1、1第十二章 机械振动和机械波知识网络：第 1 单元 机械振动一、基本概念1、机械振动物体（或物体一部分）在某一中心位置附近所做的往复运动2回复力：振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力，使物体返回平衡位置的力注意：恢复力不一定是物体所受的合力，例单摆回复力的意义是指向平衡位置方向上的合力恢复力是根据效果命名的3平衡位置：恢复力为零的位置，并非合外力为零的位置。例如单摆。4位移：是离开平衡位置的位移5简谐运动物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为： F= -kx F=-kx 是 判 断 一 个 振 动 是 不 是 简 谐 运 动 的
2、充 分 必 要 条 件 。 凡 是 简 谐 运 动 沿 振 动 方 向 的 合力 必 须 满 足 该 条 件 ； 反 之 ， 只 要 沿 振 动 方 向 的 合 力 满 足 该 条 件 ， 那 么 该 振 动 一 定 是 简 谐 运 动 。6振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱，无正负之分。7周期和频率：表示振动快慢的物理量。完成一次全振动所用的时间叫周期，单位时间内完成全振动次数叫频率，大小由系统本身的性质决定，所以叫固有周期和频率。任何简谐运动都有共同的周期公式： （其中 m 是振动物体的质量， k 是回复力系数，即简kT2谐运动的判定式 F= -kx 中的比例系数
3、，对于弹簧振子 k 就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了） 。二、典型的简谐运动1弹簧振子（1） 说明回复力、加速度、速度、动能和势能的变化规律（周期性和对称性）回复力指向平衡位置。位移从平衡位置开始。（2）周期 ，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。kmT2（3）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。k周期： gLT2机械振动 简谐运动 物理量：振幅、周期、频率运动规律 简谐运动图象阻尼振动 无阻尼振动 受力特点 回复力：F= - kx 弹簧振子：F= - kx单摆： xmF受迫振动 共振在介质中 的传播机械波形成和传播特点
4、类型 横波 纵波描述方法 波的图象波的公式： x=vtvT特性 声波，超声波及其应用波的叠加 干涉 衍射多普勒效应实例x2（4）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。证明：如图所示，设振子的平衡位置为 O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为 0x，根据胡克定律及平衡条件有 0mgkx当振子向下偏离平衡位置为 时，回复力（即合外力）为 0()Fgkx回将代人得： ，可见，重物振动时受力符合简谐运动的条件回【例 1】 如图所示，质量为 m 的小球放在劲度为 k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。 （1）最大振幅 A 是
5、多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力 Fm是多大？解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力， F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力， mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。（1）最大振幅应满足 kA=mg， A= kmg（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有： Fm-mg=mg， Fm=2mg【例 2】弹簧振子以 O 点为平衡
6、位置在 B、 C 两点之间做简谐运动 B、 C 相距 20 cm某时刻振子处于 B 点经过 0.5 s，振子首次到达 C 点求：（1）振动的周期和频率； （ f1Hz）（2）振子在 5 s 内通过的路程及位移大小；（10cm ）（3）振子在 B 点的加速度大小跟它距 O 点 4 cm 处 P 点的加速度大小的比值（5：2）【例 3】一弹簧振子做简谐运动周期为 T（ D ）A若 t 时刻和（ t+t ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则 t 一定等于T/2 的整数倍D若 t 时刻和（ t+t ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则 t 一定等于T 的整数倍C若 t T2，则在 t 时刻
7、和（ t t ）时刻弹簧的长度一定相等D若 t T，则在 t 时刻和（ t t ）时刻振子运动的加速度一定相同2单摆。在一不可伸长、忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆。单摆的特点： 单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; 单摆振动可看作简谐运动的 1 2条件：10。 单摆的等时性（伽利略） ，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振 3幅、摆球的质量等无关; 单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供 周期公式： （惠更斯）glT2半径方向： rvm2cos向心力改变速度方向 切线方向：回复力m g sin改变速度大小若 角很小，则有 sin tan x / L,而且回复力指向平
8、衡位置，与位移方向相反，所以对于回复力 F，有 k 是常数xLgx单摆周期公式的应用31、 测量当地的重力加速度测定重力加速度 g,g= （l 为等效摆长，是悬点24TL到球心的距离。 ）2、 摆钟（振动周期是 2 秒的单摆叫秒摆）3、惠更斯在 1656 年利用等时性发明了带摆的计时器（4）摆钟问题。单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数 n 与频率 f 成正比（ n 可以是分钟数，也可以是秒数、小时数） ，再由频率公式可以得到：lgf12(5)另：意大利的伽利略首先发现等时性，即在角度很小时，单摆的周期与
9、振幅无关。荷兰的惠更斯确立了单摆的周期公式，周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，跟振幅和摆球的质量无关例 4：三根长度相等都为 L 的细线一端系于 C 点，另两端固定于天花板上相距为L 的 A、B 两点，剩下的一端系一小球。当小球垂直于纸面振动时，其周期为 ；当小球左右摆动时，其周期为 ；答案： gg2)31(2回例 5：如图，长为 l 的轻绳一端系于固定点 O，另一端系质量为 m 的小球，将小球从 O 点正下方 l/4 处以一定的初速度水平向右抛出，经一定的时间，绳被拉直。以后小球将以 O 为圆心在竖直平面内摆动，已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成 600角。求：小球水平抛
10、出的初速度 V0小球摆到最低点时，拉力 T （答案： ；2mg） 23gl【例 6】 将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出下列判断： t02 s 时刻摆球正经过最低点； t11 s 时摆球正处于最高点；摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；摆球摆动的周期约是 T06 s。上述判断中正确的是 A B C D解析：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。因此正确。从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，
11、说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是 T12s。因此答案错误。本题应选 C。三、简谐运动的图象图象的描绘1、 描点2 实验模拟法振动图象的研究方法把实际振动和图象对应起来可以从图像中得到以下信息：直接读出振幅（注意单位）2.12.01.91.81.71.61.51.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4F/Nt/sBACxt4直接读出周期确定某一时刻物体的位移判定任一时刻运动物体的速度方向（最大位移处无方向）和加速度方向判定某一段时间内运动物体的速度、加速度、动能及势
12、能大小的变化情况计算一段时间内的路程： ATtS4振动图象的应用任何复杂的振动都可以看成是若干个简谐振动的合成【例 7】 劲度系数为 20Ncm 的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中 A 点对应的时刻（B ）A 振子所受的弹力大小为 05N，方向指向 x 轴的负方向B振子的速度方向指向 x 轴的正方向C 在 04s 内振子作了 175 次全振动D。在 04s 内振子通过的路程为 035cm，位移为 0【例 8】 摆长为 L 的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作 t=0） ，当振动至 时，摆球具有负向最大速gLt23度，则单摆的振动图象是图中的（ D ） 例 9如图所示，一块质量为
13、2 kg、涂有碳黑的玻璃板，在拉力 F 的作用下竖直向上做匀变速直线运动一个频率为 5 Hz 的振动方向为水平且固定的振针，在玻璃板上画出了如图所示的图线，量得 OA=1 cm， OB=4 cm， OC=9 cm求拉力 F 的大小 （不计一切摩擦阻力，取 g=10 m/s2） 解： OA=1 cm AB=3 cm BC=5 cm因为： TOA=TAB=TBC=T/2=0.1 s 根据: s=aT2a= =2 m/s2 F-mg=ma 得： F=mg+ma=24 N22ABCs四、受迫振动与共振（1）振动能量 = 动能 + 势能 = 最大位移的势能 = 平衡位置的动能由振幅决定，与周期和频率无关
14、（2）阻尼振动和无阻尼振动1、阻尼振动 存在阻力做负功，能量减小，振幅减小（减幅振动）2. 无阻尼振动(等幅振动)在振动中,为保持振幅不变(能量不变)，应及时地补充能量,使 A 不变（3）受迫振动1. 得到持续的,等幅振动的最简单的办法是用周期性的外力(驱动力)作用于物体,物体在驱动力作用下的振动,叫受迫振动.2. 物体做受迫振动的频率由驱动力决定,等于驱动力频率,而与固有频率无关(奴隶,奴隶主)如：钟摆 , 秋千（4） 共振在受迫振动中,驱动力的频率和物体的固有频率相等时,振幅最大B 5（5） 、共振的防止和应用（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千（2）防止共
15、振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢偏心轮共振筛【例 10】 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成 20 次全振动用 15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是 88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是A降低输入电压 B提高输入电压C增加筛子质量 D减小筛子质量解析：筛子的固有频率为 f 固 =4/3Hz，而当时的驱动力频率为 f 驱 =88/60Hz，即 f 固 f 驱 。为了达到
16、振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。本题应选 AD。【例 11】 一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：（ D）A逐渐增大 B先逐渐减小后逐渐增大C逐渐减小 D先逐渐增大后逐渐减小【例 12】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、 b、 c、 d、 e 五个单摆，让 a 摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（A、B ）A各摆的振动周期与 a 摆相同B各摆的振幅大小不同， c 摆的振幅最大C各摆的振动周期不同， c 摆的周期最长D各摆均做自由振动
