1、1高 考 理 科 数 学 必 会 知 识 点 总 结1 集 合 与 简 易 逻 辑一 、 集 合 间 的 关 系 及 其 运 算（ 1） 符 号 “ , ” 是 表 示 元 素 与 集 合 之 间 关 系 的 ， 如 立 体 几 何 中 的 体 现 点 与 直 线 （ 面 ） 的 关 系 ；符 号 “ , ” 或 “ ， ” 或 “ ” 等 是 表 示 集 合 与 集 合 之 间 关 系 的 ， 立 体 几 何 中 的 体 现 面 与 直线 (面 )的 关 系 。（ 2） A B = ； A B = ； UC A= .（ 3） 交 、 并 、 补 的 运 算 性 质 ： 对 于 任 意 集 合
2、 A、 B， ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B 切 记 ： A B A B A A B A B B .（ 4） 集 合 中 元 素 的 个 数 的 计 算 ：若 集 合 A 中 有 n个 元 素 ， 则 集 合 A的 所 有 不 同 的 子 集 个 数 为 2n ， 所 有 真 子 集 的 个 数 是 (2n 1)， 所有 非 空 真 子 集 的 个 数 是 (2n 2)。二 、 常 用 逻 辑 用 语 ：1、 四 种 命 题 ： 原 命 题 ： 若 p 则 q； 逆 命 题 ： 若 q 则 p； 否 命 题 ： 若 p 则 q；
3、逆 否 命 题 ： 若 q 则 p注 ： 1、 原 命 题 与 逆 否 命 题 等 价 ； 逆 命 题 与 否 命 题 等 价 。 判 断 命 题 真 假 时 注 意 转 化 。2、 注 意 命 题 的 否 定 与 否 命 题 的 区 别 ： 命 题 p q 否 定 形 式 是 p q ； 否 命 题 是 p q .命 题 “ p或 q ” 的 否 定 是 “ p 且 q ” ； “ p且 q ” 的 否 定 是 “ p 或 q ” .3、 逻 辑 联 结 词 ： 且 (and) ： 命 题 形 式 pq； p q pq pq p 或 （ or） ： 命 题 形 式 pq； 真 真 真 真 假
4、 非 （ not） ： 命 题 形 式 p . 真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真“ 或 命 题 ” 的 真 假 特 点 是 “ 一 真 即 真 ， 要 假 全 假 ” ；“ 且 命 题 ” 的 真 假 特 点 是 “ 一 假 即 假 ， 要 真 全 真 ” ；“ 非 命 题 ” 的 真 假 特 点 是 “ 一 真 一 假 ”4、 充 要 条 件由 条 件 可 推 出 结 论 ， 条 件 是 结 论 成 立 的 充 分 条 件 ； 由 结 论 可 推 出 条 件 ， 则 条 件 是 结 论 成 立 的 必 要 条 件 。5、 全 称 命 题 与 特 称 命 题 ：短 语 “
5、 所 有 ” 在 陈 述 中 表 示 所 述 事 物 的 全 体 ， 逻 辑 中 通 常 叫 做 全 称 量 词 ， 并 用 符 号 表 示 。 含 有 全 体 量 词的 命 题 ， 叫 做 全 称 命 题 。短 语 “ 有 一 个 ” 或 “ 有 些 ” 或 “ 至 少 有 一 个 ” 在 陈 述 中 表 示 所 述 事 物 的 个 体 或 部 分 ， 逻 辑 中 通 常 叫 做 存 在量 词 ， 并 用 符 号 表 示 ， 含 有 存 在 量 词 的 命 题 ， 叫 做 存 在 性 命 题 。全 称 命 题 p： )(, xpMx ； 全 称 命 题 p的 否 定 p： )(, xpMx
6、。特 称 命 题 p： )(, xpMx ； 特 称 命 题 p的 否 定 p： )(, xpMx ；2函 数 和 导 数一 、 函 数 的 性 质1 定 义 域 （ 自 然 定 义 域 、 分 段 函 数 的 定 义 域 、 应 用 题 中 的 定 义 域 等 ） ；22 值 域 （ 求 值 域 ： 分 析 法 、 图 象 法 、 单 调 性 法 、 基 本 不 等 式 法 、 换 元 法 、 判 别 式 法 等 ） ；3 奇 偶 性 （ 在 整 个 定 义 域 内 考 虑 ） ， 判 断 方 法 ： . 定 义 法 步 骤 ： 求 出 定 义 域 并 判 断 定 义 域 是 否 关 于 原
7、 点 对 称 ； 求 )( xf ；比 较 )()( xfxf 与 或 )()( xfxf 与 的 关 系 ； .图 象 法 ；常 用 的 结 论 已 知 ： )()()( xgxfxH 若 非 零 函 数 )(),( xgxf 的 奇 偶 性 相 同 ， 则 在 公 共 定 义 域 内 )(xH 为 偶 函 数 ；若 非 零 函 数 )(),( xgxf 的 奇 偶 性 相 反 ， 则 在 公 共 定 义 域 内 )(xH 为 奇 函 数 ； 若 )(xf 是 奇 函 数 ， 且 定 义 域0 ， 则 (0) 0f .4 单 调 性 （ 在 定 义 域 的 某 一 个 子 集 内 考 虑 ）
8、 ， 证 明 函 数 单 调 性 的 方 法 ：（ 1） .定 义 法 步 骤 ： 设 2121, xxAxx 且 ； 作 差 )()( 21 xfxf （ 一 般 结 果 要 分 解 为 若 干 个因 式 的 乘 积 ， 且 每 一 个 因 式 的 正 或 负 号 能 清 楚 地 判 断 出 ） ； 判 断 正 负 号 。另 解 ： 设 2121 , xxbaxx 那 么 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x 1 21 2( ) ( ) 0 ( ) ,f x f x f x a bx x 在 上 是 增 函 数 ； 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f
9、 x f x 1 21 2( ) ( ) 0 ( ) ,f x f x f x a bx x 在 上 是 减 函 数 .（ 2） .（ 多 项 式 函 数 ） 用 导 数 证 明 ： 若 )(xf 在 某 个 区 间 A内 有 导 数 ， 则( ) 0f x x A )(xf 在 A内 为 增 函 数 ； ( ) 0f x x A )(xf 在 A内 为 减 函 数 .（ 3） 求 单 调 区 间 的 方 法 ： a.定 义 法 ： b.导 数 法 ： c.图 象 法 ：d.复 合 函 数 )(xgfy 在 公 共 定 义 域 上 的 单 调 性 ： 若 f与 g的 单 调 性 相 同 ， 则
10、 )(xgf 为 增 函 数 ；若 f与 g的 单 调 性 相 反 ， 则 )(xgf 为 减 函 数 。 注 意 ： 先 求 定 义 域 ， 单 调 区 间 是 定 义 域 的 子 集 .（ 4） 一 些 有 用 的 结 论 ： 奇 函 数 在 其 对 称 区 间 上 的 单 调 性 相 同 ； 偶 函 数 在 其 对 称 区 间 上 的 单 调 性 相 反 ； 在 公 共 定 义 域 内 ：F（ x） （ 增 ） = )(xf （ 增 ） + )(xg （ 增 ） ； F（ x） （ 减 ） = )(xf （ 减 ） + )(xg （ 减 ） ；F（ x） （ 增 ） = )(xf （ 增
11、 ） )(xg （ 减 ） ； F（ x） （ 减 ） = )(xf （ 减 ） )(xg （ 增 ） ； 一 个 重 要 的 函 数 ： 函 数 )0,0( baxbaxy 在 , baba 或 上 单 调 递 增 ； 在 baba ，或 00, 上 是 单 调 递 减 .5 函 数 的 周 期 性（ 1） 定 义 ： 若 T为 非 零 常 数 ， 对 于 定 义 域 内 的 任 一 x， 使 )()( xfTxf 恒 成 立 ， 则 ( )f x 叫 做 周期 函 数 ， T叫 做 这 个 函 数 ( )f x 的 一 个 周 期 .T的 整 数 倍 都 是 ( )f x 的 周 期 。二
12、 、 函 数 的 图 象1 基 本 函 数 的 图 象 ： （ 1） 一 次 函 数 、 （ 2） 二 次 函 数 、 （ 3） 反 比 例 函 数 、 （ 4） 指 数 函 数 、 （ 5） 对 数 函 数 、3（ 6） 三 角 函 数 、 （ 7） 函 数 )0,0( baxbaxy .2 图 象 的 变 换（ 1） 平 移 变 换 函 数 ( )( 0)y f x a a 的 图 象 是 把 函 数 ( )y f x 的 图 象 沿 x轴 向 左 平 移 a个 单 位 得 到 的 ； 函 数( )( 0)y f x a a 的 图 象 是 把 函 数 ( )y f x 的 图 象 沿 x
13、轴 向 右 平 移 a个 单 位 得 到 的 ； 函 数 ( ) ( 0)y f x a a 的 图 象 是 把 函 数 ( )y f x 的 图 象 沿 y 轴 向 上 平 移 a个 单 位 得 到 的 ； 函 数( ) ( 0)y f x a a 的 图 象 是 把 函 数 ( )y f x 的 图 象 沿 y 轴 向 下 平 移 a个 单 位 得 到 的 ；（ 2） 对 称 变 换 函 数 )(xfy 与 函 数 )( xfy 的 图 象 关 于 直 线 x=0对 称 ；函 数 )(xfy 与 函 数 )(xfy 的 图 象 关 于 直 线 y=0对 称 ；函 数 )(xfy 与 函 数
14、 )( xfy 的 图 象 关 于 坐 标 原 点 对 称 ； 如 果 函 数 )(xfy 对 于 一 切 ,Rx 都 有 ( )f a x ( )f a x ， 那 么 )(xfy 的 图 象 关 于 直 线ax 对 称 ； 如 果 函 数 )(xfy 对 于 一 切 ,Rx 都 有 ( ) ( ) 2f a x f a x b ， 那 么 )(xfy 的 图 象关 于 点 ( , )a b 对 称 。 函 数 )( xafy 与 函 数 )( xafy 的 图 象 关 于 直 线 ax 对 称 。 )(1 xfy 与 )(xfy 关 于 直 xy 对 称 。（ 3） 伸 缩 变 换 （ 主
15、 要 在 三 角 函 数 的 图 象 变 换 中 ）三 、 函 数 的 反 函 数 ：1 求 反 函 数 的 步 骤 ：（ 1） 求 原 函 数 )(xfy )( Ax 的 值 域 B（ 2） 把 )(xfy 看 作 方 程 ， 解 出 )(yx （ 注 意 开 平 方 时 的 符 号 取 舍 ） ；（ 3） 互 换 x、 y， 得 )(xfy 的 反 函 数 为 )(1 xfy )( Bx .2 定 理 ： （ 1） bafabf )()(1 ， 即 点 ( , )a b 在 原 函 数 图 象 上 点 ( , )b a 在 反 函 数 图 象 上 ；（ 2） 原 函 数 与 反 函 数 的
16、 图 象 关 于 直 线 y x 对 称 .3 有 用 的 结 论 ： 原 函 数 )(xfy 在 区 间 , aa 上 单 调 的 ， 则 一 定 存 在 反 函 数 ， 且 反 函 数 )(1 xfy 也单 调 的 ， 且 单 调 性 相 同 ； 但 一 个 函 数 存 在 反 函 数 ， 此 函 数 不 一 定 单 调 。四 、 函 数 、 方 程 与 不 等 式1 “ 实 系 数 一 元 二 次 方 程 02 cbxax 有 实 数 解 ” 转 化 为 “ 042 acb ” ， 你 是 否 注 意 到 必须 0a ； 当 a=0 时 ， “ 方 程 有 解 ” 不 能 转 化 为 0
17、42 acb 。 若 原 题 中 没 有 指 出 是 “ 二 次 ” 方 程 、函 数 或 不 等 式 ， 你 是 否 考 虑 到 二 次 项 系 数 可 能 为 零 的 情 形 ？2、 利 用 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 ， 讨 论 一 元 二 次 方 程 实 根 的 分 布 。设 21,xx 为 方 程 )0(,0)( axf 的 两 个 实 根 。 若 , 21 mxmx 则 0)( mf ； 当 在 区 间 ),( nm 内 有 且 只 有 一 个 实 根 ， 时 ， 考 虑 端 点 ， 验 证 端 点 。)2( 0)()()1( nfmf4 当 在 区 间 ),( nm
18、内 有 且 只 有 两 个 实 根 时 ， 若 qxpnxm 21 时注 意 ： 根 据 要 求 先 画 出 抛 物 线 ， 然 后 写 出 图 象 成 立 的 充 要 条 件 。 注 意 端 点 ， 验 证 端 点 。五 、 指 数 函 数 与 对 数 函 数1 指 数 式 与 对 数 式 ： 0, 1, , 0 loga a b R Nb aa N N b 对 数 的 三 个 性 质 ： 0N ； log 1 0a ； log 1a a 对 数 恒 等 式 ： loga Na N ； loglog logma mNN a ； log logm n aa nM Mm对 数 运 算 性 质 ：
19、 log( ) log loga a aMN M N ； log logna aM n M ； log log loga a aM M NN .( 0. 1, 0, 0)a a M N 指 数 运 算 性 质 ： r s r sa a a ( )r s rsa a r r rab a b 0, 0, ,a b r s Q 2 指 数 函 数 与 对 数 函 数（ 1） 特 征 图 象 与 性 质 归 纳 （ 列 表 ）指 数 函 数 y=ax (a0,a 1) 对 数 函 数 y=log ax(a0,a 1)特 征 图象 01 01定 义 域 （ ， + ） （ 0， + ）值 域 （ 0，
20、+ ） （ ， + ）单 调 性 减 函 数 增 函 数 减 函 数 增 函 数定 点 （ 0， 1） （ 1， 0）函 数 值分 布 x1；x0时 ， 00时 ， y1 00； x1时 ， y1时 ， y0（ 2） 有 用 的 结 论 函 数 xy a 与 logay x （ 0a 且 0a ） 图 象 关 于 直 线 y x 对 称 ； 函 数 xy a 与 xy a （ 0a 且 1a ） 图 象 关 于 y 轴 对 称 ； 函 数 1logay x 与 logay x （ 0a 且 0a ） 图 象 关 于 x轴 对 称 . 记 住 两 个 指 数 （ 对 数 ） 函 数 的 图 象
21、如 何 区 别 ？六 、 导 数 ：1 几 种 常 见 函 数 的 导 数(1) 0C （ C 为 常 数 ） (2) 1( ) ( )nnx nx n Q (3) xx cos)(sin (4) xx sin)(cos (5) xx 1)(ln （ 6） eax xa log1)(log (7) xx ee )( （ 8） aaa xx ln)( 0)( 0)( 20nf mf nabm ( ) 0( ) 0( ) 0( ) 0f mf nf pf q 52 导 数 的 运 算 法 则（ 1） ( )u v u v （ 2） ( )uv uv uv （ 3） 2( ) ( 0)u uv uv
22、 vv v .3 复 合 函 数 的 求 导 法 则设 函 数 ( )u x 在 点 x 处 有 导 数 ( )xu x ， 函 数 )(ufy 在 点 x 处 的 对 应 点 U 处 有 导 数 ( )uy f u ， 则 复 合 函 数 ( ( )y f x 在 点 x处 有 导 数 ， 且 x u xy y u ， 或 写 作 ( ( ) ( ) ( )xf x f u x .4 导 数 的 几 何 物 理 意 义 ：（ 1） 几 何 意 义 ： k f/(x0)表 示 曲 线 y=f(x)在 点 P(x0,f(x0)的 切 线 的 斜 率 。曲 线 在 点 P(x0,f(x0)处 的
23、切 线 方 程 为 ： /0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x （ 2） V s/(t)表 示 即 时 速 度 ， a=v/(t) 表 示 加 速 度 。5 单 调 区 间 的 求 解 过 程 ： 已 知 )(xfy 分 析 )(xfy 的 定 义 域 ； 求 导 数 )(xfy ； 解 不 等 式 0)( xf ， 解 集 在 定 义 域 内 的 部 分 为 增 区 间 ； 解 不 等 式 0)( xf ， 解 集 在 定 义 域 内 的 部分 为 减 区 间 。 （ 或 用 列 表 法 ， 见 课 本 ）6 求 极 大 、 极 小 值 ： 已 知 )(xfy 分 析 )
24、(xfy 的 定 义 域 ； 求 导 数 )(xfy ； 求 解 方 程 ( ) 0f x （ 设 有 根 1 2, , , nx x x ） ； 列 表 判 断 1n 个 区 间 内 导 数 的 符 号 ， 判 断 1 2( ), ( ), , ( )nf x f x f x 是 否 为 极 值 ， 如 果 是 ， 是 极 大 还是 极 小 值 。注 ： 判 别 )( 0xf 是 极 大 （ 小 ） 值 的 方 法当 函 数 )(xf 在 点 0x 处 连 续 时 ，（ 1） 如 果 在 0x 附 近 的 左 侧 0)( xf ， 右 侧 0)( xf ， 则 )( 0xf 是 极 大 值
25、；（ 2） 如 果 在 0x 附 近 的 左 侧 0)( xf ， 右 侧 0)( xf ， 则 )( 0xf 是 极 小 值 .注 意 ： f/(x0) 0 不 能 得 到 当 x=x0时 ， 函 数 有 极 值 ； 但 是 ， 当 x=x0时 ， 函 数 有 极 值 f/(x0) 07 求 函 数 在 某 闭 区 间 a,b上 的 最 大 、 最 小 值 ： 同 上 ； 比 较 ( )f a 、 1 2( ), ( ), , ( )nf x f x f x 、 ( )f b ， 最 大 的 为 max( )f x ， 最 小 的 为 min( )f x .注 意 ： 极 值 最 值 ； 最
26、 值 问 题 一 般 仅 在 闭 区 间 上 研 究 （ 实 际 应 用 题 除 外 ， 即 应 用 题 中 有 开 区 间 问 题 ） .3 数 列一 、 数 列 的 定 义 和 基 本 问 题1 通 项 公 式 ： )(nfan （ 用 函 数 的 观 念 理 解 和 研 究 数 列 ， 特 别 注 意 其 定 义 域 的 特 殊 性 ） ；2 前 n项 和 ： 1 2n nS a a a = ；3 通 项 公 式 与 前 n项 和 的 关 系 （ 是 数 列 的 基 本 问 题 也 是 考 试 的 热 点 ） ： 1 1, 1, 2n n nS na S S n 二 、 等 差 数 列
27、：1 定 义 和 等 价 定 义 ： 1 ( 2) n n na a d n a 是 等 差 数 列 ；2 通 项 公 式 ： BAndnaan )1(1 ； 推 广 ： dmnaa mn )( ；63 前 n项 和 公 式 ： BnAndnnnanaaS nn 211 2 )1(2 ；4 重 要 性 质 举 例 ： a与 b的 等 差 中 项 2a bA ； 若 m n p q ， 则 m n p qa a a a ； 特 别 地 ： 若 2m n p ， 则 2m n pa a a ； 奇 数 项 1 3 5, ,a a a ， 成 等 差 数 列 ， 公 差 为 2d ； 偶 数 项 2
28、 4 6, ,a a a ， 成 等 差 数 列 ， 公 差 为 2d . 若 有 奇 数 项 2 1n 项 ， 则 2 1 (2 1)nS n a 中 ； 中偶奇 aS S ， 中奇 a21nS ， 中偶 a21nS ， （ n 1a =a 中 ） ；若 有 偶 数 项 2n项 , 则 d2nS 奇偶S ， 其 中 d为 公 差 ； 设 nA=S ， 2n nB=S -S ， 3n 2nC=S -S ， 则 有 CAB 2 ； 当 1 0, 0a d 时 ， nS 有 最 大 值 ； 当 1 0, 0a d 时 ， nS 有 最 小 值 . 用 一 次 函 数 理 解 等 差 数 列 的 通
29、 项 公 式 ； 用 二 次 函 数 理 解 等 差 数 列 的 前 n项 和 公 式 .（ 8） 若 等 差 数 列 na 的 前 12 n 项 的 和 为 12 nS ， 等 差 数 列 nb 的 前 12 n 项 的 和 为 12 nS ， 则 12 12 nnnn SSba三 、 等 比 数 列 ：1 定 义 ： 1 ( 2, 0, 0) n n nna q n a q aa 成 等 比 数 列 ；2 通 项 公 式 ： 11 nn qaa ； 推 广 n mn ma a q ；3 前 n项 和 1 11 ( 1)(1 ) ( 1)1 1nn nna qS a a qa q qq q
30、； （ 注 意 对 公 比 的 讨 论 ）4 重 要 性 质 举 例 a与 b的 等 比 中 项 G 2G ab G ab （ ,a b同 号 ） ； 若 m n p q ， 则 m n p qa a a a ； 特 别 地 ： 若 2m n p ， 则 2m n pa a a ； 设 nA=S ， 2n nB=S -S ， 3n 2nC=S -S ， 则 有 2B A C ； 用 指 数 函 数 理 解 等 比 数 列 （ 当 1 0, 0, 1a q q 时 ） 的 通 项 公 式 .四 、 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 关 系 举 例1 na 成 等 差 数 列 nab 成 等
31、 比 数 列 ； 2 na 成 等 比 数 列 0 logna b na 成 等 差 数 列 .五 、 数 列 求 和 方 法 ：1 等 差 数 列 与 等 比 数 列 ； 2 几 种 特 殊 的 求 和 方 法（ 1） 裂 项 相 消 法 ； )11(1)( 1 CAnBAnBCCAnBAnan （ 2） 错 位 相 减 法 ： nnn cba , 其 中 nb 是 等 差 数 列 ， nc 是 等 比 数 列7记 nnnnn cbcbcbcbS 112211 ； 则 1 2 1 1n n n n nqS bc b c b c ， （ 3） 通 项 分 解 法 ： nnn cba 六 、 递
32、 推 数 列 与 数 列 思 想1 递 推 数 列（ 1） 能 根 据 递 推 公 式 写 出 数 列 的 前 几 项 ；（ 2） 常 见 题 型 ： 由 ( , ) 0n nf S a ， 求 ,n na S .解 题 思 路 ： 利 用 )2(,1 nSSa nnn2 数 学 思 想（ 1） 迭 加 累 加 （ 等 差 数 列 的 通 项 公 式 的 推 导 方 法 ） 若 1 ( ),( 2)n na a f n n ， 则 ；（ 2） 迭 乘 累 乘 （ 等 比 数 列 的 通 项 公 式 的 推 导 方 法 ） 若 1 ( )( 2)nna g n na ， 则 ；（ 3） 逆 序
33、相 加 （ 等 差 数 列 求 和 公 式 的 推 导 方 法 ） ；（ 4） 错 位 相 减 （ 等 比 数 列 求 和 公 式 的 推 导 方 法 ） .4 三 角 函 数一 、 三 角 函 数 的 基 本 概 念1 终 边 相 同 的 角 的 表 示 方 法 （ 终 边 在 x轴 上 ； 终 边 在 y 轴 上 ； 终 边 在 直 线 y x 上 ； 终 边 在 第 一 象 限等 ） ， 理 解 弧 度 的 意 义 ， 并 能 正 确 进 行 弧 度 和 角 度 的 换 算 ；2 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 （ 三 个 三 角 函 数 ） 、 三 角 函 数 的 符 号
34、规 律 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 同 角 三 角 函数 的 关 系 式 （ 三 个 ： 平 方 关 系 、 商 数 关 系 、 倒 数 关 系 ） 2 2sin cos 1 ， tan = cossin ，2211 tan cos 诱 导 公 式 （ 奇 变 偶 不 变 ， 符 号 看 象 限 ： 二 、 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数1 和 （ 差 ） 角 公 式（ 1） sin( ) = ； （ 2） sin( ) = .（ 3） cos( ) = ； （ 4） cos( ) = .（ 5） tan( ) = ； （ 6） tan( ) = .2 二 倍 角 公
35、式 ： （ 1） sin2= ；（ 2） cos2= = = ；（ 3） tan2= .3 有 用 的 公 式（ 1） 升 （ 降 ） 幂 公 式 ： 2 1 cos2sin 2 、 2 1 cos2cos 2 ； 1sin cos sin22 ；（ 2） 辅 助 角 公 式 ： 2 2sin cos sin( )a b a b （ 由 ,a b具 体 的 值 确 定 ） ；（ 3） 正 切 公 式 的 变 形 ： tan tan tan( )(1 tan tan ) tan tantan tan 1 tan( ) 4 有 用 的 解 题 思 路（ 1） “ 变 角 找 思 路 ， 范 围 保
36、 运 算 ” ； （ 2） “ 降 幂 辅 助 角 公 式 正 弦 型 函 数 ” ；（ 3） 巧 用 sin cos 与 sin cos 的 关 系 ； （ 4） 巧 用 三 角 函 数 线 数 形 结 合 .三 、 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质1 列 表 综 合 三 个 三 角 函 数 siny x ， cosy x ， tany x 的 图 象 与 性 质 ， 并 挖 掘 ：8（ 1） 最 值 的 情 况 ； （ 2） 三 函 数 的 周 期 公 式 ：函 数 sin( )y A x ， x R 及 函 数 cos( )y A x ， x R(A, , 为 常 数 ， 且 A
37、0， 0)的 周 期2T ； 若 未 说 明 大 于 0,则 2| |T ； 函 数 tan( )y x ， ,2x k k Z (A, , 为 常 数 ，且 A 0， 0)的 周 期 T .（ 3） 会 从 图 象 归 纳 单 调 性 、 对 称 轴 和 对 称 中 心 ；siny x 的 单 调 递 增 区 间 为 2 ,22 2k k k Z 单 调 递 减 区 间 为32 ,22 2k k k Z ， 对 称 轴 为 ( )2x k k Z ,对 称 中 心 为 ,0k ( )k Zcosy x 的 单 调 递 增 区 间 为 2 ,2k k k Z 单 调 递 减 区 间 为 2 ,
38、2k k k Z ，对 称 轴 为 ( )x k k Z ,对 称 中 心 为 ,02k ( )k Ztany x 的 单 调 递 增 区 间 为 ,2 2k k k Z ， 对 称 中 心 为 ( ,0)( )2k k Z 2 了 解 正 弦 、 余 弦 、 正 切 函 数 的 图 象 的 画 法 ， 会 用 “ 五 点 法 ” 画 正 弦 、 余 弦 函 数 和 函 数 sin( )y A x 的 简 图 ， 并 能 由 图 象 写 出 解 析 式 （ 1） “ 五 点 法 ” 作 图 的 列 表 方 式 ；（ 2） 求 解 析 式 sin( )y A x 时 初 相 的 确 定 方 法
39、： 代 （ 最 高 、 低 ） 点 法 、 公 式 1x .3 正 弦 型 函 数 sin( )y A x 的 图 象 变 换切 记 ： sin sin( )y A x y A x 平 移注 意 图 象 变 换 有 时 用 向 量 表 达 ， 注 意 两 者 之 间 的 转 译 .四 、 解 三 角 形 、1 三 个 重 要 结 论（ 1） 正 弦 定 理 ： 2sin sina b c RA sinB C （ 2R为 三 角 形 ABC的 外 接 圆 直 径 ） 或 写 成: : sin :sin :sina b c A B C（ 2） 余 弦 定 理 ： Aabcba cos2222 ，
40、或 写 成 ab acbA 2cos 222 （ 3） 三 角 形 ABC面 积 公 式 ： 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B 2 在 使 用 正 弦 定 理 时 判 断 一 解 或 二 解 的 方 法 ： ABC中 ， sin sinA B A B 5 平 面 向 量 和 空 间 向 量一 、 向 量 的 基 本 概 念向 量 的 定 义 、 向 量 的 模 、 零 向 量 、 单 位 向 量 、 相 反 向 量 、 共 线 向 量 、 相 等 向 量 .二 、 加 法 与 减 法 运 算1 代 数 运 算(1) nnn AAAAAAAA 11322
41、1 (2)若 a=（ 11,yx ） , b=（ 22,yx ） 则 a b=（ 2121 , yyxx ） 2 几 何 表 示 ： 平 行 四 边 形 法 则 、 三 角 形 法 则 。以 向 量 AB =a、 AD=b为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD， 则 两 条 对 角 线 的 向 量 AC =a+b ,BD=b a,DB=a b.且 有 a b a b a + b 93 运 算 律向 量 加 法 有 如 下 规 律 ： a b=b a(交 换 律 )；a+(b + c)=(a+ b )+ c（ 结 合 律 ） ； a+0=a a ( a)=0.三 、 实 数 与 向 量 的
42、 积实 数 与 向 量 a的 积 是 一 个 向 量 。 1 a = a ；(1) 当 0时 ， a与 a的 方 向 相 同 ； 当 0 时 ， a与 a的 方 向 相 反 ； 当 =0时 ， a=0(2)若 a=（ 11,yx ） ， 则 a=（ 11, yx ） 2 两 个 向 量 共 线 的 充 要 条 件 ：(1) 向 量 b与 非 零 向 量 a共 线 的 充 要 条 件 是 ： 有 且 仅 有 一 个 实 数 ， 使 得 b= a(2) 若 a=（ 11,yx ） , b =（ 22,yx ） 则 a b 01221 yxyx 四 、 平 面 向 量 基 本 定 理1 若 1e、
43、2e是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a， 有 且 只 有 一 对 实数 1 ， 2 ， 使 得 a= 1 1e+ 2 2e2 有 用 的 结 论 ： 若 1e 、 2e是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 若 一 对 实 数 1 ， 2 ， 使 得 1 1e+ 2 2e=0，则 1 = 2 =0.五 、 向 量 的 数 量 积 ；1 向 量 的 夹 角 ：已 知 两 个 非 零 向 量 a与 b ， 作 OA=a, OB = b ,则 AOB= （ 00 1800 ） 叫 做 向 量 a与
44、 b 的 夹角 （ 两 个 向 量 必 须 有 相 同 的 起 点 ） 。2 两 个 向 量 的 数 量 积 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a与 b ， 它 们 的 夹 角 为 ，则 a b = a b cos 其 中 b cos 称 为 向 量 b 在 a方 向 上 的 投 影 3 向 量 的 数 量 积 的 性 质 ： 若 a=（ 11,yx ） , b =（ 22,yx ）（ 1） e a=a e= a cos (e为 单 位 向 量 )；（ 2） a b a b =0 02121 yyxx （ a， b 为 非 零 向 量 ） ；（ 3） a = 2 21 1a a x y ；（ 4） cos = a ba b = 22222121 2121 yxyx yyxx （ 可 用 于 判 定 角 是 锐 角 还 是 钝 角
