1、1高一数学知识点补充-函数的对称性与周期性一、 对称性(轴对称、中心对称)类型:函数自身的对称性探究命题 1、 若函数 y=f(x) 对定义域中任意 x 均有 f(a+x)=f(b-x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 对称。2abx特别地, (1)若 f (x) = f (x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 对称。0x(2)若 f (a +x) = f (ax),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x = a 对称命题 2、 若函数 y=f(x)对定义域中任意 x 均有 f(x+a)+f(b-x)=c,则函数 y=f(x)的图象关于点 成中心对称图形。(,)abc特别地, (1)若
2、 f (x) + f (x) = 0,则函数 y=f(x)的图象关于点 成中心对称图形。0,(2)若 f (x) + f (2ax) = 2b,则函数 y=f(x)的图象关于点 (a ,b)成中心对称图形。二、 周期性1.定义:对于函数 ,如果存在一个非零常数 T。使得当 x 取定义域内的每一个值时,)(xf都有 ,则称 T 为这个函数的一个周期)(Txf2.如果函数 是 R 上的奇函数,且最小正周期为 T,那么 0)2()Tff3. 关于函数的周期性的几个重要性质:(1)如果 是 R 上的周期函数,且一个周期为 T,那么)(xfy )()(Znxfxf(2) ,则 的周期 T=2aaf)(x
3、f(3) 或 或 , 0)(1(fxf )0()1)xfaf )(xfaxf则 的周期 T=2a)xf三、 例题讲解例 1若 ,则 的周期 T= 6a,请推导。)()(axfaxf)(xf2例 2 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)= f(x),当 0x1 时,f (x) = x,则 f (7.5 ) =_例 3 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x2) ,当 2 x3 时, f(x)1f(x) x,则 f(105.5)_.例 4 设函数 )(xfy的定义域为 R,且满足 )1()(xfxf,则 )(xfy图象关于_对称。 1的图象关于_对称。例 5 已知函数 )(xfy满足 0)2()xf,则 )(xfy图象关于_对称。例 6 已知函数 )(xfy对一切实数 x 满足 )4()2(xff,且方程 0)(xf有 5个实根,则这 5 个实根之和为_例 7定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x),当3x1 时,f(x)(x2) 2;当1x3 时,f(x)x. 则 f(1)f(2)f(3)f(2 017)_.