1、成都市和圆教育和圆教育一对一个性化教案高一数学2015、2、6平面向量抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得 恒成立，()fxxT()(fxTf则称函数 具
2、有周期性， 叫做 的一个周期，则 （ ）也是T()fk,0Zk)fx的周期，所有周期中的最小正数叫 的最小正周期。x二、函数对称性的几个重要结论（一）函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy1、 图象关于直线 对称)()(bfaf)(xfy2)(baxax推论 1： 的图象关于直线 对称ax推论 2、 的图象关于直线 对称)2()ff)(xfyax推论 3、 的图象关于直线 对称xx2、 的图象关于点 对称cbfaf)()()(xfy),2(cb推论 1、 的图象关于点 对称bxa2a推论 2、 的图象关于点 对称fx)()(xfy),(b推论 3、 的图象关于点 对称x（二）两个函数的图
3、象对称性（相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数 与 图象关于 Y 轴对称)(xfy)(xf2、奇函数 与 图象关于原点对称函数3、函数 与 图象关于 X 轴对称)(xfy()fx4、互为反函数 与函数 图象关于直线 对称1()yfyx5.函数 与 图象关于直线 对称 )(xafy(xbf 2ab推论 1:函数 与 图象关于直线 对称f)afy0x推论 2:函数 与 图象关于直线 对称)(xy2(xa推论 3:函数 与 图象关于直线 对称f)fyx三、函数周期性的几个重要结论若 ，则 具有周期性；若 ，则()()fxafxb()fx()()faxfbx具有对称性：“内同
4、表示周期性，内反表示对称性” 。)f1、 ( ) 的周期为 ， ( )也是函数的周期()fxTf0)(xfyTkZ2、 的周期为ab ab3、 的周期为)()(xfxf)(xfy24、 的周期为)(1faffaT5、 的周期为)(xfxf)(xfy211、 有两条对称轴 和 周期fyab)a)(xfy)(2abT推论：偶函数 满足 周期)(xf()(xff12、 有两个对称中心 和 周期fy0,)(xfy)(推论：奇函数 满足 周期)(xf()(xaffaT413、 有一条对称轴 和一个对称中心 的)(xfyax)0,(ba()fx)(4abT四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活
5、应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例 1.设 是 上的奇函数， 当 时，)(xf),),()2(xff10，则 等于（ ）f)(5.7（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例 5设 是定义在 上以 2 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区)(xf),()(xf间 上， 求 时， 的解析式.3,2.4322,1x)(xf4、判断函数奇偶性例 6.已知 的周期为 4，且等式 对任意 均成立，)(xf )2()(xffR判断函数 的奇偶性.5、确定函数图象与 轴
6、交点的个数x例 7.设函数 对任意实数 满足 ， )(f )2()(xff)7(f判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.,0)7(xf且 )(f30,例 1：f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)= f(x+4) ，x0，2时 f(x)=x，求 f(2007) 的值 例 3：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 时，f(x)0,2x=2x+1，则当 时求 f(x)的解析式6,4x例 7：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上 f(x)=0 至少有几个根？例 4、 设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则 f(x)是（ ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数
