1、1第二章 概率 总结1、知识结构2、知识点1.随机试验的特点:试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果2.分类 随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 、 等表示。 ）离散型随机变量 在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量 X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量连续型随机变量对于随机变量可能取的
2、值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.随机变量条件概率 事件的独立性正态分布超几何分布二项分布数学期望方差离散型随机变量的数字特征离散型随机变量连续性随机变量Comment x1: 设离散型随机变量Comment x2: 交代题中所隐含的信息Comment x3: 答题即写出分布列23.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量 X可能取的值为x1,x2, ,xi , ,xnX取每一个值 xi(i=1,2, ）的概率 P(=x i） Pi，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列性质： pi0, i =1，2， ； p
3、1 + p2 +pn= 1 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1分，不中得 0分，已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量 X表示“每次罚球得的分值” ， 依题可知，X 可能的取值为：1,0且 P（X=1）=0.7，P（X=0 ）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量 X的分布列为：其中 0p1，q=1-p，则称离散型随机变量 X服从参数 p的二点分布 二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.Comm
4、ent x4: 舍随机变量且交代其服从 NMn的超几何分布Comment x5: 写出 x可能的取值Comment x6: 运用公式解题Comment x7: 答题3超几何分布一般地, 设总数为 N件的两类物品，其中一类有 M件，从所有物品中任取 n(nN)件,这 n件中所含这类物品件数 X是一个离散型随机变量，则它取值为 k时的概率为 ，其中 ,()(0,12,)knNCPm iM且 *,nMn 则称随机变量 X的分布列为超几何分布列,且称随机变量 X服从参数 N、M、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是 N、M、n，其意义分别是总体中的个体总
5、数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10个红球和 20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出 5个球.至少摸到 3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为 X,则 X服从超几何分布,其中 0,1,5NMnX可能的取值为 0，1，2，3，4, 5.由题目可知，至少摸到 3个红球的概率为0.191()()(4)(5)PP32415010022533CC答：中奖概率为 0.191.nN0nN1nNmMComment x8: 设事件Comment x9: 由题意计算出 P(AB)和 P(A)或者 P(B|A)和P(A
6、)Comment x10: 根据条件概率共识计算Comment x11: 答题4条件概率1.定义：对任意事件 A和事件 B，在已知事件 A发生的条件下事件 B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作 A发生的条件下 B的概率2.事件的交（积）:由事件 A和事件 B同时发生所构成的事件 D，称为事件 A与事件 B的交（或积） .记作 D=AB 或 D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把 A看作新的基本事件空间 ,求发生的概率:解题步骤：例题、10 个产品中有 7个正品、3 个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.解：设 A = 第一个取到次
7、品，B = 第二个取到次品 ，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为 2/9.0)(,)|(P下下| 下下/)(BP公式推导过程 .1|0)(|AP下下.15)(203CP.03)(AP5相互独立事件1.定义：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有如果事件 A1，A2，An 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A1A2An）=P （A1）P（A2）
8、 P(An)3.两事件是否互为独立事件的判断与证明4.解题步骤例题、一袋中有 2 个白球，2 个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取 2 个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件 A， “第二个取出的是白球”为事件 B，试问 A与 B 是不是相互独立事件？ 答：不是，因为件 A 发生时（即第一个取到白球） ，事件 B 的概率 P（B）=1/3 ，而当事件 A不发 生时（即第一个取到的是黑球） ，事件 B 发生的概率 P（B）=2/3，也就是说，事件 A 发生与否影响到事件 B 发生的概率，所以 A 与 B 不是相互独立事件。证明：由题可知，P(B|A) =1/3，P(B|A 的
9、补集)=2/3 因为 P(B|A)P(B|A 的补集) 所以 A 与 B 不是相互独立事件 说明（1）判断两事件 A、B 是否为相互独立事件，关键是看 A（或 B）发生与否对 B（或 A）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.（2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.（3）如果 A、B 是相互独立事件，则 A 的补集与 B 的补集、A 与 B 的补集、A 的补集与B 也都相互独立.则称 A，B 相互独立)()()( BAAB)()()(PP 说明（1）使用时，注意使用的前提条件；（2）此公式可作为判断事件是否相互独
10、立的理论依据，即 P(AB)=P(A) P(B)是 A、B 相互独立的充要条件.6独立重复试验1.定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2.说明：这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的每次试验是在同样条件下进行；每次试验间又是相互独立的，互不影响.前提二项分布1.引入:一般地，如果在 1 次实验中某事件 A 发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是P( )Pn(k)是(1-P)+Pn 的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.2.二项分布定义：设在 n 次独立重复试验中某个事件
11、 A 发生的次数， A 发生次数 是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，事件 A 不发生的概率为 q=1-p，那么在 n 次独立重复试验中 )(kPknkqC（其中 k=0,1, ,n，q=1-p ）于是可得随机变量 的概率分布如下：由于knkqpC恰好是二项展开式 bCabCabnrnrnnn 10)(中的第 k+1 项，所以，称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B(n，p) ，其中 n，p 为参数，并记：knkqp),;(pnBknknn ppCP)1()(nn011nqpknkqp0qpn73.解题步骤例题、某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%现从一批产品中任意地连
12、续取出 2 件，写出其中次品数 的概率分布解：依题意，随机变量 B(2，5%)P(=0)= (95%)2=0.9025，P( =1)= (5%)(95%)=0.095，P( =2)= (5%)2=0.0025因此，次品数 的概率分布是几何分布1.定义： 在独立重复试验中，某事件 A 第一次发生时所作的试验次数 也是一个取值为正整数的随机变量。 “ =k”表示在第 k 次独立重复试验时事件 A 第一次发生。如果把第 k 次实验时事件 A 发生记为 Ak， p( Ak)=p，事件 A 不发生记为 ，P( )=q(q=1-p)，那么pqpPAPkkk kK11132)( )()(（k=0,1,2,q
13、=1-p.）于是得到随机变量 的概率分布如下：称 服从几何分布，并记 g(k,p)=pqk-112C 001 2P 0.9025 0.095 0.0025 kA 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 8离散型随机变量的期望和方差一般地，若离散型随机变量 的概率分布为则称 Ex1p1x2p2xnpn 为 的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望是离散型随机变量说明：（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 （2）一般地，在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令p1=p2=pn，则有 p1=p2=pn = ，E=(x1+x2+xn) ，所以 的数学期望又
14、称为平均数、均值 （3）随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽取；后者是一个随机变量.D=（x 1-E )2P1+ （x 2-E) 2P2 + + （ xn-E) 2Pn + 叫随机变量 的均方差，简称方差。说明：、D 的算术平方根D 随机变量 的标准差，记作 ；、标准差与随机变量的单位相同；、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。集中分布的期望与方差一览期望 方差两点分布 E=p D=pq，q=1-p超几何分布 的 超 几 何 分 布服 从 参 数 为 n,MN NMnED（X）=np（1-p）* （N-n）/（N-1）不要求二项
15、分布 B（n,p） E=np D=qE=npq，q=1-p几何分布p(=k)=g(k，p) 1/p 2pqD=E(-E)2=E2（E ） 29正态分布 连续型随机变量若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线概率密度曲线的形状特征:中间高，两头低正态分布若概率密度曲线就是或近似地是函数),(,21)( 2)( xexf x的图像，其中解析式中的实数 、 )0是参数，分别表示总体的平均数与标准差则其分布叫正态分布，记作 f( x )的图象称为正态曲线 2,DE频率组距产品尺寸（mm）总体在区间 内取值的概率 ),(baa b概率密度曲线 N10=
