1、20062007 学年第二学期高等代数 A 期末试题考试时间 2007 年 6 月 28 日上午 8：00-10：00一、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 1设 V 为实数域上由矩阵 A 的全体实系数多项式组成的空间，其中，则 V 的维数是 ，其一组基为 1220,(3)Ai。2实二次型 的矩阵为 ，秩为 ，正惯性指1122(,)4xx数为 ，规范形为 3设三级方阵 的三个特征值为 1、2、2，矩阵 与 相似，则 的伴随矩ABAB阵 的三个特征值为 .*B4方程 的最小二乘解为 34,212X中。5在 中定义内积为 ，则 的长度是 4Rx1(,)()fgfxd21()3fx，若 ，则 。
2、()1g6数域 P 上 n 维线性空间 V 的全体线性变换所构成的线性空间 L(V)的维数为 .二、选择题（每题 4 分，共 24 分，题中只有一个选项正确）1若 A 为 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵。已知 n 维向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵 的属于特征值 的特征向量是 1TAP1 1() ) (B) (C) (DT TP 2设 A 是 n 阶非零矩阵，且 ，下列命题中正确的是 50(A) BA的 特 征 值 全 为 0； （ ） 可 对 角 化 ；CD不 可 逆 ； （ ） 只 有 线 性 无 关 的 特 征 向 量 。3设矩阵 ，其中 则 A 为 ab20,1
3、,ab(A)正定矩阵； （B）初等矩阵； （C）正交矩阵； （D）以上都不对。4设矩阵 A 与 B 相似，则必有 （A）A，B 同时可逆或不可逆； （B）A，B 有相同的特征向量；（C）A，B 均与同一个对角矩阵相似； （D）矩阵 与 相等。EB5设 A 为 n 阶实对称矩阵， B 为 n 阶可逆矩阵，Q 为 n 阶正交矩阵，则矩阵 与 A 有相同的特征值。 1 11() )T TQAB ； （ ） (；C .B； （ ）6设 A 为实对称矩阵。下列结论中有一条是错误的，错误的结论是 (A)若行列式 则 A 正定； (B)若 存在且正定，则 A 正定；0,1(C)若 A 的特征值全大于 0，则
4、 A 正定；(D)若 A 合同于单位矩阵，则 A 正定。三.计算 1、(10 分)在线性空间 中， 2P23123010012,0 1AABB1）求 的维数与一组基.123123(,)(,)LLB2）求 的维数与一组基.2设 。求一非退化的线性12314234()fxxxx替换，化该二次型为规范形，并指出该二次型的正惯性指数，负惯性指数和符号差 （10 分）3 （12 分）判断矩阵 A 是否可对角化？若可对角化，求一个正交矩阵 T，使 化成对角矩阵.其中TA02434 （10 分）设 ， 求 。14203AkA四、证明题（10 分）设 及 为 维欧氏空间 的两组基，且前者为标准正12,n 12,n V交基。 又 。证明： 是标准12()(,)nA 12,n正交基的充分与必要条件是， 为正交矩阵。
