1、充要条件,习题课,知识要点,1.充分与必要条件,若 pq, 且 qp, 则 p 是 q 的充要条件.,2.充分必要条件与四种命题的关系:,如果 p 是 q 的充分条件, 则原命题“若 p 则 q”以及逆否命题 “若 q 则 p”都是真命题.,如果 p 是 q 的必要条件, 则逆命题“若 q 则 p”以及否命题“若 p 则 q”为真命题.,如果 p 是 q 的充要条件, 则四种命题均为真命题.,3.集合观点理解充分、必要条件,设 P=x | p(x)成立, Q=x | q(x)成立,若 P Q, 则 p 是 q 的充分但不必要条件;,若 Q P, 则 p 是 q 的必要但不充分条件;,若 P=Q
2、, 则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件);,判断时注意：,典型例题,例1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件:,(1) p: x5, q: x5;,(3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切;,(4) p: 多面体是正四棱柱, q: 多面体是长方体;,(5) p: ABC中, acosB=bcosA, q: ABC为等腰三角形.,解: (1)设 P=x | x5, Q=x | x5,p 是 q 的充分但不必要条件.,P Q,p 是 q 的既不充分也不必要条件.,解: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0与 x 轴相切,p 是 q 的
3、必要但不充分条件.,解: 正四棱柱是特殊的长方体,p 是 q 的充分但不必要条件.,正四棱柱 长方体.,解: acosB=bcosA,2RsinAcosB=2RcosAsinB.,A=B .,sin(A-B)=0.,pq.,p 是 q 的充分但不必要条件.,(4) p: 多面体是正四棱柱, q: 多面体是长方体.,(5) p: ABC中, acosB=bcosA, q: ABC为等腰三角形.,P 形成的集合看作 P,显然 Q P.,(3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切.,在此前提下考虑至少有一个非负根的反面即两个负根的充要条件是:,例2 已知集合
4、 M=(x, y) | y2=2x, N=(x, y) | (x-a)2+y2=9, 求证: MN 的充要条件是 -3a5.,即关于 x 的方程 x2 +2(1-a)x+a2-9=0 至少有一个非负根.,证: 由已知MN 的充要条件是 方程组,由 0 得 a5.,解得 a-3.,从而使MN 的充要条件是 -3a5.,分析：遇到不等式应先化简，求出其解集的最简形式由非p与非q之间的关系可推得p与q之间的关系原命题与逆否命题同真假。,解析：,B,D,练习,c,1. 若a，b，cR，则b24ac0恒成立的 ( ),A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件,D,2. 函数 f (x) = x|x+a|b是奇函数的充要条件是 ( ) A. ab=0 B. a+b=0 C. a=b D. a2+b2=0,解 法一：f (x)为奇函数 对任意实数x都有 f(x) = f (x)成立. 即 x|x+a|+b = (x|x+a|+b)成立, 即 x|xa|+b= x|x+a| b成立.,法二：当a=0, b1时, f (x) = x|x|+1, 此时, f(x)= x|x|+1= x|x|+1 f (x), f (x)不是奇函数. 从而排除A、B、C, 故选D.,
