1、排列与组合 1一、特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先” ，有时“位置优先” 。例 1 0、2、3、4、5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含 0，0 在个位有 A42 种，0 在十位有 A21A31 种；第二类，不含 0，有 A21A32 种。故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。解法二：(位置优先)分两类：第一类，0 在个位有 A42 种；第二类，0 不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，
2、有 A21A31A31 种。故共有 A42+A21A31A31=30。练习 1 （89 年全国）由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有 个（用数字作答） 。答案：36二、排组混合，先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。例 2 (95 年全国)4 个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？解：由题意，必有一个盒内有 2 个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有 C42A43=144 种放法。练习 2 由数字 1，2，3，4，5，6，7 组成有 3 个奇数字，2
3、 个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个？答案：有 C43C32A55=1440（个）三、元素相邻，整体处理对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。例 3 5 个男生 3 个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把 3 个女生捆绑为一个整体再与其他 5 个男生全排列。同时，3 个女生自身也应全排列。由乘法原理共有 A66A33 种。练习 3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？答案：A4424=384四、元素间隔，分位插入对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。例 4 5 个男生 3 个女生排成一
4、列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？解：先排无限制条件的男生，女生插在 5 个男生之间的 4 个空隙，由乘法原理共有 A55A43 种。注意：必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；数清可插的位置数；插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。练习 4 4 男 4 女站成一行，男女相间的站法有多少种？答案：2A44A44例 5 马路上有编号为 1、2、3、9 的 9 盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于问题中有 6 盏亮 3 盏暗，又两端不可暗，故可在 6 盏亮的
5、5 个间隙中插入 3 个暗的即可，有 C53 种。练习 5 从 1、2、10 这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？答案：C83。五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例 6 5 人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？解法一：先 5 人全排有 A55 种，由于全排中有甲、乙的全排种数 A22，而这里只有 1 种是符合要求的，故要除以定序元素的全排A22 种，所以有 A55/A
6、22=60 种。解法二：先在 5 个位置中选 2 个位置放定序元素(甲、乙)有C52 种，再排列其它 3 人有 A33，由乘法原理得共有 C52A33=60 种。解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有 3 种方法，接着插入第二人有 4 种方法，最后插入第三人有 5 种方法。由乘法原理得共有 345=60 种。练习 6 要编制一张演出节目单，6 个舞蹈节目已排定顺序，要插入 5 个歌唱节目，则共有几种插入方法？答案：A1111/A66 或 C116A55=C115A55 或 7891011 种六、 “小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制
7、约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。例 7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？解：先从四名男歌手中选 2 人排入两女歌手之间进行“组团”有 A42A22 种，把这个“女男男女”小团体视为 1 人再与其余 2 男进行排列有 A33 种，由乘法原理，共有 A42A22A33 种。练习 7 6 人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？答案：A22A44七、不同元素进盒，先分堆再排列对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于 2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。例 8 5 个老师分配到 3
8、个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解：先把 5 位老师分 3 堆，有两类：3、1、1 分布有 C53 种和1、2、2 分布有 C51C42C22/A22 种，再排列到 3 个班里有 A33 种，故共有(C53+C51C42C22/A22)A33。注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入” 。练习 8 有 6 名同学，求下列情况下的分配方法数：分给数学组 3 人，物理组 2 人，化学组 1 人；分给数学组 2 人，物理组 2 人，化学组 2 人；分给数学、物理、化学这三个组，其中一组 3 人，一组 2 人，一组 1 人；平均分成
9、三组进行排球训练。答案：C63C32C11；C62C42C22；C63C32C11A33；C62C42C22/A33。八、相同元素进盒，用档板分隔例 9 10 张参观公园的门票分给 5 个班，每班至少 1 张，有几种选法？解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把 10 张票看成 10个相同的小球放入 5 个不同的盒内，每盒至少 1 球，可先把 10 球排成一列，再在其中 9 个间隔中选 4 个位置插入 4 块“档板”分成 5格(构成 5 个盒子)有 C94 种方法。注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。练习 9 从全校 10 个班中选 12 人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？
10、答案：C119九、两类元素的排列，用组合选位法例 10 10 级楼梯，要求 7 步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？解：由题意知，有 4 步跨单级，3 步跨两级，所以只要在 7 步中任意选 3 步跨两级即可。故有 C73 种跨法。注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。练习 10 3 面红旗 2 面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？答案：C52例 11 沿图中的网格线从顶点 A 到顶点 B，最短的路线有几条？ 解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有 C74 或 C73 种走法。例 12 从 5 个班中选 1
11、0 人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？解：这个问题与例 12 有区别，虽仍可看成 4 块“档板”将 10个球分成 5 格(构成 5 个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故 4 块“档板”与 10 个球一样也要参与排成一列而占位置，故有 C144 种选法。练习 11 (a+b+c+d)10 的展开式有几项？提示：因为每一项都是由 a,b,c,d 中的一个或多个相乘而得到的 10 次式，所以可以看成是 10 个球与 3 块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有 C133 项。注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。十、个数不少于盒子编
12、号数，先填满再分隔例 13 15 个相同的球放入编号为 1、2、3 的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？解：先用 6 个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把 9个球放入 3 个盒内即可,可用 2 块档板与 9 个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有 C112 种。十一、多类元素组合，分类取出。例 14 车间有 11 名工人，其中 4 名车工，5 名钳工，AB 二人能兼做车钳工。今需调 4 名车工和 4 名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？解：不同的调法按车工分为如下三类：第一类调 4 车工 4 钳工；第二类调 3 车工 4 钳工，从 AB 中调 1 人作车工；第二类调 2 车工 4钳工，把 AB 二人作为车工。故共有C44C74+C43C21C64+C42C22C54=185 种不同调法。注：本题也可按钳工分类。若按 A、B 分类，会使问题变得复杂
