1、12332 高等数学基础习题一、单项选择题（每小题 4分，本题共 20分）1.函数 的图形关于（A）对称2exy(A) 坐标原点 (B) 轴(C) 轴 (D) yxy2.在下列指定的变化过程中， （C）是无穷小量(A) (B) )(1sinx)0(1sinx(C) (D) 0)le3.设 在 可导，则 （C） (xf0 hffh2)(lim00(A) (B) (C) (D) )0f )(20xf)(0xf )(20xf4.若 ，则 （B） cFxd(dln1(A) (B) (C) (D) )lnx)(l cxF)(l cxF)1(5.下列积分计算正确的是（D） (A) (B) (C) (D)
2、0dsi1x1de0x d2sin0 0dos16.函数 的图形关于（ B）对称2y(A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) yxxy7.在下列指定的变化过程中， （A）是无穷小量(A) (B) )0(1sinx)(1sin(C) (D) l ex8.下列等式中正确的是（B） (A) (B) (C) (D) xdln)1(xd)(lxxd3)(xd)(9.若 ，则 （C） cFf)()(f)(1(A) (B) (C) (D) xxcxF2)(2xF10.下列无穷限积分收敛的是（D） (A) (B) (C) (D) 1dx0dex1dx2dx211.函数 的图形关于（A）对称2exy(A
3、) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) yx12.在下列指定的变化过程中， （C）是无穷小量(A) (B) )(1sinx)0(1sin(C) (D) 0)lex13.设 在 可导，则 （C） (xf0 hffh2)(lim00(A) (B) (C) (D) )0f )(20xf)(0xf )(20xf14.若 ，则 （B） cFxd(dln1(A) (B) (C) (D) )ln)(lncxF)(cxF)1(15.下列积分计算正确的是（D） (A) (B) (C) (D) 0dsi1x1de0x d2sin0 0dos1x16下列各函数对中， （C）中的两个函数相等(A) ， (B)
4、，2)(fg(2)(xfxg)(C) ， (D) ，3lnxxln4lnln17设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（D）对称)(f ),()(xf(A) (B) 轴 (C) 轴 (D) 坐标原点xyx18当 时，变量（C ）是无穷小量0(A) (B) (C) (D) x1sin1ex3219设 在点 处可导，则 （D ） )(fhffh)1(lim0(A) (B) (C) (D) 1)1(f)2f )(2f20函数 在区间 内满足（B） 32xy4,(A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升(C) 先单调下降再单调上升(D) 单调下降21若 ，则 （B） xfcos)(xfd)(A)
5、 (B) (C) (D) sinccsincxos322 （D） xxd)2cos(27(A) (B) (C) (D) 023若 的一个原函数是 ，则 （B） )(xfx1)(f(A) (B) (C) (D) ln3221x24下列无穷积分收敛的是（B） (A) (B) (C) (D) 0dcosx03dex1d1x25.设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（D）对称)(f ),( )(fx(A) (B) 轴 (C) 轴 (D) 坐标原点xyy26.当 时，变量（C）是无穷小量0(A) (B) (C) (D) 1sin1ex2x27.设 ，则 （B） xfe)(ff)(lim0(A) (B
6、) (C) (D) 2e4e228. （A） xfd)(2(A) (B) (C) (D) xfd)(1)(1xf xfd)(229.下列无穷限积分收敛的是（B） (A) (B) (C) (D) 0dex0ex1dx1x30 下列函数中（ B ）的图像关于坐标原点对称。A B C D xlncosxsinxa规律：（1）1奇偶函数定义：；,;ff fxf是 奇 函 数 ， 是 偶 函 数（2） 常见的偶函数：2243,.,cos,x常 数常见的奇函数：13521,.,in,l,ln,lxx常见的非奇非偶函数： ；,lxxae（3） 奇偶函数运算性质：4奇奇=奇；奇偶=非；偶偶=偶；奇奇=偶；奇偶
7、=奇；偶偶=偶；（4） 奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于 轴对称。y解：A非奇非偶； B奇偶=奇（原点） ； C奇奇=偶（ 轴） ； D非奇非偶y31下列函数中（ B ）不是奇函数。A ； B ； C ； D xesin(1)xxcosin2ln1x解：A奇函数（定义） ； B非奇非偶（定义） ；C奇函数（奇偶） ；D奇函数（定义）32下列函数中，其图像关于 轴对称的是（ A ） 。yA B C D2sin(1)xcosxex1lcs()x解：A偶函数（ 轴） ； B非奇非偶（定义） ；C奇函数（常见） ；D非奇非偶（定义）y33下列极限正确的是（ B ） 。A B 01limxe3li
8、m1xC. D snlix0li()xxe解：A 错。 ， ；01xeli0li1xB正确。分子分母最高次幂前的系数之比；C错。 ， 即 是无穷小， 即 是有界变量， ；xxsinsi sinlm0xD错。第二个重要极限应为 或 ，其类型为 。1lim()xxe10li()xxe134当 时， （ D ）为无穷小量。1xA B C D 2sin1cos()ln(2)x解：A ；21limx01lix02B ， ， ， 不存在；01limsnxC ， ；1xcos()csxD ， 。ln2l135. 下列等式中，成立的是（ B ） 。A B 22xxede33xxedeC D 1lnd5解：A错
9、，正确的应为 B。 正确， 即22xxed33xxed31xedeC错，正确的应为 D错，正确的应为11ln36设 在点 可微，且 ，则下列结论成立的是（ C ） 。)(xf00()fxA 是 的极小值点 B 是 的极大值点 ；0 0)(xfC 是 的驻点； D 是 的最大值点；x)(f解：驻点定义：设 在点 可微，且 ，则 是 的驻点。驻点为可能的极值x00()fx0x()f点。37函数 ，则 （ D ） 。()lnf3()limxfA 3 ； B ； C ； D 113解一： 3()lixf33lnxxxff解二： 3()limxf3lnix031limx38设 ，则 （ B ） 。()s
10、inf0()lixfA ； B ； C ； D 不存在01200i:limlxxf解 一 0000sin:lilsicos1xxxxf 解 二39曲线 在区间 内是（ A ） 。3291y(,3)A下降且凹 B上升且凹 C下降且凸 D 上升且凸解： 2261,13,0,yxxxyx在 任 取 一 点 带 入 可 知 ， 曲 线 下 降 ，在 中 任 取 一 点 带 入 可 知 ， 曲 线 是 凹 的40曲线 在 内是（ B ） 。ye(0)A 下降且凹； B上升且凹； C下降且凸； D上升且凸6解： 10xxxyey曲 线当 时 上 升， ，当 时 ， ， 曲 线 是 凹 的41曲线 在点 处
11、的法线方程为（ B ） 。2(1,2)MA. ；B. ；C D.()yxx2(1)yx(2)yx规律：曲线 在 x= 处的法线方程为f0000ff解： ， ，2yfx12fxx1xf故法线方程为 B ；()y42下列结论中正确的是（ C ） 。A函数的驻点一定是极值点 B函数的极值点一定是驻点C函数一阶导数为 的点一定是驻点 D函数的极值点处导数必为0 0解：驻点定义：设 在点 可微，且 ，则 是 的驻点。驻点为可能的极值()fx00()fx0x()f点。43设函数 ，则 （ A ） 。()cosf )(xdfA ； B ； C ； D sin2xdin2sinxdsinxd解： i()cos
12、si2f xdx44当函数 不恒为 0， 为常数时，下列等式不成立的是（ B ） 。fx,abA. B. )()(fd )()(xfdfxbaC. D. cxf a解：A. 成立， 为不定积分的性质；()()fdfB. 不成立， 常数，而常数的导数为零；baxC. 成立， 为不定积分的性质； ()()ffcD. 成立， 为牛顿莱布尼badxa兹公式。745设函数 的原函数为 ，则 （ A ） 。)(xf()Fx21()fdxA ； B ； C ； D1FCF1()fCx解：函数 的原函数为 ，()fx()xfu2d21fd2111fdfdxx46下列无穷积分为收敛的是（ B ） 。A. B.
13、C. D.0sinx02xe0xe1x规律： 1,1()ad发 散收 敛 00,pd收 敛发 散 、 发散 sinaxcosaxd0 ,N0npxpe发 散收 敛解：A. ；B. ，收敛； C. ，发散； D. ，发散0id20p11247下列无穷积分为收敛的是（ C ） 。A. B. C. D. 21x1x21dx21xed解：A. 发散；B. 发散；C. 收敛；D. 发散；48.函数 的图形关于（B ）对称2xy(A) 坐标原点 (B) 轴y(C) 轴 (D) xx49.在下列指定的变化过程中， （ A ）是无穷小量(A) (B) )0(1sin)(1sinx(C) (D) lxex50.
14、下列等式中正确的是（B ） (A) (B) dln)1(xd)(ln(C) (D) xx3d851.若 ，则 （C ） cxFf)(d)(xfd)(1(A) (B) cF(C) (D) cx)(2)(2x52.下列无穷限积分收敛的是（D ） (A) (B) 1d0dex(C) (D) 1x1253.设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（ C）对称)(f ),()(xf(A) (B) 轴xyx(C) 轴 (D) 坐标原点54.当 时，变量（ D ）是无穷小量0(A) (B) x1xsin(C) (D) 21)l(3.下列等式中正确的是（B ） (A) (B) dd()arctn12xxd()
15、2x(C) (D) ltacot55.下列等式成立的是（ A） (A) (B) )(d)(xffx )(d)(xff(C) (D) 56.下列无穷限积分收敛的是（ C） (A) (B) xd1xd1(C) (D) 1.函数 的图形关于（ A）对称x134sin12exy(A) 坐标原点 (B) 轴x(C) 轴 (D) yy57.在下列指定的变化过程中， （ C ）是无穷小量9(A) (B) )(1sinx)0(1sinx(C) (D) 0)lex58.设 在 可导，则 （ C） (xf0 hffh2)(lim00(A) (B) )0f )(0xf(C) (D) (x59.若 ，则 （B ） c
16、Ff)(d)xfd)(ln1(A) (B) (lnx cF(C) (D) c)1x)(60.下列积分计算正确的是（ D） (A) (B) 0dsin1x1de0(C) (D) 20cos1x二、填空题（每小题 4分，共 20分）1.函数 的定义域是 )1ln(92xy 3,2(),12.函数 的间断点是 0si 0x3.曲线 在 处的切线斜率是 1)(xf)2,(214.函数 的单调减少区间是 2y ),(5. xd)(sincsi6.函数 的定义域是 24)1l(y)2,1(7.若函数 ，在 处连续，则 0)()21xkxf ke8.曲线 在 处的切线斜率是 1)(3f),(39.函数 的单
17、调增加区间是 xyarctn),(1010.若 ，则 cxfsind)( )(xfsin11.函数 的定义域是 241ly2,112.若函数 ，在 处连续，则 0)()21xkxf ke13.曲线 在 处的切线斜率是 1)(3f),(314.函数 的单调增加区间是 xyarctn),(15.若 ，则 fsid)( )xfsin16.函数 的定义域是 )1ln(xy ),2(,117.若函数 ，在 处连续，则 0)(xkf ke18.曲线 在 处的切线斜率是 xf)()1,(2119.函数 的单调增加区间是 ln2y),0(20. xd)(coscos21.函数 的定义域是 xy2)ln( )2
18、,1(,22.函数 的间断点是 0six023.若函数 ，在 处连续，则 )1()3xkf ke24.曲线 在 处的切线斜率是 2)(xf),(4125.函数 的单调增加区间是 1y ),2(26若 ，则 cxf3sind)( )xf3cos27 xe221128函数 的定义域为 。4ln(1)xy12x且0lxx解 ： 且29函数 的定义域是 。2ln(1)4y12x20xx解 ：30函数 的定义域是 。3yx23x且202解 ：31设 ，则 。2()fx)(xf246x解：设 ，则 且原式tt)即 2()f24t亦即 x32若函数 在 处连续，则 = 。4(1),0)xfkxk4e4140
19、004limli1lim,()xxxxf eke函 数 在 =连 续 则 f33曲线 在 处的切线方程为 。xy 1yx曲线 在点 处的切线方程为f0,y0x解： ，01xxye 00xye时 ，1()y34. 函数 的连续区间为 。ln3yx3,1,12初等函数在其定义区间连续。且ln(3)1xy03x13,1,35曲线 在点 处的切线方程为 。 l(,)yx11ln,0xxxyy解 ：36. 设函数 可导，则 。(l2)yfd1(ln2)fxd解： dxnx(l)f 1(l)2fxdx 1(l)2f x37.（判断单调性、凹凸性）曲线 在区间 内是 单调递减且凹 。321y,3解： 243
20、,0yxxxy 当 时 ， 曲 线 下 降0y 曲 线 是 凹 的38设 ，则 。2()1fx)(xf241解： ， ，2241fxx39 0 。13(cos)xdx解： 是奇函数； 是偶函数，由于偶+偶=偶，则 是偶函数，和 cosx因为奇 偶奇，所以 是奇函数， 是对称区间3x1cos1,奇函数在对称区间上的积分为零40 。12()xd解： 1x122()xd1122xxd是奇函数（奇 偶奇） ，故 ；2x10而 是偶函数，故 122300xdx41设 ，则 。()Fxf(ln3)flnFC解： 1ln3l3xxd131(ln3)ln3lln3fxdfxdFxC42已知 ，则 。(F 2(
21、1)21解： 2 221() 1xffxfxdFxC 43设 为 的原函数，那么 。f (sin)cof sin分析： 为 的原函数 ，()FxudFC ix解： sincosiisifdfx44设 的一个原函数是 , 则 。()xn()fnx解： 的一个原函数为 f()FxF()fsicosxin45 ，那么 。0()cos2xFtdtcos2x解： aftf0() sxtdtx46 _ _。02txde2e解： t 0xtd2xe47设 ，则 。sin0()xtFe()F1解： sinsinsin 120xtxde 48 = 。2coxdt2co解： 0s0sxtd2csx49.函数 的定
22、义域是)1ln(xy ),(),150.若函数 ，在 处连续，则 0)(xkf ke51.曲线 在 处的切线斜率是 xf)()1,(2152.函数 的单调增加区间是 ln2y ),0(1453. xd)(coscs54.函数 的定义域是 24)(xf ),2(,(55.函数 的间断点是 1y1x56.曲线 在 处的切线斜率是 xf)(),(257.函数 的单调增加区间是 1ln2y),0(58. 1.函数 的定义域是 xde2x2241lnxy)2,1(59.若函数 ，在 处连续，则 0)1()2xkf ke60.曲线 在 处的切线斜率是 )(3xf),(361.函数 的单调增加区间是 yar
23、ctn),(62.若 ，则 xfsid)( )xfsin三、计算题（每小题 11分，共 44分）1.计算极限 1)in(lm2x解： 21)(silsil21 xxx2.设 ，求 yecolny解： xsi3.计算不定积分 xde21解：由换元积分法得cuxx e)1(e21 x14.计算定积分 1dln15解：由分部积分法得e1e1 )d(lnldlnxx1de5.计算极限 x5si6m0解： 56sinlm56inlinl 000 xxxx6.设 ，求 2sixyy解：由导数四则运算法则得42242 2sinlcos)(sin)(sin xxxxy 31ilcox7.设 ，求 xyesin
24、2y解： )e2sin(coxx8.设 是由方程 确定的函数，求 yx()ydy解：等式两端求微分得左端 xycos)(d)cos(dxcossin右端 ye由此得 yxdecssin整理后得 yod9.计算不定积分 x3cs解：由分部积分法得xxdin1idcos cx3os91sin310.计算定积分 e1l2x解：由换元积分法得 32e1e1 d)ln()dl(dlnuxx 253三计算题161、求极限 2、求极限124limxx 24lim3xx解： 解：4x314x21li4xx 2li43x -原题 原题e 2e3、求极限 解： ， ， 01limn()x0xln1x1x原题 =
25、0lixe02limxe0lixe0lim2xe14、求极限 解： ， ， 0sin3lm14xxsin3x14x原题 0li2x5、求极限 解： ， ， 20ln(3)isxln(13)2xsinx原题 20limx6、求极限sin201lmta4xxe解： ， ， sin2xi2xtan4x原题 0l4x17、设函数 ，求3n(2)ydy解： 3llx2313ln()2xx23ln()xdy32l()xd178、设函数 ，求 。cos2xyedy解：3csxcos2xye1coscos23xxe1coscs23xxex1coscos2in3xxdycscsxxeed9、设函数 ，求 。21
26、o(ln)xy解： 2csye212lx2sin0e21l2xx21sie21inlxydd10、设函数 ，求 。32xey333332 21xxxxx eeey 解 ： 332xxee332xxeded11、设函数 ，求 。sinco1yxy解： 2i3cosin31cosis1xx 2co31siicoxx1823cos1sin3cxx2i1osddxy12、计算不定积分 in2 02:x解 2x+ +sincos4sinx8cos2x2ixd28i162C13、计算不定积分 解： 1 03xe 3x3xe39xed1C14.计算极限 解：4)2sin(lm2x2.设 ，求 解：xyeiy
27、 xesinco23.设 ，求 解：2sin 22x4.设 是由方程 确定的函数，求 解：yx()3elyxdyxyxd)e3(125.计算不定积分 解： xd1cos2 cx1sin6.计算定积分 解：e1ln94e2315.计算极限 4586lim24xx16. 解： 32)1(lili424 xxx17.设 ，求 ylncosldy19解：由微分运算法则得)ln(d)cos(ln)lcos(lnd22 xxxy d1xxx1l2cosi2d)nta(18.计算不定积分 xdcos解：由换元积分法得cxxxsin2)(cos2dcos19.计算定积分 e1ln解：由分部积分法得 e122e
28、1 )d(lnldl xxx422e120.计算极限 )1sin(lm21x解： 21)(ilil121 xxx21.设 ，求 y3ecosyd解： )3(e(cos)(dxxxlnesinxxd3l)esi(22.计算不定积分 xd21解：由换元积分法得20cuxx ed)1(ed21c23.计算定积分 e1dln解：由分部积分法得 e1e1 )(lll xxd24.设 ，求 xyecoslny解： i1四、应用题（本题 16分）1某制罐厂要生产一种体积为 V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为 ，高为 ，则其表面积为rhrVrS224由 ，得唯一驻点
29、 ，由实际问题可知，当 时可使用料最省，此时 ，即0S32Vr 32r34Vh当容器的底半径与高分别为 与 时，用料最省3342 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高 与底半径 满足hr22lr圆柱体的体积公式为hV2将 代入得22lrl)(2求导得)3()(222hlhlV令 得 ，并由此解出 即 ，高 时，圆柱体的体积最大0Vlh3lr36lr6ll213.要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为 4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。解：设圆柱体底半径为 ，高为 ，rh则体积 24V2r
30、材料最省即表面积最小表面积 S2rh224r8r ，令 0，得唯一驻点28S3所以当底半径为 米，此时高为 米时表面积最小即材料最省。34346.要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为 16立方米,底面单位面积的造价为 10元/平方米，侧面单位面积的造价为 20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。解：设圆柱体底半径为 ，高为 ， rh r则体积 216Vh2 h且造价函数 2264001frrhr令 ，得唯一驻点264f3所以当底半径为 米，此时高为 米时造价最低。3347.要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为 108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和
31、高的尺寸,才能使建造费用最省。解：要使建造费用最省，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。设圆柱体底半径为 ，高为 ，rh则体积 2108V2r则圆柱体仓库的表面积为 Sh22108rr16r ，令 0，得唯一驻点 ,S216r 334所以当底半径为 米，此时高为 米时表面积最小即建造费用最省。34 348.在半径为 8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图） ，为使长方形的面积最大，该长方形的22底长和高各为多少。解：设长方形的底边长为 ，高为 ，2xy则 8 28xy264 y面积 Sxx令 ，得唯一驻点2264042所以当底边长为 米，此时高为 米时面积最大。849.求曲线
32、 yx2上的点，使其到点 A(,)30的距离最短解：曲线 上的点到点 的距离公式为 2)3(yxd与 在同一点取到最大值，为计算方便求 的最大值点，将 x代入得d2 2x)(令 xD23)(求导得 1)()令 得 并由此解出 ，即曲线 yx2上的点 和点 到点0)(2d25x210y )20,5()210,5(A,3的距离最短10.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：当底半径 ，高 时，圆柱体的体积最大lr36h3一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题4分，共计20分）23二、填空题(每小题4分，共20分243、计算题每小题 11分，共 44分)4、应用题(本题 16分2526答案27一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题4分，共计20分）二、填空题(每小题4分，共20分三、计算题每小题 11分，共 44分)28四、应用题(本题 16分29答案30二、填空题(每小题4分，共20分三、计算题每小题 11分，共 44分)
