1、函数的对称性一、 三角函数图像的对称性函 数 对称中心坐标 对称轴方程y = sin x ( k, 0 ) x = k+/2y = cos x ( k+/2 ,0 ) x = ky = tan x (k/2 ,0 ) 无二、两个函数的图象对称性1、 )(f与 (xf关于 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)y)(g)(xgf0y2、 xf与 f关于 Y 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)()(x)(f x3、 )(fy与 2af关于直线 a对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。gy2xgxfa4、 与 关于直线 对称。xf)(xfy换种说法：
2、与 若满足 ，即它们关于 对称。af)(y5、 关于点 对称。2)(afbyf与 (,ab换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点 对称。)(x)gbxgxf2(,)ab6、 与 关于直线 对称。(aff 2二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理 1：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称.xfyxbfafxfy2bax推论 1：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称.fff f推论 2：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 （y 轴）对称.特别xfyxfxfy0x地，推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1 的简化.二、函数的点对称：定理 2：如果函数 满足
3、，则函数 的图象关于点 对称.xfybxaff2xfyba,推论 3：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称.f 0ff f0,推论 4：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于原点 对称.特别地，推xfy0xfxfy0,论 4 就是奇函数的定义和性质.它是上述定理 2 的简化.性质 5：函数 满足 时，函数 的图象关于点（ ， ）对称。()f()()fafbc()f 2abc（二）两个函数的图象对称性（相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线 与 关于 X 轴对称。)(xfy)(xf2、曲线 与 关于 Y 轴对称。3、曲线 与 关于直线 对称。2aax4、曲线 关于直线
4、 对称曲线为 。0),(f b0)2,(ybf5、曲线 关于直线 对称曲线为 。yx0cyx ),cxf6、曲线 关于直线 对称曲线为 。,7、曲线 关于点 对称曲线为 。)(f ),(aP,(af例 1：定义在 R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且 f (5x) = f (5+x),则 f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数例 2.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(1+x)= f(1x),当1x0 时，f (x) = x，则 f (8.6 ) = _ （第八届希望杯高二 第一试题）21例 3若函数 的图象与 的图象关于 对称，则函数x2log3()(xg= 。)(xg例 4函数 的图象关于 对称)()(afyaxfy与 函 数
