1、3.4 等差数列与等比数列的性质,了解等差数列和等比数列的性质，能够利用性质进行计算和证明,一、.等差数列的性质,1若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ,则为递减等差数列,若公差 ,则为常数列.,d0,d0,d=0,2若数列an成等差数列，则数列AanB也成等差数列 3在等差数列an中，若mnpq (m、n、p、q N*)，则 amanapaq特别地，若m+n=2k，则am+an=2ak与首末两项距离相等的两项之和相等,即 a1+an=a2+an-1= 4若数列an成等差数列，则数列a2n1， a2n也成等差数列（下标成等差，对应的项也成等差）,5若等差数列an的前n项和为Sn，则数列Sm,
2、S2mSm, S3mS2m构成等差数列ak, ak+m ak+2m , ak+3m,成等差数列S2k-1= 6 若an、bn是等差数列，Sn为等差数列an的前n项和，则pan +qbn、sn/ n是等差数列，（其中p、q是常数） 7 若an是等差数列，则 (a0)成等比数列；若an是等比数列，且an0，则lgan是等差数列.,（2k-1）ak,nd,a中,8 在等差数列an中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇= ;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶= ，S2n-1=(2n-1)a中(这里a中 即an );S奇S偶=(k+1)k.9若等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,且 =f(n),则
3、= = =f(2n-1).10“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项 之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小 值是所有非正项之和.,思考：类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列的基本性质,2.等比数列的性质 (1)当m+n=p +q 时，则有 ,特别地，当 m+n=2p 时，则有aman=ap2.(2)若an是等比数列，则kan、an2、1/an成等比数列；(3)若an、bn成等比数列，则anbn、 成等比数列;(4)若an是等比数列,且公比q-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n- S2n,也是 数列.当q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n
4、,是常数数列0,它不是等比数列.,aman=apaq,等比,注意： 下标成等差，对应的项成等比,与首末两项距离相等的两项之积相等,即 a1an=a2an-1=a3an-2=,(5)若a10,q1,则an为 数列；若a11,则an为 数列;若a10,0q1,则an为递减数列；若a10,0q1，则an为递增数列；若q0,则an为摆动数列；若q=1,则an为 数列. (6)当q时,Sn= qn+ = aqn+b,这里a +b=0，但a0，b0，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn判断数列an是否为等比数列.,递增,递减,常,(7)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm. (8)在
5、等比数列an中，当项数为偶数2n时，S偶= ；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶. (9)如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列，故常数数列an仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.,qS奇,1等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于 （ ）,B12,A,C,D 6,2等比数列an中，如果 ，则a1a9的值为 （ ）A3 B9 C3 D9,3设2a=3，2b=6，2c=12，那么数列a、b、c （ ）A是等比数列，但不是等差数列 B是等差数列，但不是等比数列C既是等比数列，又是等差数列 D既不是等比数列，又不是等差数列,B,B,D,
6、4(2009海南)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am20，S2m138，则m( C )A38 B20 C10 D9解析：由已知条件 由知am2，或am0(舍去)将am2代入解得m10.答案：C,5等差数列an的前n项和为Sn，若S22，S410，则S6等于( C )A12 B18 C24 D42解析：S2，S4S2，S6S4成等差数列S2(S6S4)2(S4S2)，S63(S4 S2)24.答案：C,6有2n1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(B)解析：解法一：设原数列为a1，a2，a3，a2n1，公差为d，则a1，a3，a5，a2n1和a2，a4，a6，a2n分别
7、也成等差数列，公差都为2d，S奇a1a3a5a2n1(n1)a1 2d(n1)(a1nd)，S偶a2a4a6a2nna2 2dn(a1d)n(n1)dn(a1nd) .应选B项,解法二：S奇a1a3a2n1 ，S偶a2a4 a2n ，又a1a2n1a2a2n， ，选B项 解法三：由于本题的结果对任意的等差数列都成立，因此可采用特殊数列 进行验证排除，取满足条件的特殊数列1,2,3则：S奇134，S偶2， 2，验证知选B项 答案：B,7若数列an(nN*)是等差数列，则数列bn (nN*)也为等差数列类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列，且cn0(nN*)，则有dn_ _(nN*)也是等比
8、数列,8.已知等比数列an中，有a3a11=4a7，数列bn是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于（ ）,C,A.2 B.4 C.8 D.16,因为a3a11=a72=4a7，因为a70，所以a7=4，所以b7=4.因为bn为等差数列，所以b5+b9=2b7=8，故选C.,1. 若三个数a，A，b成等差2Aab；2若三个数a，G，b成等比G2ab.,【例1】设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和若Sn是等差数列，则q 1.解析：由Sn是等差数列知：2Sn1SnSn2，即2(Snan1)SnSnan1an2， 则an1an2，因此q 1.答案：1,变式1. 在等比数列an中，a12，
9、前n项和为Sn.若数列an1也是等比数列，则Sn等于 ( C )A2n12 B3n C2n D3n1解析：数列an、an1为等比数列，且a12，a222a3，(a21)23(a31)，a22，q1.Sn2n.答案：C,虽然等差(比)数列的有关计算和证明，都可围绕其首项和公差(比)进行，但是熟练地掌握等差(比)数列的性质，则可以大幅度地减少运算量，以达到事半功倍的作用比如在等差数列中S2n1(2n1)an；在等比数列中，Sn，S2nSn，S3nS2n(q1)时，也构成等比数列等,“成对下标和”性质,例2,(1)已知数列n为等差数列,且1+8+15=2，则tan(2+14)的值是（ ）,A. B.
10、- C. D.-,A,(2)(2009广东卷)已知等比数列an满足an0,n=1,2,，且a5a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1=( ),A. n(2n-1) B. (n+1)2 C. n2 D. (n-1)2,C,本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的“成对下标和”性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法.,1 (2010湖北省模拟)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lgan与l
11、gbn的前n项和,且 = ,则logb5a5= .,由题知， = = = =logb5a5 logb5a5= .,（1）两个等差数列an，bn的前n项和的比是(7n2)(n3)，这两个数列中第7项的比a7b7.= ，(2)已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m_70_.(3)等差数列的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为 18 . 解答(1) .,例3,“和与部分和”性质,(2)解析：解法一：Sm10，S2m30，整体消元技巧 得1qm3，qm2. 代入得 10， 10(把 整体作为未知元很关键) S3m (10)(123)70.,解法二：an是等比数列，Sm
12、，S2mSm，S3mS2m，即10,20，S3m30 满足10(S3m30)202，S3m3040，S3m70. 答案：70,巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要. 巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.,对于有穷的等差、等比数列的相关计算问题有着特殊的计算方法，比如在一个项数n为奇数的等差数列中 (其中 为中项)(1)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数 项之和为33，求该数列的中间项和项数(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇 数项和之比为 3227，求等差数列的公差,例4,解答：(1)根据已知条件 设等差数列的项数为n，则 因此该数
13、列中间项为11，项数为7.S偶 (S偶S奇)192.S奇162，d 5.,.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170.求这个数列的公比和项数解答：解法一：设该等比数列的公比为q，项数为2n，则S偶qS奇q 2.又S2nS偶S奇 8517022n1255.2n8，故数列公比为2，项数为8.,解法二：设该数列公比为q，项数为2n，则奇数项、偶数项也构成等比数 列，且公比为q2，可推出q21.故有 q2，n4.故这个数列的公比为2，项数为8.,1 知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,Sn共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问
14、题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.,【方法规律】,2了解和掌握等差数列和等比数列的基本性质，有利于更深刻地理解等差数列和等比数列问题，使有关的计算和证明问题能做到更简洁、明了、快速和准确巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立“目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.,(1)若等差数列an的项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan； (2)若等差数列an的项数为2n，公差为d，则S偶S奇nd； (3)若等比数列an的项数为2n，公比为q， 则
15、q. (4)等比数列的相关结论可以看作是等差数列结论的“运算升级”.,3除去以上所列出的等差数列和等比数列的基本性质之外，还要注意以下的一些常见情况：,(本题满分12分)若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列， (1)求数列S1，S2，S4的公比； (2)若S24，求an的通项公式.,【考卷实录】,【分析点评】 1. 考题对等差数列和等比数列进行综合考查，考卷实录中第(1)问很好把握了等差数列前n项和的特征SnAn2Bn.而第(2)问利用了已知Sn求an，要注意an 要注意对a1S1是否适合anSnSn1，n2的检验,2本题的一般解法具体如下：(1)由已知条件
16、得 S1S4，即(2a1d)2a1(4a16d)，整理得：d22a1d，又d0，则d2a1，4，数列S1，S2，S4的公比为4.(2)由已知条件4a14，则a11，d2，ana1(n1)d2n1.,(2009安徽卷)已知an为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( ),B,A. 21 B. 20 C. 19 D. 18,由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35. 由a2+a4+a6=99，得3a4=99，即a4=33. 则由-得d=-2， 所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n.an0an+1
17、0， 解得19.5n20.5,又nN*,故n=20.,令,(2009江西卷)各项均为正数的数列an,a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有 = .(1)当a= ,b= 时，求通项an;(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数，使得对于每个正整数n,都有 an.,(1)由 = 得= . 将a1= ,a2= 代入上式化简得a= . 所以 = , 故数列 为以 为公比的等比数列，其首项为 = = ， 从而 = ，即an= . 可验证，an= 满足题设条件.,(2)由题设 的值仅与m+n有关，记为bm+n, 则bn+1= = . 考察函数f(x)= (x0),则在定义域上有 , a1, a=1, 0a1.,f(x)g(a)=,故对nN*，bn+1g(a)恒成立. 又b2n= g(a), 注意到0g(a) ，解上式得= an , 取= ，即有 an.,bye-bye,2010.10.26,
