1、排列、组合、二项式定理1掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题2理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题3理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些应用问题4掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目
2、较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现 第 1课时 两个计数原理知识网络考纲导读高考导航组合排列组合二项式定理两个计数原理排列排列概念排列数公式组合概念组合数公式组合数性质应用通项公式二项式定理 二项式系数性质应用1分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同
3、的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N 种不同的方法2分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N 种不同的方法3解题方法：枚举法、插空法、隔板法例1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数
4、理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）485052150 种 （2）485052124800 种 （3） 4150C （4） 4150A变式训练 1：在直角坐标 xoy 平面上，平行直线 x=n， （n=0，1，2，3，4，5） ，y=n， （n=0，1，2，3，4，5） ，组成的图形中，矩形共有（ ）A、25 个 B、36 个 C、100 个 D、225 个解：在垂直于 x 轴的 6 条直线中任意取 2 条，在垂直于 y 轴的 6 条直线中任意取 2 条，这样的 4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有 5126个， 故选 D。例2. (1) 将5封信
5、投入6个信箱，有多少种不同的投法？(2) 设I1,2,3,4,5,6，A与B都是I的子集，AB1,3,5，则称(A,B)为理想配，所有理想配共有多少种？(3) 随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0)解：（1）6 5 （2）27 （3）电话号码首位不为 0：910 7910 68.110 7变式训练 2：一个圆分成 6 个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑 6 种颜色。请问：6 个小扇形分别着上 6 种颜色有多少种不同的着色方法?从这 6 种颜色中任选 5 种着色,但相邻两个扇形不能着相同的
6、颜色, 则有多少种不同的着色方法?典型例题基础过关解：6 个小扇形分别着上 6 种不同的颜色,共有 7206A种着色方法.6 个扇形从 6 种颜色中任选 5 种着色共有 562C种不同的方法;其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有 6AC;因此满足条件的着色方法共有48056562AC种着色方法.例 3. 如图 A，B，C，D 为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）DAA、8 种 B、12 种 C、16 种 D、20 种B C解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有 14=4 种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：ABCD，DCBA
7、，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有 124种方法；根据分类计数原理知道共有 4+12=16 种方法变式训练 3：某公司招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案解：用分步计数原理先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2(33)336 种例 4. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ）
8、A、26 B、24 C、20 D、193 5 12B 4 6 A 6 7 6 128 解：要完成的这件事是：“从 A 向 B 传递信息” ，完成这件事有 4 类办法：第一类：12 5 3第二类 ： 12 6 4第三类 ：12 6 7 第四类；：12 8 6可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是 3；第二类单位时间传递的最大信息量是 4； 第三类单位时间传递的最大信息量是 6；第四类单位时间传递的最大信息量是 6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选 D变式训练 4：7 个相同的小球，任意放入 4 个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？解：首先要清楚：“每个盒子都不空
9、”的含义是“每个盒子里至少有 1 个球” 。于是，我们采用“隔板法”来解决。在 7 个小球中的每两个之间分别有 6 个空，我们从 6个空中任意选 3 个分别插入 3 块隔板，则这 3 块隔板就把 7 个小球分成 4 部分，而且每一部分至少有 1 个球。即有 C6=20 种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有 20 种放球放法。注；（1）本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。（2）隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用.两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个
10、步骤全部做完后，整件事情才算完成第 2课时 排 列1一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素” ；二是“按照一定顺序排列” 因此当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列2从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个为不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn表示排列数公式 Amn 这里 mn，其中等式的右边是 个连续的自然数相乘，最大的是 ，最小的是 3n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素
11、的一个全排列，全排列数用 Ann表示，它等于自然数从 1 到 n 的连乘积，自然数从 1 到 n 的连乘积叫做 n 的阶乘，用 表示4解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法基础过关5排列问题常用框图来处理例 1、(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？(2) 同一排 6 张编号 1，2，3，4，5，6 的电影票分给 4 人，每人至少 1 张，至多 2 张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？（3） （06 湖南理 14）某工程队有 6 项工程需要单独
12、完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行那么安排这 6 项工程的不同排法有多少种数？解：（1）分类：9 种（2）假设五个连续空位为一个整元素 a，单独一个空位为一个元素 b，另 4 人为四个元素c1、c 2、c 3、c 4问题化为 a,b,c1,c2,c3,c4的排列，条件是 a,b 不相邻，共有 25A48种；（3）将丙，丁看作一个元素，设想 5 个位置，只要其余 2 项工程选择好位置，剩下 3 个位置按甲、乙（两丁）中唯一的，故有 2A20 种变式训练 1：有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分, 将这
13、 9 个球排成一列有 _ 种不同的方法.解：9 个球排成一列有 9种排法,再除去 2 红、3 黄、4 白的顺序即可,故共有排法 12604329种。 答案:1260例 25 男 4 女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数(1) 甲站正中间的排法有 种，甲不站在正中间的排法有 种(2) 甲、乙相邻的排法有 种，甲乙丙三人在一起的排法有 种(3) 甲站在乙前的排法有 种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有 种丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有 种(4) 甲乙不站两头的排法有 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有 种(5) 5 名男生站在一起，4 名女生站在一起的排法有种(6)
14、 女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种(7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有 种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有 种典型例题(8) 甲乙丙三人至少有 1 人在两端的排法有 种(9) 甲乙之间有且只有 4 人的排法有 种解：(1)8！, 88！ (2) 28！,67！(3) 219！, 69A1, 6921(4) 27A7!8！777！(5) 25！4！(6) 5！ 46, 5！4！2(7) 9！28！227！, 36！ 27A2(8) 9！ 37A6！(9) 捆绑法2 4P4！ 也可用枚举法 247！ 变式训练 2：从包含甲的若干名同学中选出 4 人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛
15、，每名同学只能参加一种竞赛，且任 2 名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有 72 种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？解：5例 3. 在 4000 到 7000 之间有多少个四个数字均不相同的偶数 解：分两类类 5 在千位上：15 28A280类 4 或 6 在千位上：24 448故有 280448728 个变式训练 3：3 张卡片的正反面上分别有数字 0 和 1，3 和 4，5 和 6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6 可做 9 用）解：若 6 不能做 9 用，由于 0 不能排百位，此时有 54240 个这 40 个三位数中含数字 6 的有
16、 23214220 个，故 6 可做 9 用时，可得三位数 402060 个例 4. (1) 从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 4100 米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方法有多少种？(2) 一排长椅上共有 10 个座位，现有 4 人就坐，恰有 5 个连续空位的坐法有多少种？解：（1）先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有 5 35A300 种 60 对（2）假设五个连续空位为一个元素 A，B 为单独一个空位元素，另 4 个为元素C1，C 2，C 3，C 4间题转化为 A，B，C1，C 2，C 3，C 4排列，条件 A，B 不相邻，有 254A480种.变式训练 4：某地奥运火炬接力传递
17、路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种 （用数字作答） 解：96小结归纳1解排列应用问题首先必须认真分析题意看能否把问题归结为排队（即排列）问题，较简单的排列问题常用框图或树型来处理（注意也有个别问题不能用框图来处理 如不相邻问题等）2解有约束条件的排列问题的几种策略a. 特殊元素，特殊位置优先定位（也有个别例外情况，见例 1）b. 相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理c. 正难则反，等价转换3解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的各
18、种方法4由于排列问题的结果一般数目较大不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同第 3课时 组 合1一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合2排列与组合的共同点，就是都要“从 n 个不同元素中，任取 m个元素” ，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列” ，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组” 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号 Cmn表示组合数公式 cmn 在求具体的组合数时，常用上
19、面的公式，分子由连续 m个自然数之积，最大的数为 n，最小的数是 (1)，分母是 !，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式 cm ，它的分子是 !n，分母是 与 ()nm！ 的积3组合数性质： mnC 1mnn 1mnn 11123()mmnnnCC mrnrrr C00.基础过关例 1. 某培训班有学生 15 名，其中正副班长各一名，先选派 5 名学生参加某种课外活动.(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.(2) 如果班长和副班长有且只有 1 人在内有多少种派法.(3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法.(4) 如果班长和副班长至少有 1 人在内，有多少种派法.解；(1)
20、2C31286 (2) 2C431430 (3) 513C1287(4) 5 1716变式训练 1：从 4 名男生和 3 名女生中选 4 人参加某个座谈会，若这 4 个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有 （ ）A140 B120 C35 D34 解：D例 2. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1名女生,则选派方案共有( )A、108 种 B、186 种 C.216 种 D、270 种解：没有女生的选法有 34, 至少有 1 名女生的选法有 1347C种,所以选派方案总共有：31 A3=186 种。 故选 B.变式训练 2：从 5
21、位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这 3 位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）A210 种 B420 种 C630 种 D840 种解：B例 3. (1) 把 10 本相同的书分给编号 1,2,3 的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？(2) 以平行六面体 ABCDA1B1C1D21 的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面情况有多少种？(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯 15 只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮
22、灯时恰好有 6 只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？解：（1）先在编号为 1，2，3 的阅览室中依次放入 0，1，2 本书，再用隔板法分配剩下的书有 26C15 种， （2）平行六面体中能构成三角形个数 38C56 为任取两个有 256C种情况，典型例题其中共面的有 12 24C，因而不共面的有 256C12 24种 （3） 2858C变式训练 3：马路上有编号为 1， 2， 3， 410 的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_种.解：20 用插排法
23、，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有 6 个间隔，再将三盏不亮的灯插入其中的 3 个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有 203C种关灯方法例 4. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，(1) 在其中取 4 个共面的点，共有多少种不同的取法？(2) 在其中取 4 个不共面的点，共有多少种不同的取法解：(1)四个点共面的取法可分三类第一类：再同一个面上取，共有 4 6个面；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有 6 个面；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的 4 个中点，共有 23C3 个面故有 69 种(2) 用间接法共 6910C141 个面变式训练 4：在 1
24、， 2， 3100 这 100 个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法(1) 其和是 3 的倍数 (2) 其差是 3 的倍数(大数减小数). (3) 相加，共有多少个不同的和. (4) 相乘，使其积为 7 的倍数.解：(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)12951解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序” 需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题2要注意准确理解“有且仅有” “至多” “至少” “全是” “都不是” “不都是”等词语的确切含义3组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理
25、另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。4避免重复和遗漏第 4课时 排列组合综合题1解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插空法、 枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思基础过关小结归纳想、对应思想.2解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则(1)按元素性质进行分类(2)按事情发生的过程进行分步.3处理排列组合综合性问题时一般方法是先取(选)后排，但有时也可以边取(选)边排.4对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题.例 1. 五
26、个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；（3）甲、乙必须在两端；（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在两端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；（8）甲、乙相邻；（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻；（10）甲、乙、丙不全相邻解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有 A1种，再排其它 4 个位置有 A4种，所以共有： 1A4=24 种（2）甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数： 1 3=6 种（3）首先排两端有 2种，再排中间有 23种，所以甲、乙必须在两端排法种数为： 2 =12 种（4）甲不在排头
27、，并且乙不在排尾排法种数为： A52 4+ 3=78 种（5）因为两端位置符合条件的排法有 23种，中间位置符合条件的排法有 3种，所以甲、乙不在两端排法种数为 =36 种（6）因为甲、乙共有 2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为： 52！=60 种（7）因为甲、乙、丙共有 3！种顺序，典型例题所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为： A53！=20 种（8）把甲、乙看成一个人来排有 4种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为 A4 2=48 种（9）首先排甲、乙、丙外的两个有 2，从而产生 3 个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这 3 个空中的两个有 23，而甲、乙也存在顺序变化，所以
28、甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为 23 2=24 种（10）因为甲、乙、丙相邻有 A3 ，所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为 5 3 =84 种变式训练 1：某栋楼从二楼到三楼共 10 级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则不同的上楼方法有 （ ）A45 种 B36 种 C28 种 D25 种解：C. 8 步走 10 级，则其中有两步走两级，有 6 步走一级一步走两级记为 a，一步走一级记为 b，所求转化为 2 个 a 和 6 个 b 排成一排，有多少种排法故上楼的方法有C28 28 种；或用插排法例 2. (1) 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4
29、个远地区支教（每地 1 人） ，其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？(2) 5 名乒乓选手的球队中，有 2 名老队员和 3 名新队员，现从中选出 3 名队员排成1、2、3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有一名老队员，且 1、2 号中至少有 1名新队员的排法有多少种？解：（1）分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有 60425AC种（2）分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有 48321213AC种变式训练 2：某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是 （
30、 ）A504 B210 C336 D120 解：A 39504 故选 A 例 3. 已知直线 ax+by+c=0 中的系数 a，b，c 是从集合-3，-2，-1，0，1，2，3中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。设直线的倾斜角为 ，并且 为锐角。则 tan = a0,不妨设 ab,那么 b0当 c0 时,则 a 有 3 种取法,b 有 3 种取法,c 有 4 种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有 334=36 条当 c=0 时, a 有 3 种取法,b 有 3 种取法,
31、其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0 重合,所以这样的直线有 33-2=7 条故符合条件的直线有 7+36=43 条变式训练 3：将 5 名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有_种.解： 5C15024152CA 例 4. 从集合1，2，3，20中任选 3 个不同的数，使这 3 个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解：a，b，c N a，b，c 成等差数列 bca2 ca,要么同为奇数，要么同为偶数，故满足题设的等差数列共有 A210A 180(个)变式训练 4：某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场
32、得 1 分，负一场得0 分，一球 队打完 15 场，积 33 分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？解：设该队胜负平的情况是：胜 x 场，负 y 场，则平 15(xy)场，依题意有：153yxx9 。故有 3 种情况，即胜、负、平的场数是：9，0，6；10，2，3；11，4，01排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.2排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.3对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解. 第 5课时 二项式定理1(ab) n (nN)，这个
33、公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(ab) n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数式中的 叫做二项展开式的通基础过关小结归纳项，用 Tr1 表示，即通项公式 Tr1 是表示展开式的第 r1 项2二项式定理中，二项式系数的性质有： 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：012,.nnrnCCC 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当 n 是偶数时，n+1 是奇数，展开式共有 n+1 项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为 ；当 n 是奇数时，n+1 是偶数，展开式共有 n+1项，中
34、间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 二项式系数的和等于 ，即 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和 即 展开式中相邻两项的二项式系数的比是： 1:1knCk3二项式定理主要有以下应用近似计算解决有关整除或求余数问题用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法” ）注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 杨辉三角形例 1. (1) （06 湖南理 11）若(ax1) 5的展开式中 x3的系数是80，则实数 a 的值是 (2) （06 湖北文 8）在 243)1(x的展开式中，x 的幂指数是整数的有 项(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)
35、3+(1+x)6展开式中 x2项的系数为 解：（1）2 （2）5 项 （3）35变式训练 1：若多项式 )1()()00991012( xaa, 则a9( )A、9 B、10 C、9 D、10解：根据左边 x10的系数为 1,易知 10，左边 x9的系数为 0,右边 9的系数为9109, 9a 故选 D。 例 2. 已知 f(x)(1+x) m+(1+x)n，其中 m、nN 展开式中 x 的一次项系数为 11，问 m、n典型例题为何值时，含 x3项的系数取得最小值？最小值是多少？ 由题意 111nmCnm，则含 x3项的系数为 )2(163nCnm)2(68231)(90971nn，当 n5
36、或 6 时 x3系数取得最小值为 30变式训练 2：分已知 xi2的展开式中第三项与第五项的系数之比为 143,其中12i,则展开式中常数项是( )A、 45i B、 45i C、 45 D、45解析： 第三项,第五项的系数分别为 )(2in, 4in依据题意有： 143)(42in,整理得 052即解方程(n10)(n5)0则只有 n=10 适合题意.由 )(2201ixCTrrrn,当 2r 时,有 r=8,故常数项为 i210810)(=45 故选 D例 3. 若 ,.204224 Rxaxax求（ 10a）+（ 20）+（204a）解：对于式子： ,.)1( 20421024 Rxxx
37、令 x=0，便得到： 0a=1令 x=1，得到 20421.a=1又原式：（ 0）+（ 0）+（ 204a）= ).(3).(24 2042102421 aa 原式：（ 0）+（ 0）+（ 204） =2004注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系.变式训练 3：若 323012xaxa，则 22013a的值是 （ ）A 1B1 C0 D2解：A例 4. 已知二项式 nx)(2， （nN *）的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）第 5 项的系数与第 3 项的系
38、数的比是 10：1， 10)(24Cn，解得 n=8令 x=1 得到展开式中各项的系数和为(1-2) 8=1(2) 展开式中第 r 项, 第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为 rnrC218, r8,182r,若第 r+1 项的系数绝对值最大,则必须满足：rnrC18 r8 并且 182r r8，解得 5r6；所以系数最大的项为 T7=1792 1x；二项式系数最大的项为 T5=1120 61x变式训练 4：已知( 23)n的第 5 项的二项式系数与第三项的二项系数的比是 14:3，求展开式中不含 x 的项.求(x1)(x1) 2(x1) 3(x1) 4(x1) 5的展开式中 x2
39、项的系数.解： 21)1(nCnnC 21)1(nnn2)( n1)( 321211n 3211nn1注意(ab) n及(ab) n展开式中，通项公式分别为 1rnTCab及 1rnrrTCab这里 0r且展开式都有 n+1 项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题2二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关3应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展开式中各项的取舍4求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数的倍数加 1 或减 1通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧 小结归纳
