1、高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学
2、时要讲清概念例 1 是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置
3、有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关因此二面角的大小可 以用它的平面角来度量 规定二面角的范围为0,18【教学备品】教学课件【课时安排】高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 2 课时(90 分钟)【教学过程】教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图 930 所示的长方体中，直线 和直线 是异面1BCAD直线，度量 和 ，发现它们是相等的1CB1DA如果在直线 上任选一点 P，过点 P 分别作与直线和直线 平行的直线，那么它们所成的角是否与1相等？CB图 930介绍质疑引导分析了解思考
4、启发学生思考05*动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角如图 931（1）所示， 、 ，则 与 的夹mnmn角 就是异面直线 与 所成的角为了简便，经常取一条n直线与过另一条直线的平面的交点作为点 （如图 931（2） ）Onmo(1)讲解说明引领分析思考理解带领学生分析高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间nmo图 9-31(2)仔细分析关键语句记忆12*巩固知识 典型例题例 1 如图 932 所
5、示的长方体中， ，求下130BA列异面直线所成的角的度数：(1) 与 ； (2) 与 .1ABDC1C解 （1）因为 ，所以 为异面直线AB与 所成的角即所求角为 .1 30（2）因为 ，所以 为异面直线 与1C11AB所成的角1在直角 中1AB， ，190130BA所以 ，136即所求的角为 .60说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会17高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间A BCD1 11B1A图 932*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1） 与 ； 1DBC（2）
6、 与 A提问指导思考解答领会知识21*创设情境 兴趣导入正方体 中（图 933） ，直线 与直1ABCD1B线 、 BC、CD、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角图 933质疑引导分析思考启发学生思考269.3.1 题图高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间*动脑思考 探索新知如果直线 和平面 内的任意一条直线都垂直，那么就称l直线 与平面 垂直，记作 直线 叫做平面 的垂线 ，lll垂线 与平面 的交点叫做垂足. 画表示直线 和平面 垂直的图形时，要把直线 画成与l l平行四边形的横边垂直（如图 934
7、所示） ，其中交点 是垂A足图 934讲解说明引领分析思考理解带领学生分析30*创设情境 兴趣导入将一根木棍 PA 直立在地面 上，用细绳依次度量点 P 与地面上的点 A、B、C、D 的距离（图 935） ，发现 PA 最短质疑 思考带领学生分析 32*动脑思考 探索新知如图 935 所示， ，线段 PA 叫做垂线段，垂足 APA叫做点 P 在平面 内的射影直线 PB 与平面 相交但不垂直，则称直线 PB 与平面斜交 ，直线 PB 叫做平面 的斜线， 斜线和平面的交点叫做斜足点 P 与斜足 B 之间的线段叫做点 P 到这个平面的斜线段过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影如图935 中，直线
8、 AB 是斜线 PB 在平面 内的射影讲解说明引领分析仔细分析思考理解记忆带领学生分析40图 935高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短因此，将从平面外一点 P 到平面 的垂线段的长叫做点 P 到平面 的距离讲解关键词语*创设情境 兴趣导入如图 936 所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度图 936质疑 思考带领学生分析42*动脑思考 探索新知斜线 l 与它在平面 内的射影 的夹角，叫做直线 l 与平l面 所成的角如图 937
9、 所示， 就是直线 PB 与平面PBA所成的角规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角显然，直线与平面所成角的取值范围是 0,9【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图 937讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识 典型例题例 2 如图 938 所示，等腰 ABC 的顶点 A 在平面 外，底边 BC 在平面 内，已知底边长 BC=16，腰长 AB=17，又 观察 通过高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间知点
10、A 到平面 的垂线段 AD=10求（1）等腰 ABC 的高 AE 的长；（2）斜线 AE 和平面 所成的角的大小（精确到 1） 分析 三角形 是直角三角形，知道斜边和一条直EB角边，利用勾股定理可以求出 的长； 是 AE 和平AED面 所成的角，三角形 ADE 是直角三角形，求出 的A正弦值即可求出斜线 和平面 所成的角解 (1) 在等腰 ABC 中， ，故由 BC=16 可BC得 BE=8.在 AEB 中，AEB =90，因此Rt.221785AEB（2）联结 DE.因为 AD 是平面 的垂线，AE 是 的斜线，所以 DE 是 AE 在 内的射影.因此 是 AE 和平面AED所成的角. 在
11、ADE 中，Rt，102sin53AE所以 .4即斜线 AE 和平面 所成的角约为 .2【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？说明强调引领讲解说明思考主动求解思考例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点 55*运用知识 强化练习 长方体ABCD 中，高DD 1=4cm，底面是边长为1ABCD3cm的正方形，求对角线D 1B与底面ABCD所成角的大小（精确到1）.练习 9.3.2 图提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况60*创设情境 兴趣导入图 938高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间在建筑房屋时，有时为了美观和排除
12、雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图 939（1） ） ；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图 939（2） ） （2）图 939（1）在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察质疑引导分析思考启发思考63*动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面以直线 l（或 CD）为棱，两个半平面分别为 的二面、角，记作二面角 （或 ） （如图 940） lCD图 940CD图 941loNM C D
13、过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角如图 941 所示，在二面角 的棱 上任意选取一ll点 ，以点 为垂足，在面 与面 内分别作 、OOMl，则 就是这个二面角的平面角NlM讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析70*创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因质疑 思考启发思考72*动脑思考 探索新知高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间二面角的平面角的大小由 的相对位置所决定，
14、与顶、点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定因此，二面角的大小用它的平面角来度量当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角因此二面角取值范围是 0,18平面角是直角的二面角叫做直二面角例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直平面 与平面 垂直记作讲解说明引领分析思考理解记忆带领学生分析76*巩固知识 典型例题例 3 在正方体 中（如图 942） ，求二面1ABCD角 的大小1D图 942解 AD 为二面角的棱， 与 是分别在二面角的两1AB个面内并且与棱 AD 垂直的射线，所以 为二面角的平面角1D
15、AB因为在正方体 中， 是直角所以1CDAB1AB二面角 为 90.1说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会81*运用知识 强化练习 在正方体 中，求二面角 的1ABC1ADB大小. 提问巡视指导思考求解及时了解学生知识高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间练习 9.3.3题图掌握得情况86*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直
16、的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况87*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？在正方体 中，求平面 与平面 所成的二1AC1ABCDAB面角的大小提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果89*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题 9.1 A 组（必做） ；9.1 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例说明 记录 分层次要求90高二设计 151 班第二学期教案第 9 章 立体几何（教案） 【教师教学后记】项目 反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；
