1、131.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法知识点一 两角和的余弦公式思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案 用 代换 cos( )cos cos sin sin 中的 便可得到梳理公式cos( )cos cos sin sin简记符号 C( )使用条件 ， 都是任意角记忆口决：“余余正正，符号相反” 知识点二 两角和与差的正弦公式思
2、考 1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案 sin( )cos 2 cos ( 2 ) cos cos sin sin( 2 ) ( 2 )sin cos cos sin .思考 2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案 用 代换 ，即可得 sin( )sin cos cos sin .梳理内容 两角和的正弦 两角差的正弦简记符号 S( ) S( )公式形式sin( )sin cos cos sinsin( )sin cos cos sin2记忆口诀：“正余余正，符号相同” 1不存在角 ， ，使得 cos( )cos cos sin sin .( )提示
3、如 0，cos( )cos01，cos cos sin sin 1.2任意角 ， ，都有 sin( )sin cos cos sin .( )提示 由两角和的正弦公式知结论正确3存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin .( )提示 由两角差的正弦公式知不存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin .4存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin .( )提示 如 0 时，sin( )0，sin cos cos sin 0.类型一 给角求值例 1 (1)(2017衡水高一检测)已知角 的终边经过点(3,4)，则 sin 的值为( )( 4)
4、A. B C. D25 25 210 210考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 C解析 因为角 的终边经过点(3,4)，则 sin ，cos ，45 35所以 sin sin cos cos sin .( 4) 4 4 45 22 35 22 210(2)计算：sin14cos16sin76cos74.考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值解 原式sin14cos16sin(9014)cos(9016)sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin30 .123反思与感悟 解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式
5、求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式跟踪训练 1 求值： .sin7 cos15sin8cos7 sin15sin8考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 2 3解析 原式sin 15 8 cos15sin8cos 15 8 sin15sin8sin15cos8 cos15sin8 cos15sin8cos15cos8 sin15sin8 sin15sin8 2 .sin15c
6、os8cos15cos8sin15cos15sin 45 30cos 45 306 246 24 3类型二 给值求值例 2 已知 sin ，cos ，且 0 ， . 4 344. .sin50 sin20cos30cos20考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式化简答案 12解析 原式sin 20 30 sin20cos30cos20sin20cos30 cos20sin30 sin20cos30cos20 sin30 .cos20sin30cos20 125求函数 f(x)sin xcos 的值域(x 6)考点 两角和与差的正弦公式题点 两角和与差的正弦公式的综合应用7解
7、f(x)sin x (32cosx 12sinx) sinx cosx sin ，32 32 3 (x 6)故函数 f(x)的值域为 ， 3 381公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C( ) C( ) S( ) S( ) 以 代 换 诱 导 公 式 以 代 换 (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式 C( )，C ( )可记为“同名相乘，符号反” ；对于公式 S( )，S ( )可记为“异名相乘，符号同” (3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式 C( )，C ( )，S ( )，且公式sin( )sin cos cos sin ，角 ， 的“地位”不同也要特别注意2应用公
8、式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如 1sin 2 cos 2 ，1sin90， cos60，12 sin60等，再如：0， ， 等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为32 12 22 32三角函数.一、选择题1sin20cos10cos160sin10等于( )A B. C D.32 32 12 12考点 两角和与
9、差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式化简答案 D解析 sin20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin30.122已知 ，sin ，则 sin 等于( )( 2， ) ( 4) 359A. B.210 7210C 或 D210 7210 7210考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 B解析 由 ，得 0，cos 0，所以 0 .1010 2所以 sin ，1 cos2255cos( ) ，1 sin2 31010sin(2 )sin ( )14sin cos( )cos sin( ) .255 31010 55 1010
10、 7210(2)sin sin ( )sin cos( )cos sin( ) .255 31010 55 1010 22又因为 ，所以 .(0， 2) 4四、探究与拓展14定义运算 ad bc.若 cos ， ，0 ，则 .|a bc d| 17 |sin sincos cos | 3314 2考点 两角和与差的正弦公式题点 两角和与差的正弦公式的综合应用答案 3解析 由题意，得 sin cos cos sin ，3314sin( ) .33140 ，cos( ) . 2 1 27196 1314又由 cos ，得 sin .17 437cos cos ( )cos cos( )sin si
11、n( ) ，17 1314 437 3314 12 . 315已知函数 f(x) Asin ， xR，且 f .(x 3) (512) 322(1)求 A 的值；(2)若 f( ) f( ) ， ，求 f .3 (0， 2) ( 6 )考点 两角和与差的正弦公式题点 两角和与差的正弦公式的综合应用15解 (1)由 f Asin(512) (512 3) Asin A ，可得 A3.34 22 322(2)f( ) f( ) ，3则 3sin 3sin ，( 3) ( 3 ) 3即 3 3 ，(12sin 32cos ) (32cos 12sin ) 3故 sin .33因为 ，所以 cos ，(0， 2) 63所以 f 3sin( 6 ) ( 6 3)3sin 3cos .( 2 ) 616
