1、高中数学 排列组合把 20 个完全相同的小球 分给甲乙丙丁 4 个人;每个人至少分得 2 个共有_ 种分法?每个人至少分得 3 个共有_种分法? 最佳答案第一问答案是 C15,3 就是 15 个中选择三个的意思,答案为 455。解释下为什么:甲+乙+丙+丁=20,其中每个都2 ,改写成下式:(甲-1)+ (乙-1)+(丙-1)+(丁-1)=20-4=16a +b +c +d = 16上式变形的目的是使所以加数的范围成为1现在就是说把 16 个完全相同的小球分给四个人,每个人至少一个。上问题的解决要用隔板法,在 16 个小球插入三个板子。16 个小球中间有 15 个空,插入 3 个板子,所以是
2、C15,3同理每个人至少分三个,就需要甲乙丙丁都减去 2,于是变为x+y+z+w=12所以是 C11,3 = 165复习内容:高中数学第十章-排列组合 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素可重复排列数 mm m = mn 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法?(解:种) 二、排列. 1. 对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(
3、mn)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. 排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号表示 . 排列数公式: 注意: 规定 0! = 1 2. 含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,.an 其中限重复数为n1、n2nk,且 n = n1+n2+nk , 则 S
4、 的排列个数等于. 例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数又例如:数字 5、5、5、求其排列个数?其排列个数. 三、组合. 1. 组合:从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合. 组合数公式: 两个公式: 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有一类是不
5、含红球的选法有) 根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素,所以有C,如果不取这一元素,则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素,所以共有 C 种,依分类原理有. 排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“ 排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系 . 几个常用组合数公式 常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:(利用) ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和
6、法. v. 递推法(即用递推)如:. vi. 构造二项式. 如: 证明:这里构造二项式其中的系数,左边为 ,而右边 四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: 直接法. 排除法. 捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部 ”的排列.它主要用于解决 “元素相邻问题” ,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列” ,而则是“局部排列”. 又例如有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 . 有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有. 有 n 件不同
7、商品,若其中有二件要排在一起有. 注:区别在于是确定的座位,有种;而的商品地位相同,是从 n 件不同商品任取的 2个,有不确定性. 插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题 ”. 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?(插空法) ,当 n m+1m, 即 m时有意义. 占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则 . 调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方
8、法是:先将 n 个元素进行全排列有种,个元素的全排列有种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定,共有种排列方法. 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 解法一:(逐步插空法) (m+1) (m+2 )n = n!/ m!;解法二:(比例分配法). 平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有. 例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有(平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将 200 名运
9、动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少? 注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有,当 n m+1 m, 即 m时有意义 . 隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如:的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板,把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为显然,故()是方程的一组解.反之,方程的任何一组解,对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.
10、 注意:若为非负数解的 x 个数,即用中等于,有,进而转化为求 a 的正整数解的个数为 . 定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内,并且都排在某 r 个指定位置则有. 例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法? 固定在某一位置上:;不在某一位置上:或(一类是不取出特殊元素 a,有,一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位置,然后再从 n-1 个元素中取 m-1,这与用插空法解决是一样的) 指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同
11、的元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都包含在内 。先 C 后 A 策略,排列;组合. ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都不包含在内。先 C 后 A 策略,排列;组合. 请以小学能听懂的话,讲解一下排列组合的公式RT,请顺便附上几道例题,满意答案+50 分 最佳答案公式 P 是指排列,从 N 个元素取 R 个进行排列(即排序)。 (P 是旧用法,现在教材上多用A,Arrangement)公式 C 是指组合,从 N 个元素取 R 个,不进行排列(即不排序)。例 1. 从 1、2、3、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这
12、样的不同等差数列有_个。 分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设 a,b,c 成等差, 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定, 又 2b 是偶数, a,c 同奇或同偶,即:从 1,3,5 ,19 或 2,4,6 ,8,20 这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,因而本题为 2=180。 例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道,街道之间的间距相同,如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从 M 到 N 有多少种不同的走法? 分析:对实际背景的分析可以逐层深入 (一)从 M 到 N 必须向上走三步,向右走五步,共
13、走八步。 (二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法。 (三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。 从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数, 本题答案为:=56 。 2注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合 例 3在一块并排的 10 垄田地中,选择二垄分别种植 A,B 两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不少于 6 垄,不同的选法共有_种。 分析:条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。 第一类:A 在第一垄
14、,B 有 3 种选择; 第二类:A 在第二垄,B 有 2 种选择; 第三类:A 在第三垄,B 有一种选择, 同理 A、B 位置互换 ,共 12 种。 例 4从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析:显然本题应分步解决。 (一)从 6 双中选出一双同色的手套,有 6 种方法; (二)从剩下的十只手套中任选一只,有 10 种方法。 (三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有 8 种方法; (四)由于选取与顺序无关,因而(二)(三)中的选法重复一次,因而共 240 种。 例 5身高互不相同的 6
15、个人排成 2 横行 3 纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为_。 分析:每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有=90 种。 例 6在 11 名工人中,有 5 人只能当钳工,4 人只能当车工,另外 2 人能当钳工也能当车工。现从 11 人中选出 4 人当钳工,4 人当车工,问共有多少种不同的选法 ? 分析:采用加法原理首先要做到分类不重不漏,如何做到这一点?分类的标准必须前后统一。 以两个全能的工人为分类的对象,考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。 第一类:这两个人都去当钳工,有种;
16、 第二类:这两人有一个去当钳工,有种; 第三类:这两人都不去当钳工,有种。 因而共有 185 种。 例 7现有印着 0,l,3,5,7,9 的六张卡片,如果允许 9 可以作 6 用,那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 分析:有同学认为只要把 0,l,3 ,5,7,9 的排法数乘以 2 即为所求,但实际上抽出的三个数中有 9 的话才可能用 6 替换,因而必须分类。 抽出的三数含 0,含 9,有种方法; 抽出的三数含 0 不含 9,有种方法; 抽出的三数含 9 不含 0,有种方法; 抽出的三数不含 9 也不含 0,有种方法。 又因为数字 9 可以当 6 用,因此共有 2(+)+=14
17、4 种方法。 例 8停车场划一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放,要求空车位连在一起,不同的停车方法是_种。 分析:把空车位看成一个元素,和 8 辆车共九个元素排列,因而共有种停车方法。 3特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑 例 9六人站成一排,求 (1)甲不在排头,乙不在排尾的排列数 (2)甲不在排头,乙不在排尾,且甲乙不相邻的排法数 分析:(1 )先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类。 第一类:乙在排头,有种站法。 第二类:乙不在排头,当然他也不能在排尾,有种站法, 共+种站法。 (2)第一类:甲在排尾,乙在排头,有种方法。 第二类:甲在排尾,乙不在排头,有种方法。 第三类:乙在排头,甲不在排头,有种方法。 第四类:甲不在排尾,乙不在排头,有种方法。 共+2+=312 种。 例 10对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试,至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能? 分析:本题意指第五次测试的产品一定是次品,并且是最后一个次品,因而第五次测试应算是特殊位置了,分步完成。 第一步:第五次测试的有种可能; 第二步:前四次有一件正品有中可能。 第三步:前四次有种可能。 共有种可能。28