1、高等数学单元训练题第 3 章中 值 定 理 与 导 数 的 应 用第 8 页 共 10 页一、单项选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ） 1,)(2,3,sin)(4,2)()(0,21)( xfDxfCxfBxfA 2、函数 f(x)=sinx 在0， 上满足罗尔定理结论的 =（ ） （A） 0（B） （C） （D）2233、下列函数在1，e上满足拉格朗日定理条件的是（ ） （A） （B） （C） （D）)ln(xln)l(xxln14、函数 f(x)=2x2-x+1 在区间 -1，3上满足拉格朗日定理的 等于（ ） (A) (B)0 (C) (D) 13435、函数 的单
2、调减区间为（ ） xy4(A) (B) (C) (D) (,2)(,)2,(,0)(2,0)6、若 x0为 f(x)的极小点，则下列命题正确的是（ ） (A) (B) (C) 不存在 (D) 或 不存在)(0f 0)(xf )(0xf )(0xf)(0xf7、若在（a，b）内， ，则 f(x)在（a，b）内为（ ） ,(A)单调上升而且是凸的 (B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的8、曲线 的拐点是（ ） 29623xxy（A） （1，6） （B） （2，3） （C） （2，4） （D） （3，2）9、 在(a,b)内可导，且 ，则下列式子正确的是（ ）
3、 ()f 1axb（A）在 内只有一点 ，使 成立；（B）在 内任一点 处均有12,x21()()fff12(,)x成立；（C）在 内至少有一点 ，使 成立；21()()fff1(,)ax1)ffaf（D）在 内至少有一点 ，使 成立2,x21()fff10、求下列极限时， （ ）可用罗必达法则得出结果（A） ；（B） ； （C） ； （D） sinlimx2sinlx2limxlim(arctn)2xx11、下列命题中正确的是（ ） （A）若 为 的极值点，则必有 ；（B）若 ，则 必为 的极值点；0()f 0()f0()f0()f（C）若 在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必
4、定大于极小值；x高等数学单元训练题第 3 章中 值 定 理 与 导 数 的 应 用第 9 页 共 10 页（D）若 为函数 的极值点，则 或 不存在0x()yfx0()fx0()fx12、设 为 的驻点，则 在 处必定（ ） y（A）不可导 （B）不连续 （C）有极值 （D）曲线 在点 处的切线平行 x 轴()yf0,()fx13、曲线 ，则（ ） ln1xy（A）有一条水平渐近线（B）有一条铅直渐近线（C）有一条水平渐近线，又有一条铅直渐近线（D）没有水平与铅直渐近线14、 在其定义域内（ ） 432yx（A）有两个极值点（B）有一个极值点（C）有三个极值点（D）无极值点15、曲线 的渐近线
5、是（ ） 1x（A）只有一条水平渐近线（B）只有一条铅直渐近线（C）有一条水平渐近线和一条铅直渐近线（D）无渐近线16、设函数 在0,1上可导, ,并且 ,则 在(0,1)内( ).()fx()0fx()0,(1ff()fx（A）至少有两个零点（B）有且仅有一个零点（C）没有零点（D）零点个数不能确定17、曲线 的凸区间是（ ） 。246y（A） （B） （C） （D）(2,)(,0)(,)(,)18、函数 在定义域内是严格单调（ ） 。xe（A）递增且是凹的（B）递增且是凸的（C）递减且是凹的（D）递减且是凸的19、设 ，则 为 在-2,2上的（ ） 。31()f1x()f（A）极小值点，但
6、不是最小值点（B）极小值点，也是最小值点（C）极大值点，但不是最大值点（D）极大值点，也是最大值点20、函数 在 内是（ ） 。arctnyx(,)（A）单调递增（B）单调递减（C）不单调（D）不连续二、填空题21、 22、 02lim_sinxe0lim_snxe23、 24、 201lisx 2l(1)ixx25、 26、曲线 的拐点是_320liln_x )ln(y27、若 在 处有极值，则 a=_1()sii3faxx高等数学单元训练题第 3 章中 值 定 理 与 导 数 的 应 用第 10 页 共 10 页28、曲线 的凹区间是_xye29、设函数 在 处可导，则 为 的极值点是 为
7、 的驻点的_条件()f00x()f0x()f30、设函数 二阶可导，则 的二阶导数为 0 的点是曲线 的拐点的_条件f yx三、计算题31、 32、 0coslimnxe 30sinlimx33、 34、 1()lita2x 10li2coxx35、 。 36、 。40sin(si)nlxx 30artnli(1)x37、 。 38、 。201limtaxx 20limxx39、 。 40、 。sin0li(3)x 01licotsinxx41、 。 42、 。201iliarcs()xx li()x四、综合题43、讨论函数 的单调区间和极值21)(xf44、求函数 的单调区间、极值及此函数曲
8、线的凹凸区间和拐点。lny45、设曲线 在点（1，2）处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求此曲线方程cxba3五、证明题46、用拉格朗日中值定理证明： 0,lnabab47、利用函数的单调性证明： l(1)xx， 有 不 等 式48、设 ，证明 。2eab224ln()babe六、应用题49、设有一长 8cm、宽 5cm 的矩形铁片，在每个角上剪去同样大小的正方形问剪去正方形的边长多大，才能使剩下的铁片折起来做成开口盒子的容积为最大50、一房地产公司有 50 套公寓要出租当月租金定为 1000 元时，公寓会全部租出去当月租金每增加 50 元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费
9、 100 元的维修费试问房租定为多少时可获得最大收入？最大收入是多少？高等数学单元训练题第 3 章中 值 定 理 与 导 数 的 应 用第 11 页 共 10 页第三章 微分中值定理与导数的应用参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C B B D D D C C D D11 12 13 14 15 16 17 18 19 20D D C B C B A C B A二、填空题21、2 22、2 23、0 24、1 25、0 26、 27、2 (1,ln2)(,l28、 29、充分非必要条件 30、必要非充分条件(,)三、计算题31、1 32、 33、0 34、 36、 62e
10、635、原式= 3 2200 00sin(i)coss(in)1cos(in)cosin()1lml lml336xx xxx x37、原式= 2 20tataneetaiiilit 3xx xx38、原式= 22220 001(1)4(1)li lili4x xx39、原式= 60 03limepln(3)limepsi cosx xex40、原式= . 30001sinin1licotlilitaxxx41、242、1四、综合题43、f(x) 在 上单调减少，在（-1，1）上单调增加；极大值为 ，极小值为(,)(, 1()2f1)2f320e44、x (,)e32(,)e32e32(,)e
11、y+ 0 - - - - 0 +y A极大值 1A拐点 3232(,)A45、 .3x五、证明题46、提示：对函数 在a,b上用拉格朗日中值定理()lnfx47、证明：设函数 ，则 f(x)在区间 上连续1)0,)又 当 x0 时，有 ，所以 f(x)在区间 上单调增加221()fxx（ ） （ ） (fx0,)因此当 x0 时，有 f(x)f(0)=0，即 ln()1x高等数学单元训练题第 3 章中 值 定 理 与 导 数 的 应 用第 12 页 共 10 页故当 x0 时，有 ln(1)x48、提示：由题设所给待证不等式的结构形式，可引入辅助函数 24()lnfxxe则 显然当 时， ，22ln41ln(),()xxffee0即 严格单调递减， 所以当 时 ,22()ff因此当 时， 严格单调递增，即 ，从而 ，2()f ()fab244lnlbaee所以 证毕224lnbabe六、应用题49、当剪去小正方形的边长为 1cm 时，做成的开口盒子的容积最大50、当每套月租金为 1800 元时，收入最大；最大收入为 57800 元
