1、第 4 章 不定积分不定积分的概念和性质 【教学目的】：1. 理解原函数的概念；2. 理解不定积分的定义，及几何意义；3. 掌握不定积分的基本公式和性质；4. 会用直接积分法计算不定积分。【教学重点】：1. 原函数的概念；2. 不定积分的概念及几何意义；3. 不定积分的基本公式和性质。【教学难点】：1. 基本积分公式；2. 用直接积分法计算不定积分。【教学时数】：2 学时【教学过程】：4.1.1 原函数与不定积分定义 1 如果在区间 I 上，可导函数 的导数为 ，即)(xF)(xf或 （ ） ，那么函数 就称为 (或 )在)( xfFdxfdF)(d区间 I 上的原函数如果 有一个原函数，那么
2、 就有无穷多个原函数)(f )(f设 是 的另一个原函数，则任意的 ，有 于是xIx)(xf所以 ( 为某个0)()()( fxFF 0)(CF常数)这表明 与 只差一个常数因此当 为任意常数时，表达式x就可以表示 的全体原函数，也就是说， 的全体原函数所组Cx( )(f )(xf成的集合，即函数族 RCxF|定义 2 如果 是 在某区间上的一个原函数，那么 （ 为)(f CxF)(任意常数）称为 在该区间上的不定积分即 = 其中符号xf dxf)(称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变)(xf)(x量由上面的讨论可知，若 是 的一个原函数，那么 =)(xFf dxf)(（
3、 为任意常数） 因此，求函数 的不定积分，只需求出被积函CxF)( )(xf数 的一个原函数再加上积分常数 ，求不定积分的方法称为积分法f C从不定积分的定义，即可知不定积分与微分(求导)互为逆运算：由于 是 的原函数，所以 或 dxf)(f )()(xfdf dxffd)()(又由于 是 的原函数，所以 )(F CFxCFx 或由此可见微分运算(以记号 表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记d号 表示 )是互逆的，记号 与 一起时或者抵消，或者抵消后差一常数例 3 求 dx1解 当 时，由于 ，所以 是 在 内的一个原函数，0x1)(lnxln1),0(因此在 内，有 ),(C当 时，由
4、于 ，所以 是 在 内的一x x)1()l( )l(x)0,(个原函数，因此在 内 0,dln把以上结果综合起来，得 Cx|4.1.2 不定积分的几何意义因为不定积分 = 是 的原函数的一般表达式，所以它对dxf)(F)()(f应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族积分曲线族 有如下特点：C)(（1）积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线 沿 轴方向上、)(xFyy下平移得到；（2）由于 ，即横坐标相同的点处，所有曲线的切)()(xfFx线都是互相平行的4.1.3 基本积分公式表（1） （ 为常数） ； （2） ；kdxCk Cxdx1（3） ； （4） ， ；Cxd|ln1 Cadxxl
5、n1Cedx（5） ； （6） ；sico cossi（7） ；（8）xdxtanec22；Cdossin12（9） ； （10） ；xxarcsin2 Cxdxarctn12（11） ； （12） csotdsetse4.1.4 不定积分的性质性质 1 设函数 的原函数存在，则)(xgf及dxgfdx)()(性质 2 设函数 的原函数存在， 为非零常数，则)(xkxfkdxf)()(例 6 求 dxe)33解 dxexxx 3(Cx43ln1注意到被积函数中 是幂函数， 和 是指数函数，而 是常数，它们的3xxe3e积分公式是不同的【教学小节】：通过本节的学习，理解原函数、不定积分的概念及几何意义，熟记基本积分公式，掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。【课后作业】：无
