1、9.6 空间向量的坐标运算96 空间向量的坐标运算学法导引1向量坐标的确定、夹角公式、距离公式的运用是本节的难点要确定向量坐标，就必须选取直角坐标系，为了使所得点的坐标方便计算和证明，一定要分析空间几何体的构造特征选上面合适的点作原点，合适的线和方向作坐标轴其次要灵活运用平面几何的知识、直线与平面的知识来找出“点”的坐标坐标原点常选在汇集多个垂直关系的点上2空间向量的坐标运算类似于平面两向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具空间两向量的夹角公式类似于平面两向量的夹角公式如果我们将一个空间几何体放入一个适当的空间直角坐标系，那么我们就可
2、用这个公式来方便地计算几何体上的“线线”夹角了空间两点间距离公式是空间向量模长公式的推广，其形式类似于平面上两点的距离公式，如果知道一个空间几何体上任意两点的坐标，我们就可直接套用应该指明，上述两公式都与坐标原点的选取无关因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、 “点点”距离是固定的坐标系的建立位置不同，只不过会影响其计算的简繁而已3常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间的距离知识要点精讲知识点 1 空间直角坐标系如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为 1，则这个基底叫做单位正交基底，常常用i，j，k来表示以点 O
3、为原点，分别以 i、j、k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴这时就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，点O 叫做原点，向量 i、j、k 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指能指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 A(x，y，z)，其中 x叫做点 A 的横向坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的竖坐标知识点 2 向量的直角坐标运算一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减
4、去起点坐标知识点 3 夹角和距离公式知识点 4 向量和平面垂直如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a知识点 5 法向量如果 a，那么向量 a 叫做平面 的法向量注意 1本节课涉及几何量的代数运算、夹角公式和两点间距离公式的应用易出现计算不准确而导致结论错误2易忽略向量坐标的表达形式 a(x，y，z)，在实际解题中有很多同学忽略了“” ，与点坐标(x，y，z)混淆解题方法、技巧培养出题方向 1 空间向量的坐标运算例 1 若 a(1，5，1)，b(2，3，5)(1)若(kab)(a3b)，求 k(2)若(kab)(a3b)，求 k分析 利用向量的坐标运
5、算及向量共线和垂直的充要条件解题解 (1)kab(k2，5k3，k5)，a3b(132，533，135)(7，4，16)例 2 已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求满足下列条件的点 D 的坐标：(1)DBAC，DCAB；(2)DBAC，DCAB 且 ADBC解 设点 D 坐标为(x，y，z)点拨 求点的坐标首先应将条件中的线或线段关系转化为向量间的关系，然后再坐标化，问题(1)中若一个向量的某坐标为零，则另一个向量的相应坐标也为零出题方向 2 夹角与距离公式的应用分析 应用模长公式及向量的夹角公式解决此问题例 4 已知空间三点 A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(
6、1，1，5)(2)向量 a 由横坐标、纵坐标、竖坐标值决定，我们需要找到三个方程，列一个方程组才能求得，依题意这是容易办到的 点拨 在前面例 2、例 3 解题中都通过了列方程、解方程来求得结果，我们要注意这种思路实际上，方程的思想在解空间向量的题目中有着广泛的应用出题方向 3 空间直角坐标系的应用分析 本题考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算解 (1)以 C 为原点 O，建立如图 961 的空间直角坐标系Oxyz，则由已知得：这种转化思想是数学上一重要思想，望同学们学会并善于应用易错易混点警示本节易错易混点主要在于对题目给出的条件关注不够而出错(1)当|c|取最小值时，求 t 的值；(
7、2)在(1)的情况下，求 b 和 c 的夹角大小错解 (1)c(1，1，3)t(1，0，2)(1t，1，32t)错因分析 题设中关于 x 的方程有两实根，应考虑 t 的限制，而不是 tR点拨 本例出错，在于对条件关注不够，暗自增加了条件 tR，虽然如此之下，运算简单，但是考虑问题的严谨性却一点没有体现事实上如果是数字不凑巧，就忽视某些条件，那么数学的真谛将难以寻觅综合应用创新【综合能力升级】空间向量的坐标运算是我们今后解答立体几何问题的常用工具，其特点是通过向量的运算解决空间图形的问题下面我们通过一个综合题学习体会这种方法点拨 有关垂直、夹角、距离问题往往用向量解决，建立空间坐标系是关键，往往以多个垂直关系的公共点处为原点，以棱所在直线为坐标轴
