1、函数对称性、周期性专题一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一)(xfy个值时，都有 都成立，那么就把函数 叫做周期函数，不为零的Tf)(fy常数 T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、 对称性定义（略） ，请用图形来理解。3、 对称性：我们知道：偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式 )(xff奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)x上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数 关于 对称)(xfya(aff
2、也可以写成 或 )(af)2)xx)2()xaf简证：设点 在 上，通过 可知，,1(fyff，即点 上，而点 与点)2(1xfxfy (,1y也 在 ,1y关于 x=a 对称。得证。),2(1若写成： ，函数 关于直线bfaf)(xfy对称2)()(xx（2）函数 关于点 对称fy),(abxaff2)()(或 bxf2上 述 关 系 也 可 以 写 成 f)(简证：设点 在 上，即 ，通过 可),(1xy1fy bxf2知， ，所以 ，所以点bfaf2( 11)( yx也在 上，而点 与 关于 对)2,(1b)xf ),1ya),(),(a称。得证。若写成： ，函数 关于点 对称cfxaf
3、)()( )(xfy)2,(cb（3）函数 关于点 对称:假设函数关于 对称，即关于任一个 值，)(fybyx都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线 c(x,y)=0，则有可能会出现关于 对称，比如圆b by它会关于 y=0 对称。04),(2xc4、 周期性：（1）函数 满足如下关系系，则)(xfyTxf2)(的 周 期 为A、 B、T )(1)(1xfxffTf 或C、 或 （等式右边加负号亦成立）)(1)2(xfxf)()2ffD、其他情形（2）函数 满足 且 ，则可推出fy(xaff)(xbff即)(22()() aabbxaxf 可以得到
4、 的周期为 2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于fx 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足 则可以推出其周期是 2T，且可以推出对称轴)()(xfTxf为 ，根据 可以找出其对称中心为kT2z)2T)0(kT，（以上 ）)(z0如果偶函数满足 则亦可以推出周期是 2T，且可以推出对称中)()(xfTxf心为 ，根据 可以推出对称轴为),2(kTz)2TkTx2（以上 ）)z0（4）如果奇函数 )(xfy满足 )()(xff（ 0） ，则函数 )(fy是以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数 y满足 )(xff（0T） ，则函数 )(f是以 2T 为周期
5、的周期性函数。二、 两个函数的图象对称性1、 )(xfy与 )(xf关于 X 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)(gy)(xgf0y2、 )(f与 )(f关于 Y 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。x)()(f x3、 )(fy与 2(af关于直线 ax对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)gy2xgfa4、 与 关于直线 对称。xffy换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。()(af)(y5、 关于点(a,b)对称。2)(xafbyf与换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点(a,b)对称。)()(gbxgxf2)()6、 与 关于直线 对称。)(xafy)(by2bax
