1、第十八章 圆的周长和面积知识要点如右图所示，当一条线段 OA 绕着固定端点 O 在平面内旋转一周，它的另一端点 A 在平面内画出了一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。围成圆的曲线叫做圆周，线段 OA 叫做圆的半径，通常用 r 或 R 表示。O 点是这个圆的圆心。在同一个圆中，所有的半径都相等。通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆内，所有直径都相等，且等于半径的 2 倍。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。无论什么圆，它的周长除以直径的商是一个固定的数，这个数叫圆周率，用 表示。如果用 C 表示圆周的长度，d 表示这个圆的直径，那么， Cd。是一个无限不循环小数：3.14159
2、265358979323846圆的周长：C2 r 或 C d圆的面积：S r2 ( )2 ( )2 4C扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。如果扇形的圆心角是 n，那么当圆周长 C2 r 时，扇形的弧长计算方法：L 360n2 r 180n r例 1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)如图，ABCD 是边长为 10 厘米的正方形，且 AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是 平方厘米。( 取 3.14)点拨 过 E 点作 AB 的垂线，垂足为 O，因为CAB45，所以点 O 是半圆的圆心，则阴影部分的面积等于梯形 OECB 的面积，减去圆 O 面积的 14。解 过 E 点作 AB 的
3、垂线，垂足为 0。CAB45，点 0 是半圆的圆心。则 S 阴影 S 梯形 OECB 14SO(510)52 5217.875(平方厘米)例 2 将半径分别是 4 厘米和 3 厘米的两个半圆，如图放置。求阴影部分的周长。点拨 阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长，再加两条线段的长。两个半圆的半径分别为 4 厘米和 3 厘米；两条线段分别是 4 厘米和 3242(厘米)。解 (1)两个半圆的弧长是：23.144223.143212.569.4221.98(厘米)(2)两条线段的长：4(324)6(厘米)(3)阴影部分的周长为：21.98627.98(厘米)答：阴影部分的周长是 29.98
4、 厘米。例 3 直径均为 1 分米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如下图。试求金属带的长度和阴影部分的面积。点拨 要想求金属带的长度，我们必须把它分成 8 个部分来观察，金属带的长度正好是管子直径的 4 倍和一根管子圆周长度的总和。中心阴影部分的面积等于中间正方形的面积减去一个圆的面积，其中正方形的边长等于直径。解 金属带的长度：143.1417.14(分米)阴影面积：113.14( 12)210.7850.215(平方分米)答：金属带的长度为 7.14 分米，阴影部分的面积为 0.215 平方分米。说明 我们在计算比较复杂的周长和面积时，要善于把这个圆形分解再重新组合，这样才会看得清楚
5、明白。例 4 如图，圆的周长是 12.56 厘米，圆的面积是长方形面积的 25，求阴影部分的周长。点拨 阴影部分的周长是半圆的弧长，加上两条长方形的长和一条宽。已知圆的周长，容易求出半径，再求出圆的面积。求出圆的面积，就可以求出长方形的面积，长方形的宽就是圆的直径，从而可以求出长方形的长，这样就可以求出阴影部分的周长了。解 半圆的弧长：12.5626.28(厘米)长方形的面积：3.14(12.563.142)2 53.144 2531.4(平方厘米)长方形的长：31.4(12.563.14)7.85(厘米)阴影部分的周长：6.287.85212.563.146.2815.7425.98(厘米)
6、答：阴影部分的周长为 25.96 厘米。例 5 如右图，半圆的半径为 15 厘米，AOB90，COD120，CD26 厘米，半圆中阴影部分的面积是多少平方厘米？点拨 本题是一道比较复杂的问题，需要引辅助线和求扇形面积等方面的知识。解 三角形 COD 的面积：过点 O 作 CD 的垂线交互 AB于 F，交 CD 于 E，连接 DF，因为FOD60，则DFO 是正三角形。DE 为DFO 的对称轴，所以 FEEO7.5(厘米)。则三角形 COD 的面积为：267.5 1297.5(平方厘米)圆心角为 120的扇形的面积：23.14560120 53.14753.14235.5( 平方厘米)由弦 CD
7、 和弧 ACD围成的弓形面积：235.597.5138(平方厘米)圆心角为 90的扇形面积：23.1456090176.625( 平方厘米)三角形 AOB 的面积：1515 2112.5(平方厘米)由弦 AB 和弧 AB围成的弓形的面积：176.625112.564.125(平方厘米)阴影部分的面积：13864.12573.875(平方厘米)答：阴影部分的面积是 73.875 平方厘米。例 6 如图，在半径 AB 为 20 厘米，圆心角为 45的扇形中，以半径 AB 的中点 O 为圆心，以 OA 为半径画一个半圆，交 BC 于 D。求阴影部分的面积。点拨 图中阴影部分看似两个毫不相干的图形，但
8、如果我们连接 AD 就会发现：弓形 BD 和弓形 AD 的面积相等，如果用圆心角 45的扇形面积减去中间等腰直角三角形的面积，就可以求出两个阴影部分的面积的和。解 圆心角 45的扇形的面积：23.140645157(平方厘米)等腰直角三角形 ADB 的面积：20(202)2100(平方厘米)阴影部分的面积：15710057(平方厘米)答：阴影部分的面积是 57 平方厘米。说明 在求两块或两块以上阴影部分的面积时，有时也把这几块合在一起求。例 7 如右图所示，大圆的直径是 4 厘米，黑色面积大还是阴影面积大？是黑色部分周长大，还是阴影部分的周长大？并求出各自的面积。点拨 大圆面积 ( 42)24
9、 (平方厘米)，4 个小圆面积 ( 4)244 (平方厘米)，由此我们可以看出，黑色部分面积之和正好等于四个小圆互相重叠的部分面积之和，所以这两部分的面积应相等。黑色部分的周长应该等于大圆周长再加上 8 个 14的小圆周长，而阴影部分的周长恰好等于 8 个 14小圆的周长，所以黑色部分的周长大于阴影部分的周长。解 S 大圆 ( 2)24 (平方厘米)S 小圆 ( )2 (平方厘米)S 阴 8( 14112)2 4(平方厘米)2.28(平方厘米)S 黑 S 大圆 (4S 小圆 S 阴 )4 (4 2.28)2.28(平方厘米)S 阴 S 黑C 大圆 44C 小圆 22C 黑 4 8 12 8 C
10、 阴 8 2C 黑 C 阴解题技巧计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。计算组合图形的面积，有很多图形都是不规则的，很难直接用公式计算出它们的面积，必须将组合图形进行分解，看清组合图形是由哪几个基本图形合并起来的，或是从哪一个基本图形里去掉哪一个或几个基本图形得到的。有时需要把其中的部分图形进行平移、翻转、添加辅助线、割补、等积变形等方法，化难为易，这需要精巧的构思和恰当的解题策略，从而提高自己的形象思维和抽象思维能力。竞赛能级训练A 级1.(第十一届“华罗庚金杯”邀请赛试题)如下左图，圆 O 中直径 AB 与 CD 互相垂直，AB10 厘米，CA50 厘米。以 C 为圆心
11、，CA 为半径画弧 AEB。求月牙 ADBEA(阴影部分)的面积。2.(第五届“希望杯”邀请赛试题)如上右图，大圆直径上的黑点是五等分点，则 A、B、C三部分的面积比为 。3.如下左图所示，正方形的边长为 10 厘米，在正方形中画了两个四分之一圆，试求图中阴影面积。4.如上右图，三角形 ABC 是直角三角形，阴影工的面积比阴影的面积小 23 平方厘米。问BC 的长度是多少厘米？( 取 3)5.如下左图，直径 AB 为 3 厘米的半圆，绕 A 逆时针旋转 60，使 AB 到达 AC 位置。求图中阴影部分的周长。6.上右图中每个小圆的半径是 1 厘米，阴影部分的周长是多少厘米？7.如下左图所示，正
12、方形的边长是 6 厘米，求图中阴影部分的面积。8.如上右图所示，小明从家到学校有三条由半圆弧组成的路可以走，怎么走近？为什么？9.有一个长方形如下左图所示位置，在桌子上不滑动地每秒钟转动 90。试回答下列问题：(1)如果长方形 AB3 厘米，AD4 厘米，ACBD5 厘米。把长方形转动一周后，顶点 A所经过的痕迹的长是多少厘米？(2)13 秒以后，长方形 B 点离 A 点开始位置的水平距离是多少厘米？10.如上右图所示，已知扇形的弧长为 12.56 厘米。求阴影部分的面积。11.右图是 400 米跑道的示意图，两头是两个半圆，每一个半圆的弧长是 100 米；中间是直线，长为 100 米。求两个
13、半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。12.求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米)B 级1.将边长为 1 的正三角形放在一条直线上(如下左图)，让三角形绕顶点 C 顺时针转动到位置 2，再继续这样转到 3 的位置。求 A 点走过的痕迹的长度。2.上右图中的三角板(等腰直角)、正方形纸板、圆形纸板的面积都是 40cm2，阴影部分的面积总和是 30cm2，三张纸板盖住的面积总和是 70cm2。求三张纸板重叠部分 A 的面积。3.下左图是座古钟的示意图，有白、黄、蓝三部分。试问白色部分的面积与蓝色扇形的面积谁更大一些？为什么？4.上右图中正方形的周长是圆环周长的 3 倍。当圆环形绕正方形无滑动地滚动
14、一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？5.在右图中，直角三角形 ABC 的斜边 AC 长 20 厘米，A30，以 C 点为固定点将直角三角形顺时针旋转使斜边 AC 与短边 BC 成一直线。求图中阴影部分的面积。6.已知下左图中半圆直径为 10 厘米，求图中阴影部分的面积。7.在上右图中，AB 长 8cm，OB 长 5cm，求阴影部分的面积。8.求下左图中阴影部分的面积。(圆的半径 r4 厘米)9.如上右图，在每边长为 10 厘米的正方形 ABCD 中，有以 BC 边为半径的 14圆和以 CD 为直径的半圆。求阴影部分的面积。10.如下左图，三角形 ABC 是边长为 24 厘米的正三角形，阴影
15、部分是以每边长为直径画半圆时出现的如图所示的几何图形。求阴影部分的面积。11.求上右图中阴影部分的面积。(单位：厘米)12.求下左图中阴影部分的面积。(单位：厘米)13.求上右图中阴影部分的周长。(单位：厘米)能力测试一、填空题(每题 6 分，共 30 分)1.半圆的周长是 5.14 厘米( 取 3.14)，它的半径是( )。2.长方形、正方形、圆形的周长相等，请按照面积的大小排序。( )( )( )。3.奥运会中我们经常可以看到五环旗，五环图的每个环形的内半径都是 4 厘米，外半径为 5 厘米，其中阴影面积都相等。已知五个圆环盖住的总面积是 122.5 平方厘米，则每个阴影部分的面积是( )
16、平方厘米。4.下左图中阴影部分的面积是( )平方厘米。5.上右图中三个等圆的半径为 5cm，三个圆两两交于圆心。则阴影部分的面积为( )。二、选择题(每题 5 分，共 10 分)1.一个圆形的周长扩大 8 倍，面积扩大( )倍。A.16 B.64 C.82.如右图所示，图中扇形的半径为 8 厘米，圆心角为 45，阴影部分的面积为( )平方厘米。A.200.96 B.6.88 C.9.12三、解答题(每题 12 分，共 60 分)1.求下左图中阴影部分的面积。(单位：厘米)2.如上右图所示，求阴影部分的面积。(单位：厘米)3.一个直径为 4 厘米的半圆，让点 A 不动，把整个半圆顺时针旋转 45，此时 B 移至点B1，如下左图。求图中阴影部分的面积。4.求上右图中阴影部分的面积(单位：米)。5.已知图中两个正方形的边长分别为 1 厘米和 2 厘米，求阴影部分的面积。
