1、9.7 直线和平面所成的角与二面角97 直线和平面所成的角与二面角学法导引本节是本章的核心内容之一，是多个知识点的交汇处在本节的学习中我们要在学习知识的同时，深刻理解体会各个知识点之间的内在联系，如线线垂直、线面垂直、面面垂直的互相转化，不同方向的转化的作用，三种空间角：线线角、线面角、面面角求法的异同点等同时通过对典型例题的学习，掌握解决问题的方法，学会思路分析，掌握解题步骤的写法，形成一个统一完整的知识结构知识要点精讲知识点 1 直线和平面所成的角1斜线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)2直线和平面所成的角的大小范围是0
2、，90当 0时，直线在平面内或直线平行于平面；当 90时，直线垂直于平面；当 090时，直线与平面斜交3最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角4作法：作直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影知识点 2 二面角的概念及平面角的作法1二面角概念：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角如图 971 所示，记为 a，二面角有三个要素：两个半平面和一条棱3二面角的平面角的作法有三种：(1)定义法；(2)三垂线定理法；(3)直截面法(作与棱垂直的截面)4二面角的大小的取值范围为(0，1805平面角是直角的二面角叫做直二面角6两个
3、平面相交所成的二面角是直二面角时，就说这两个平面互相垂直知识点 3 两个面垂直的判定方法方法一 (定义法)如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直定义法把面面垂直关系数量化方法二 (判定定理)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直知识点 4 两个平面垂直的性质性质 1 (性质定理)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面知识点 5 平面图形的翻折将平面图形沿某一直线进行翻折得到一个二面角，图形由平面图形变成了空间图形，研究翻折后空间元素的数量或位置关系，这一类问题称为平面图形的翻折解这类问题的关键是把折前折后的图形进行对
4、照，分析哪些元素的数量或位置发生改变，哪些没有改变解题方法、技巧培养出题方向 1 有关线面角的计算点拨 求直线和平面所成的角时，应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系；(2)当直线和平面斜交时，常以以下步骤：构造-作出或找出斜线与射影所成的角，设定-论证所作或所找的角为所求的角，计算-常用解三角形的方法求角，结论-点明直线和平面所成的角值出题方向 2 两个平面垂直的判定例 2 如图 973，P 是ABC 所在平面外一点，ABC90，PAPBPC，求证：平面 PAC平面 ABC分析 要证明平面 PAC平面 ABC，只要在平面 PAC(或平面 ABC)中找到一条平面 ABC(或平面 PAC
5、)的垂线，这条垂线要根据图中条件来找证明 PAPC，取 AC 中点 O，连结 PO、OB，则 POAC， ABC90，O 为 AC 中点， AOOCOBPOC 和POB 中，POPO，PCPB，OCOB， POCPOB POBPOC90，即 POOB又 OCOBO， PO平面 ABC点拨 应用判定定理，面面垂直要由线面垂直推得，而线面垂直又要依靠线线垂直，因此线线垂直在证明面面垂直时尤为重要出题方向 3 两个平面垂直的性质例 3 如图 976，PA平面 ABC，二面角 APBC 是直二面角，求证：ABBC分析 要证线线垂直，可以通过线面垂直而要得到线面垂直，可以通过判定定理，也可以通过面面垂直
6、的性质证明 过 A 作 ADPB 于 D 二面角 APBC 是直二面角，即平面 APB平面 CPB， PABC而 PAADA， BC平面 PAB BCAB出题方向 4 有关二面角的计算图 978图 979点拨 (1)问题(1)由平面与平面的特殊位置关系求角，问题(2)(3)都是根据定义作出角，再在三角形中求角(2)两个平面相交成四个二面角，即两对对棱角把锐角或直角叫做两个平面所成的角，取值范围为(0，90而二面角取值范围为(0，180出题方向 5 平面图形的翻折问题例 5 如图 9713，ACB90，CD 是ACB 的平分线，现沿CD 将ACB 折成 60的二面角 ACDB，求折后 AC 与平
7、面 CDB 所成角的正弦值图 9713解 在折前图(1)CD 上取一点 M，过 M 作 CD 的垂线交 AC、BC 于E、F，折后图(2)中 CDEM，CDFM， EMF60且平面 EMF平面 CFM点拨 平面图形的翻折要注意观察折前后图形中元素的数量及位置的变化，如 EM、MF 的长度不变，CMEM，CMFM 的位置关系不变，而 EF 的长度，ECF 的大小发生了变化等易错易混点警示本节内容中易错易混点主要表现在对判定定理和性质定理中的条件理解不充分，结论运用不到位而产生混乱求二面角时作平面角不正确下面仅举两例简要说明例 6 已知平面 平面 ，平面 g， ，求证： 错证 如图 9718，图 9719综合应用创新【综合能力升级】本节知识与线面垂直及三垂线定理的综合题是与本节内容有关的综合问题的常见形式，一般表现为：一是线面垂直与面面垂直的相互化归的证明；二是由三垂线定理找(作)二面角的平面角进而求值分析 先求出平面 ASB平面 BSC 的必要条件再从必要条件中找充分条件
