声能密度；（6）声压级。2试问夏天（气温高达 40C）空气中的声速比冬天（气温为 0C）高多少？如果平面声波的声压保持不变，媒质的密度也近似地认为不变，试求在上述两种情况下声强的变化率及声强级之差。3如果两列声脉冲到达人耳的间隔在 1/20 秒以上，听觉就可以辨认出来。试问：发音人至少离一垛高墙多远才能听到自己发声的回声？4在 20C 的空气中有一平面声波，若已知其声压级为 74 分贝，试求其有效声压及声强。5已知在
15、 20C 时空气和水的特性阻抗分别为 415 瑞利和 1.48106瑞利，试求：（1）当平面声波由空气垂直入射到水面上时反射声压的大小及声透射系数；（2）如由水入射到空气时，相应值又是多少？6设有不同频率的两列平面声波，它们可分别表示为和)cos(111xktpA )cos(2212xktpA式中初相位均为常数。试求它们合成声场的平均声能密度。7试计算入射波与反射波振幅相等的平面驻波场中的平均声能密度。8若某录音现场的本底噪声声压级为 40 分贝。现已知某声源在接收点上产生的声压级为 70 分贝。试求置于该点上的传声器将接收到的总声压级是多少？如果本底噪声高达70 分贝，那么总声压级又是多少？
16、9在某录音室中有几件乐器同时演奏。假定每一乐器在接收点产生的声压级均为 Li分贝，试问这几件乐器产生的总声压级是多少？10如果某录音室的本底噪声级比信号的声压级低 n 分贝，证明因本底噪声的存在而使接收到的信号所受的影响（这种影响用本底噪声加信号总声压级比信号的声压级高出的分贝数表示）为 )(10(log分 贝nL习题四1 若已知某倍频程的上、下限频率分别为 88 赫和 44 赫，试求：（1）频带宽度；（2）中心频率；（3）倍频程数。2若已知某倍频程的上、下限频率分别为 4467 赫和 3548 赫，试求：（1）频带宽度；（2）中心频率；（3）倍频程数。3从一小声源发出频率为 125 赫的球面波。求距声源径向距离 1 米处的声压和质点振动速度的相角是多少？并求这一点的声阻抗率的幅值。4从一小声源发出一球面波，已知在 1 米处测得的声强级为 80 分贝，试求此声源的声功率。5若已知两个不相干声源在某点的声压级分别为 80 分贝和 85 分贝，试分别按声压级的定义和借用增值 L 和级差 L1 L2的关系表计算起总声压级。6 VU 表（音量单位表）及 PPM（峰值节目表）的特点是什么？在使用中应注意什么问题？
